Tangencias Dibujo tcnico 2 Bachillerato Propiedades de las

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Propiedades de las tangencias Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O 1 O 2 Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangencia está en la perpendicular a r, trazada por O Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz Si una circunferencia es tangente a dos rectas el centro está en la bisectriz

Dibujo técnico 2. º Bachillerato Tangencias Circunferencia que pasa por tres puntos 1. Se halla la mediatriz del segmento MN 2. Se traza la mediatriz del segmento NP 3. El punto O es el centro de la circunferencia

Dibujo técnico 2. º Bachillerato Tangencias Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta, estando uno de los puntos situado en dicha recta 1. Por M se traza la perpendicular a la recta 2. Se traza la mediatriz del segmento MN 3. El punto O es el centro de la circunferencia Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta O 1 1. Se traza circunferencia de diámetro AB 2. Se halla el punto D de intersección de la recta AB con r 3. Se trazan tangentes desde D a la circunferencia obteniendo F y G 4. Con centro en D y radio DG=DF se traza un arco que corta a r 5. Por H y J se trazan perpendiculares a r hasta cortar a m. Los puntos de corte son los centros de las circunferencias solución m B F C O 2 E A H D G J r

CIRCUNFERENCIAS QUE PASA POR UN PUNTO Y SON TANGENT ES A DOS RECTAS (PRR) El punto es exterior

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas El punto M está sobre una de las rectas 1. Por M se traza la perpendicular m a la recta s 2. Se trazan las bisectrices a y b del ángulo que forman las rectas r y s, que cortan a m en O 1 y O 2 3. O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias. El radio viene dado por la distancia MO 1 y MO 2. Los puntos de tangencia se determinan trazando una perpendicular a r desde los centros

Dibujo técnico 2. º Bachillerato Tangencias Circunferencias tangentes a tres rectas 1. Se trazan las bisectrices interiores y exteriores de los tres ángulos formados por las rectas al cortarse. Las bisectrices se cortan en cuatro puntos 2. Las bisectrices interiores se cortan en el punto O 1, centro de una de las circunferencias, y cuyo radio vendrá dado por los puntos de tangencia, que son el resultado de trazar una perpendicular desde el centro a cada una de las rectas 3. Las bisectrices exteriores se cortan en los puntos O 2, O 3 y O 4 y son el centro del resto de circunferencias solución

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes una circunferencia dada Los puntos son exteriores 1. Se traza circunferencia de diámetro AB obteniendo D y E como intersección 2. Se halla la intersección la recta AB con la recta DE obteniendo el punto F 3. Se trazan tangentes desde F a la circunferencia obteniendo H y J 4. Los puntos O 1 y O 2 están sobre r mediatriz de AB y alineados con HO y con JO respectivamente A O 1 C H D O 2 B E r O G J F Uno de los puntos está en la circunferencia 1. Se traza la recta m que une O y M 2. Se traza la mediatriz del segmento MN 3. El punto O 1 es el centro de la circunferencia

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia C O 1. Se traza por O una perpendicular a la recta dada obteniendo B, C y D F B A E D 3. Unimos A con el punto restante C o B obteniendo F como intersección con la circunferencia C 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y F tangentes a la recta (caso ya resuelto) O F E B A D 2. Se trazan las circunferencias de centro E que pasa por A, D y respectivamente por uno de los puntos B o C

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una circunferencia El punto está en la recta El punto está en la circunferencia 1. Se traza la perpendicular a r por M 2. Sobre m se traslada el radio de O 3. Se trazan las mediatrices de OA y OB 4. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias 1. Se traza la recta OM y la tangente en M 2. Se trazan las bisectrices del ángulo A 3. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto (pcc) El punto dado es un punto exterior 1. Se traza recta O 1 O 2 obteniendo B, C, D y E como puntos de intersección 2. Se trazan radios paralelos desde O 1 O 2 obteniendo H como intersección de las recta FG y O 1 O 2 F G B D C H E O 2 O 1 O A J 3. Se halla J, intersección de la circunferencia que pasa por A, C y D con la recta AH 4. El problema se reduce a hallar las circunferencias que pasan por A y J, y son tangentes a una circunferencia (caso ya resuelto) F C B O 1 J D O A E O 2 H G

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias tangentes a dos circunferencias conociendo un punto de tangencia Punto M dado está sobre una circunferencia 1. Se traza la recta m que une O’ y M 2. Sobre la recta m se traslada el radio de la otra circunferencia de centro O 3. Se trazan las mediatrices de OA y de OB 4. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de las circunferencias

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias tangentes a tres circunferencias Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ R' -R R 1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’-R y R’’-R O R' R ''- R O' R'' R O'' R'+ R +R O R'' R ' ' R' O' O'' La solución se reduce a trazar la circunferencia que pasa por O y es tangente a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado) 2. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’+R y R’’+R La solución se reduce a hallar las circunferencias que pasan por O y son tangentes a las nuevas circunferencias (caso ya estudiado)

Tangencias Dibujo técnico 2. º Bachillerato Circunferencias tangentes a tres circunferencias m Dadas las circunferencias de centros O, O’ y O’’ y de radios R, R’ y R’’ H O Se hallan dos de las soluciones F E C C' O' O 1 1. Se trazan con centro O’ y O’’ sendas circunferencias de radios R’-R y R’’-R G A J D B O 2 O'' K 2. Trazamos radios paralelos O’C y O’’D, y hallamos E 3. Se dibuja la circunferencia que pasa por A, B y O que corta a OE en F 4. Trazamos una circunferencia que pasa por O, F y que corte a la de centro O’’, puntos B y G 5. Las rectas FO y BG se cortan en H, desde donde se hallan las tangencias en K y J 6. Donde se cortan O’’J y O’’K con la mediatriz m de OF obtenemos los centros de la solución