TARTALOM Fggvnyfogalom Fggvnyek Elsfok Msodfok Ngyzetgyk Elsfok trt

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Függvények Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Forrás: www. kossuthzs-szeged. sulinet. hu/

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Adott két halmaz: H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez valamilyen egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. H halmazt a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Értékkészlet: az összes lehetséges függvényérték halmaza. K halmaz a függvény értékkészlete vagy annál bővebb halmaz. Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Helyettesítési érték: f függvény x 0 helyen felvett értéke. Jelölése: f(x 0) Egy f: H 1→K 1, x→f(x) és egy g: H 2→K 2, x→g(x) függvényt akkor tekintünk egyenlőnek, ha értelmezési tartományuk azonos: H 1=H 2, és az értelmezési tartomány bármely x helyére f(x)=g(x)

TARTALOM Elsőfokú függvények Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az f: R → R, f(x) = ax + b (a, b konstans, a ≠ 0) függvényeket elsőfokú függvényeknek Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Az elsőfokú függvények képe egyenes.

TARTALOM Másodfokú függvények Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az f: R → R, f(x) = ax 2 + bx + c (a, b, ckonstans, a ≠ 0) függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük. Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők A másodfokú függvényeknek képe parabola

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú függvények f(x)=12(x+3)2+4 f(x)=x 2 Másodfokú f(x)= (x+3)2 Négyzetgyök f(x)=12(x+3)2 Elsőfokú tört f(x)=12(x+3)2+4 Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők

TARTALOM A négyzetgyök függvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az függvényt négyzetgyök függvénynek nevezzük. Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők A négyzetgyök függvény grafikus képe az x 2 függvény I. negyedben levő grafikus képéből az x és y tengely felcserélésével adódik. (Ez az y = x egyenletű egyenesre vonatkozó tükrözést jelent. )

TARTALOM Elsőfokú törtfüggvények Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Az függvényt (ahol a, b, c, d konstans, c ≠ 0 és ad ≠ bc) elsőfokú törtfüggvénynek nevezzük. Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Az elsőfokú törtfüggvények képe hiperbola

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Elsőfokú törtfüggvények

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Elsőfokú törtfüggvények

TARTALOM Az abszolútérték függvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az f: R → R, f(x) = |x| függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük. Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők A g(x)=x függvény képének x tengely alatti részét tükrözzük az x tengelyre. Ez a tükörkép, együtt a g függvény grafikonjának az x tengelyen levő és az x tengely feletti részével, lesz az f függvény grafikus képe.

TARTALOM Az abszolútérték függvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök f(x) = 2|x+2|-3 f(x) = |x| f(x) = |x+2| Elsőfokú tört f(x) = 2|x+2| Abszolútérték f(x) = 2|x+2|-3 Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők

TARTALOM Az egészrész függvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Az x valós szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely kisebb az x-nél vagy egyenlő vele. Az egészrész jelölése: [x] (olvasd: „x egészrésze”). Például: [2, 1] = 2; [3, 98] = 3; [ – 0, 2] = – 1; [ – 7, 8] = – 8; [5] = 5. Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők A definíció alapján: x – 1 < [x] ≤ x. Az f: R → R, f(x) = [x] függvényt egészrész-függvénynek nevezzük

TARTALOM A törtrész függvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az x valós szám törtrésze az x - [x] szám. A törtrész jelölése: {x} (olvasd: „x törtrésze”). Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Például: {2, 1} = 0, 1; {3, 98} = 0, 98; { – 0, 2} = 0, 8; { – 7, 8} = 0, 2; {5} = 0. A definíció alapján: 0 ≤ {x} < 1 és x = [x] + {x}. Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Az f: R → R, f(x) = {x} függvényt törtrész-függvénynek nevezzük

TARTALOM A szignumfüggvény Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Az Másodfokú Négyzetgyök függvényt szignumfüggvénynek nevezzük Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Grafikus képe: egy pontból és két félegyenesből áll (a félegyenesek végpontjai nem tartoznak a függvényképhez). A (0; 0) pont a grafikon egy elszigetelt (izolált) pontja.

TARTALOM Függvénytranszformációk Függvényfogalom Függvények Elsőfokú A függvényérték transzformációi f(x) + c, az f függvény képe az y f(x + c), tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0 < c, akkor felfelé, ha c < 0, akkor lefelé; az f függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c|-vel, ha 0 < c, akkor balra, ha c < 0, akkor jobbra; –f(x), az f függvény képe az f( –x), x tengelyre tükröződik; az f függvény képe az y tengelyre tükröződik; cf(x), az f függvény képe az y f(cx), tengely irányában cszeresére megnyúlik, ha 1 < c, összenyomódik, ha 0 < c < 1. az f függvény képe az x tengely irányában 1 c szeresére összenyomódik, ha 1 < c, megnyúlik, ha 0 < c < 1. Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték A változó transzformációi Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Függvények jellemzői Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazokat az x értékeit, amelyeknél f(x) = 0. Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők A g: R→R, g(x)=x 2− 2 x− 3 függvény nek a zérushelyei x 1 = – 1, x 2 = 3, mert g(– 1) = 0, g(3) = 0

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Függvények jellemzői Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f(x 1) < f(x 2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény növekvő. Az f függvény a [b; c]-on monoton növő.

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Függvények jellemzői Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f(x 1) > f(x 2) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény csökkenő. Az f függvény az [a; b]on csökken. Szokásos kifejezéssel: „az f függvény az [a; b]-on monoton csökkenő”. (Monoton = egyhangú, változatosság nélküli. )

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők Függvények jellemzői Egy f függvénynek minimuma van a változó x 0 értékénél, ha az ott felvett f(x 0) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény. A függvénynek az x = 1 helyen a legkisebb a függvényértéke: a függvénynek x = 1 -nél minimuma van.

TARTALOM Függvényfogalom Függvények Elsőfokú Másodfokú Négyzetgyök Elsőfokú tört Függvények jellemzői Egy f függvénynek maximuma van a változó x 0 értékénél, ha az ott felvett f(x 0) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Az f függvénynek x = a helyen maximuma van. Abszolútérték Egészrész Törtrész Szignum Függvény tarnszformáció Függvény jellemzők x = b bizonyos környezetében a függvénynek minimuma van, az x = c bizonyos környezetében pedig maximuma. Ezt helyi minimumnak, illetve helyi maximumnak nevezzük (más helyen a helyi minimumnál kisebb függvényérték is van, és megint más helyen a helyi maximumnál nagyobb függvényérték is van).