TARTALOM Differencilszmts alkalmazsa Fggvnyek mentnek vizsglata Pldk DIFFERENCILSZMTS

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák A differenciálszámítás alkalmazása A gyakorlati életben előforduló mennyiségi változások, fizikai mozgások, szélsőérték-problémák stb… tanulmányozásának folyamata • a vizsgált folyamatban szereplő változók között keresünk függvénykapcsolatot → a jelenséghez „matematikai modellt” rendelünk • a függvény tulajdonságainak vizsgálata (menete, görbülete, szélsőértéke stb…) fontos szerepe van a deriváltnak

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvény menetének és a derivált előjelének kapcsolata 1. Vizsgáljuk meg az xє]0; függvényt: [ esetén - a függvény szigorúan monoton növekvő - bármely pontban az érintő irányszöge pozitív → iránytangens pozitív → derivált előjele pozitív x є ]- ; 0 [ esetén - a függvény szigorúan monoton csökkenő - bármely pontban az érintő irányszöge negatív → iránytangens negatív → derivált előjele negatív A megfigyelés általánosítható:

TARTALOM Függvények menetének vizsgálata Differenciálszámítás alkalmazása Tétel: Függvények mentének vizsgálata Példák Ha az ]a; b[ intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban monoton csökken, monoton nő akkor a derivált az intervallum minden pontjában nemnegatív nempozitív Megjegyzés: a függvény szigorú monotonitásából is csak az következik, hogy a derivált nemnegatív illetve nempozitív pl. : pontban a többi helyen

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata 2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált előjeléből következtetünk a függvény menetére: Tétel: Ha f ‘(x) az ]a; b[ intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘(x) az ]a; b[ intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) monoton nő f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvény szélsőértékének és a deriváltnak kapcsolata 1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytangense nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata 1. Példa: pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely - az érintő az érintési pontban a görbét átmetszi - az pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált nem vált előjelet Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetsző érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények menetének vizsgálata 2. Példa: Függvények mentének vizsgálata pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely Példák - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton csökkenő - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált előjelet vált → a függvénynek lokális szélsőértéke van Általánosan:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Az ]a; b[ intervallumban differenciálható f(x) függvénynek az intervallum x 0 pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha f ‘(x 0 )= 0. Ez a szélsőérték létezésének szükséges feltétele. Ha emellett az x 0 pont környezetében a derivált még előjelet is vált, akkor az f(x) függvénynek az x 0 pont környezetében lokális szélsőértéke van. A derivált előjelváltásának módjából a szélsőérték jellegére is következtethetünk. x x < x 0 x = x 0 x > x 0 f ’(x) f(x) + 0 lokális maximum -

TARTALOM Függvények menetének vizsgálata Differenciálszámítás alkalmazása vagy Függvények mentének vizsgálata Példák x x < x 0 x = x 0 x > x 0 f ’(x) - 0 + f(x) lokális minimum

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvény deriváltjának és az inflexiós pont létezésének kapcsolata Bebizonyíthatók a következő tételek: Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a; b[ intervallum x 0 pontjában kétszer differenciálható, és f ‘’(x 0 )= 0, valamint a második derivált előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek az x 0 helyen inflexiós pontja van. Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a; b[ intervallum x 0 pontjában háromszor differenciálható, és , akkor az f(x) függvénynek az x 0 helyen inflexiós pontja van.

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a; b[ intervallumban kétszer differenciálható, és f ‘’(x ) > 0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f ‘’(x ) < 0, akkor az f(x) függvény konkáv.

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvényvizsgálat célszerű lépései: • értelmezési tartomány meghatározása • zérushelyek kiszámítása • a derivált meghatározása • a derivált zérushelyeinek kiszámítása • a táblázat elkészítése • megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e, periodikus-e stb… • a függvény grafikonjának felvázolása

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Példák függvényvizsgálatra 1. Példa: Függvények mentének vizsgálata Zérushely: Példák Deriváltfüggvény: Inflexiós pont inflexiós pont

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Példák függvényvizsgálatra Páratlan függvény: Függvények mentének vizsgálata a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra Példák Az függvény vázlatos képe:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák függvényvizsgálatra 2. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek: Inflexiós pont: inflexiós pont

TARTALOM Példák függvényvizsgálatra Differenciálszámítás alkalmazása Az Függvények mentének vizsgálata Példák függvény vázlatos képe:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák függvényvizsgálatra 3. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont: inflexiós pont

TARTALOM Példák függvényvizsgálatra Differenciálszámítás alkalmazása Az Függvények mentének vizsgálata Példák függvény vázlatos képe:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák függvényvizsgálatra 4. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

TARTALOM Példák függvényvizsgálatra Differenciálszámítás alkalmazása Az Függvények mentének vizsgálata Példák függvény vázlatos képe:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák függvényvizsgálatra 5. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Példák függvényvizsgálatra Inflexiós pont: Függvények mentének vizsgálata inflexiós pont Példák Az függvény vázlatos képe:

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák függvényvizsgálatra 6. Példa: Zérushely: Példák Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

TARTALOM Példák függvényvizsgálatra Differenciálszámítás alkalmazása Az Függvények mentének vizsgálata Példák függvény vázlatos képe: