Tanm Sabit bir noktas F ve sabit bir

Tanım: Sabit bir noktası F ve sabit bir doğrusu Δ olan bir Π düzleminin (P) = {P: |PF| = |PH| , Δ , F , P € Π } noktalarının kümesine parabol denir. Burada F odak, O tepe(köşe), Δ doğrultman, 2 p parametre ve parabolün simetrik olduğu doğru da eksen adını alır. Ekseni X ve Y, köşesi başlangıç noktası olan parabolleri görüyorsunuz. ,

Ötelenmiş Parabol Denklemi y = ax 2 + bx 2 + c ise F( doğrultman denklemi , y= ) ve dır. ,

Parabol Ve Doğru y 2 = 2 px parabolü ile y = m. x + n doğrusu kesiştiğinde ( m. x + n )2 = 2 px denkleminden kesim noktalarının apsisleri bulunur. Burada : p - 2 mn < 0 durumunda doğru parabolü kesmez. P - 2 mn > 0 durumunda doğru parabolü farklı 2 noktada keser. P - 2 mn = 0 durumunda doğru parabole teğet olur(değme koşulu). Değme Noktası ( ) olur. Parabole Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi Parabol ve (x 0 , y 0 ) noktası verilsin. Bu noktadaki teğet denklemi : ,

y 2 = 2 px için yy 0 = p( x + x 0 ) x 2 = 2 py için xx 0 = p( y + y 0 ) dır. Parabolün Köşegeni Eğimleri aynı olan kirişlerin orta noktalarının kümesine köşegen denir. y 2 = 2 px parabolünün eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarını kümesi y=p / m olur. y = p / m doğrusu , eğimi m olan teğetin değme noktasından geçer. y = p / m doğrusuna ve eğimi m olan kirişlere birbirinin eşleniği denir. ELİPS Tanım: π düzleminin farklı ve sabit iki noktası F , F’ ; değişen bir noktası P ise düzlemin P noktalarının (E) = {P, |PF| + |PF’ | = 2 a , F’ , p € π , a > c > 0 , |FF’ | = 2 c} kümesine elips denir. ,

Burada , F’ odakları ; A , A’ , B’ köşeler ; Δ ve Δ’ doğrultmanlardır. |AA’ | = 2 a , |BB’ | = 2 b ve |FF’ | = 2 c olur. a 2 = b 2 + c 2 olduğunu görünüz. ,

Elips Ve Doğru elipsi ile y = m. x + n doğrusunun kesişmeleri durumu : a 2 m 2 + b 2 - n 2 > 0 ise iki farklı noktada kesişirler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 < 0 ise kesişmezler. a 2 m 2 + b 2 - n 2 = 0 ise bir noktada keser, teğet olur(değme koşulu). Değme noktası ise dır. Elipse Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi Elips merkezinden geçen kirişlere elipsin köşegeni denir. ,

Eğimleri arasında m 1. m 2 = eşlenik köşegenler adı verilir. , y = m. x bağıntısı bulunan iki köşegene köşegeninin eşleniği olur. Elipsin Parametresi Elipsin odaklarından birinden eksene çizilen dik kiriş uzunluğuna parametre denir. Parametre = 2 p = dır. Elipsin Dışmerkezliği Elipste dışmerkezlik oranına verilen addır. e < 1 dır. Elipsi Alanı elipsinin alanı πab dır. ,

HİPERBOL Tanım: π düzleminin sabit iki noktası F , F’ ve herhangi bir noktası P ise P noktalarının ; ( H ) = { P : [|PF | - |PF’ | = 2 a , |FF’ | = 2 c , a < c , F’ , F € π } kümesine hiperbol denir. Burada ; F , F’ odaklar ; A , A’ , B’ köşeler ; Δ ve Δ doğrultmanlardır. a 2 = a 2 + b 2 olduğunu görüyorsunuz. ,

Ötelenmiş Hiperbol Denklemi Hiperbol Ve Doğru hiperbolü ile y = m. x + n doğrusunun kesişmeleri durumu : ,

n 2 + b 2 - a 2 m 2 > 0 ise doğru hiperbolü iki noktada keser. n 2 + b 2 - a 2 m 2 <0 ise doğru hiperbolü kesmez. n 2 + b 2 - a 2 m 2 = 0 ise doğru hiperbole teğet olur (değme koşulu) Değme noktası da dır. Hiperbole Bir Noktasından Çizilen Teğet Denklemi Hiperbol ve denklemi : P ( x 0 , y 0 ) noktası verilsin. Bu noktadaki teğet için dır. ,

Hiperbolün Köşegeni Hiperbolün merkezinden geçen doğrulara köşegen denir. Eğimleri arasında m 1. m 2 = bağıntısı bulunan y = m. x ve y = . X köşelerine de eşlenik köşegenler adı verilir. Hiperbolün Parametresi Hiperbolün bir odağında eksene dik olan kiriş uzunluğuna parametre denir. dır. Hiperbolün Dışmerkezliği oranına dışmerkezlik denir. e>1 dır. ,

Hiperbolün Asimptotları b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 hiperbolünün asimptot denklemleri y = dır. İkizkenar Hiperbol a = b olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir. denklemi x 2 - y 2 = a 2 olur. Eşlenik Hiperboller Birinin asal köşeleri , diğerinin yedek köşeleri olan hiperbollere eşlenik hiperboller denir. ile eşlenik hiperbol denklemleridir. ,

MERKEZLİ KONİKLERİN SINIFLANDIRILMASI Tanım: R 2 uzayının sabit bir Δ doğrusu ile P(x, y) bunun dışında sabit bir F noktası verilsin. F noktasına olan uzaklığın Δ doğrusuna olan uzaklığa oranı sabit olan P ( x , y ) noktalarının kümesine konik denir. Yani , |PF | (K)={P: =e |PH | ---- -- ------ H F(m, n) a. x + b. y + c = 0 ve e > 0 } dır. Konik ; e < 1 ise elips , e = 1 ise parabol ve e > 1 ise hiperbol olur. Bu koniğin genel denklemi Ax 2 + B. x. y + Cy 2 +D. x + Ey + F = 0 biçimindedir. ,

Koniğin merkezinin koordinatları ; fx = 0 2 Ax + B. y + D = 0 fy = 0 B. x + 2 C. y + E = 0 Sisteminin çözümünden elde edilir. Sistemin çözümü varsa , denklem , merkezli konik (elips, hiperbol) belirtir. B | = 4 AC - B 2 = 0 ise merkezli konik vardır. δ = | 2 A B 2 C Δ= 1. A B/2 D/2 B/2 C E/2 D/2 E/2 F diyelim. 4 AC - B 2 > 0 ya da B 2 - 4 AC < 0 a) δ = 4 AC - B 2 > 0 ve A. Δ < 0 b) δ > 0 ve A. Δ > 0 c) δ > 0 ve Δ = 0 ise konik elips türündendir. ise gerçel elips , ise sanal elips , ise nokta elips ( yozlaşmış elips ) olur. ,

2. 4 AC - B 2 < 0 ya da B 2 - 4 AC > 0 ise konik hiperbol türündendir. a) δ = 4 AC - B 2 < 0 ve Δ = 0 ise denklem hiperbol belirtir. b) δ < 0 ve Δ = 0 ise kesişen doğru çifti (yozlaşmış hiperbol) belirtir. Genel Konik Denkleminin Parabol Olması Durumu δ = 4 AC - B 2 = 0 durumunu göz önüne alalım. i) ise a) D 2 - 4 AF > 0 iken parabol bir çift paralel doğru olur. b) D 2 - 4 AF = 0 iken parabol çakışık iki doğru olur. c) D 2 - 4 AF < 0 ise parabol sanal bir çift doğru gösterir. ise konik parabol gösterir. ,

GENEL KONİK DENKLEMİNİN STANDART DURUMA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Ax 2 + B. x. y + C. y + D. x +E. y +F = 0 denklemi ile verilen genel koniğin fx = 2 Ax + B. y + D = 0 fy = B. x + 2 C. y + E = 0 sisteminin çözümünden merkez M(h, k) elde edilir. x = x’ + h ve y = y’ + k konularak x’li ve y’li terimler yok edilir. O zaman genel konik denklemi Ax’ 2 + B. x’. y’ + C. y’ 2 + F’ = 0 durumuna girer. x‘y’ lü terimin yok edilebilmesi için eksenlerin döndürülmesi yapılır. Bunun için eşitliğini gerçekleyen Dθ tan 2θ dönme dönüşümü ; ’ ’ = x. cosθ - y. sinθ x cosθ -sinθ x x [ y’ ] = [ sinθ cosθ ][ y ] y’ = x. sinθ + y. cosθ ,

konularak uygulanır. Denklem A 1 x 2 + C 1 y 2 + F’ = 0 biçimine gelir. A 1 , C 1 katsayılarını θ açısına gerek kalmadan aşağıdaki gibi bulabilirsiniz. 1) A 1 + C 1 = A + C dır. 2) A 1 - C 1 = nin işareti olarak alınır. dır. Karekök önündeki işaret B’ 3) 4 A 1. C 1 = 4 AC - B 2 olur. Bu üç eşitlikten uygun biçimde olanlar alınarak A 1 ve C 1 katsayıları elde edilir.

ÇÖZÜMLÜ TEST SORULARI 1. y 2=4 x parabolü için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Odağının koordinatları (1, 0) dır. B) Doğrultman denklemi x= -1 dir. C) (1, -2) noktasındaki teğetin denklemi y = -2 x-2 dir. E) Tepesi (0, 0) noktasıdır.

ÇÖZÜM: A) y 2 = 2 px parabolünde odak ( , 0) dır. 2 p = 4 olduğundan =1 Odak (1, 0) olur. B) Doğrultman denklemi x = -1 dir. C) ( x 0 , y 0 ) noktasındaki teğet denklemi y y 0 = p( x + x 0 ) dir. (1, -2) noktasındaki teğet ise y. (-2) = 2(x+1) den y = -x-1 olur. (YANLIŞ) D) Bir doğrultuya paralel kirişlerin eşleniği olan çap (köşegen) y= dir. Burada y = 2 x doğrusunun eğimi 2 dir. Öyleyse çap y = =1 olur. E) Tepesi (köşesi) (0, 0) noktasıdır. YANIT : C

2. + = 1 elipsi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Odakların koordinatları ( B) Dış merkezliği e = 4, 0) dır. dir. C) Doğrultmanlarının denklemleri y = D) Parametresi 2 p = E) Alanı 15 л dir. dür. dir.

ÇÖZÜM : + A) = 1 elipsinde m ve n den büyük olanı a ve eksen onun üzerindekidir. + =1 elipsinde a 2 = 25, b 2 = 9 ve a 2 =b 2 + c 2 den c 2 =16, c = B) Dışmerkezlik e= = 4 bulunur. Odaklar ( 4, 0) olur. dir. C) Asal eksen x ekseni olduğundan doğrultmanlar x = x= olur. D) Parametresi 2 p = 2 olduğundan 2 p = 2. = edilir. E) Alan л ab dir. A = л. 5. 3 = 15 л olur. YANIT : C elde

3. y = 2 px 2 parabollerinden (-1, 2) noktasından geçeni aşağıdakilerden hangisidir? _ A) y = 8 x 2 B) y = 2 x 2 C) y = 4 x 2 D) y = -4 x 2 E) y = -2 x 2

ÇÖZÜM : Parabol (-1, 2) noktasından geçeceğinden, nokta denklemi sağlar. 2 = 2 p. (-1)2 p = 1 ve parabol y = 2 x 2 olur. YANIT : B

4. y 2 = 4 x parabolünün , üzerindeki, (1, -2) noktasından çizilen teğet denklemi nedir? A) y=x+1 B) y=x-1 C) y=-x-1 D) y=-x+1 E) y=-x+3

ÇÖZÜM : y 2 = 2 px parabolünün üzerindeki noktasından çizilen teğet denklemi yy 0 = p(x + x 0) idi. Öyleyse (1, -2) noktasındaki teğet y. (-2) = 2(x +1) ya da y = - x-1 olur. UYARI : (1, -2) noktasındaki teğetin eğimi, m = y`(x ) dır. 2 y. y` = 4 m= = -1 olur. y - (-2) = -1(x-1) den y = -x 1 elde edilir. YANIT : C

5. y = 2 x - 1 doğrusunun y = x 2 + kx + k parabolüne teğet olması için k nın değerler kümesi ne olmalıdır? A) ø B) {- 1, 2} C) {8} D) {0, 8} E) {0, 4}

ÇÖZÜM : Doğrunun parabole teğet olması için kesim noktalarının bir tane olması gerekir. Öyleyse : 2 x - 1 = x 2 + kx + k dan x 2 + (k - 2) x + k + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem kesim noktalarının apsislerini veren denklemdir. Çözüm kümesinin bir elemanlı olması için Δ = 0 olmalıdır. Δ = (k -2)2 - 4(k + 1) = k 2 - 8 k elde edilir. Δ = 0 için k 2 - 8 k = 0 vk = 8 Demek ki küme {0, 8} dir. YANIT : D

6. 4 x 2 - 9 y 2 = 36 hiperbolüne y = mx doğrusuna paralel iki teğet çizilebilmesi için m ne olmalıdır? A) E) m< - B) m = 5 v m> C) m = D) m>0

ÇÖZÜM : Hiperbole y = mx doğrusuna paralel çizilebilecek teğetler asimptotları geçememelidir. Öyleyse, teğetin eğiminin mutlak değeri asimptotların eğiminden küçük ya da ona eşit olmalıdır. 4 x 2 - 9 y 2 =36 ise =1 ve a 2 =9, b 2 =4 olur. dan elde edilir. YANIT : A

7. y 2 =8 x parabolünün 0 x ekseni ile 135º lik açı yapan teğetinin denklemi nedir? A) y = – x– 2 B) y = – x– 1 C) y = –x + 2 D) y = –x +1 E) y = x – 1

ÇÖZÜM : Teğet olacak doğru y = mx + n olsun. m = tan 135º = – 1 dir. y 2 = 2 px parabolüne teğet olma koşulu ise p – 2 mn = 0 idi. 2 p = 8 p = 4 dür. 4– 2. (– 1). n = 0 dan n = – 2 elde edilir. Öyleyse teğet denklemi y = – x– 2 dir. YANIT : A

8. 2 x 2 + 3 y 2 =6 elipsinin dışındaki P(3, 4) noktasından çizilen teğetlerinin değme noktalarını birleştiren kirişin denklemi nedir? A) x + y =2 B) 2 x + y =1 C) x – 2 y =1 D) x + 2 y =1 E) 2 x + 3 y =1

ÇÖZÜM + : =1 elipsinin dışındaki P( , ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen kiriş denklemi + =1 P(3, 4) noktası için kiriş olur. dir. Buna göre: + + =1 elipsinde =1 ya da x+ 2 y =1 denklemi YANIT : D

9. y 2 = 5 x parabolünün hangi kirişinin orta noktası M( , – 2) dir? A) x + y = – 3 = 0 B) 5 x + 4 y – 5 = 0 C) 5 x + 4 y + 13 = 0 D) 4 x + 5 y – 13 = 0 E) x + 2 y – 5 = 0

ÇÖZÜM : Eğimi m olan kirişlerinin orta noktalarının kümesi, y = çapıdır. – 2= den m= bulunur. Öyleyse kiriş denklemi y – y 0 = m(x – x 0) dan y – ( – 2) = – (x – ) ya da 5 x + 4 y – 5 = 0 elde edilir. YANIT : B

10. x 2 + 8 y = 0 parabolünün dik kesişen teğetlerinin kesim nokta-larının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2 B) x – 2 = 0 C) y + 2 = 0 D) x =1 E) y = 4

ÇÖZÜM : Bir parabolde birbirine dik olan teğetlerin geometrik yeri doğrultmandır. x 2 = – 8 y ve 2 p = – 8 dir. Öyleyse geometrik yerin denklemi y=– den y = + 2 olur. YANIT : A

11. 4 x 2 + 9 y 2 – 48 x + 72 y + 144 = 0 elipsinin merkezi aşağıdakilerden hangisidir? A) (4, 6) B) (6, 4) C) (3, 4) D) (5, 3) E) (2, 6)

ÇÖZÜM : Merkezli koniklerin (elips, hiperbol ) merkezi fx = 0 ve fy = 0 denklemlerinin ortak çözümünden elde edilir. fx = 8 x – 48 = 0 fy = 18 y – 72 = 0 sisteminin çözümünden x = 6, y = 4 elde edilir. UYARI : + = 1 durumuna dönüştürerek de (h, k) merkezini bulabilirsiniz. YANIT : B

TAMAMLAMALI TEST SORULARI 1. Merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı yedek eksen uzunluğu olan çembere. . , merkezi elips merkezi ve yarıçapı yarı büyük eksen olan çembere. . denir. (elipsin yedek çemberi, elipsin asal çemberi) 2. Elipsin bir odağı merkez ve yarıçapı büyük eksen uzunluğu olan çembere. . denir. (doğrultma çemberi) 3. Bir elipsin odağından geçen en kısa kiriş. . kiriştir. çizilen) (odağa dik olarak 4. Bir hiperbolün birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik yeri (monj çemberinin denklemi). . ve odaklarından biri merkez, asal eksen uzunluğu da yarıçap olan çembere. . denir. (x 2 + y 2 = a 2 - b 2 , doğrultman çemberi ) 5. Bir elipsin yarıçap vektörlerinin uzunluğu. . ile. . ve hiperbolün yarıçap vektörlerinin uzunlukları. . dır. ( İle ) 6. Bir ikizkenar hiperbolün odaklar uzunluğu türünden denklemi. . ya da x. y=. . dür. ( )

7. Bir hiperbolde değişken bir teğetle, asimptotların teşkil ettiği üçgenin alanı sabit ve. . dır. (a. b ) 8. Bir hiperbolde her teğetin asimptotlar üzerinde ayırdığı parçaların çarpımı sabit ve. . dır. ( c 2 ) 9. Bir parabolde odaktan geçen kirişlerin uçlarındaki teğetlerin kesim noktalarının geometrik yeri. . dır. ( doğrultman ) 10. Elipsin(ya da hiperbolün) odaklarının herhangi bir teğetine olan uzaklıkları çarpımı sabit ve. . . dır. ( b 2 )