Talsystemer Hvordan lser vi tal 10 talsystemet decimal

Talsystemer Hvordan læser vi tal? 10 -talsystemet (decimal tal) Romertal 2 -talsystemet (binære tal) 8 -talsystemet (oktale tal) - nævnes 16 -talsystemet (hexadecimale tal) Omregninger Praktiske anvendelser

Hvad står her? 4321

Sagt med ord 4 Tusinde 3 Hundrede 1 En Og 2 Tyve Bemærk at vi sprogligt bytter om på cifrene. Svenskernes udtale 2 ti 1 er mere logisk.

Hvis det var penge vi skulle give tilbage 4 gange en Tusindkroneseddel 3 gange en Hundredkroneseddel 2 gange en tier 1 gange en krone

Sagt matematisk 4 * 1000 + 3 * 100 + 2 * 10 + 1*1

Omskrevet matematisk 4 * 1000 = 4 * 10 = 4 * 103 + 3 * 100 = 3 * 102 + 2 * 10 = 2 * 101 + 1 * 1 = 1=1 * 100 Husk: Et tal opløftet til 0 te potens er altid 1

Omskrevet matematisk 4 * 103 + 3 * 102 + 2 * 101 + 1 * 100 Hvis vi ser på ovenstående vil vi se, at 10 er grundtallet. Ciffer nr 1 fra højre repræsenterer antal 100 =Enere Ciffer nr 2 repræsenterer antal 101 = Tiere Ciffer nr 3 repræsenterer antal 102 = Hundreder Der hvor der står 4 3 2 1 har vi behov for at kunne skrive tallene 0 -9 (dvs. 10 symboler ligesom grundtallet), for at kunne repræsentere alle hele tal med talsystemet

Romertal 4321 = MMMMCCCXXI Simpel sammentælling 74 = LXXIV Positionen har lidt at sige

Forskellige objekter ligesom penge 4 gange en Tusindkroneseddel 3 gange en Hundredkroneseddel 2 gange en tier 1 gange en krone

Notation o o Når vi arbejder med flere forskellige talsystemer skriver vi gerne grundtallet med lille sænket skrift efter tallet. F. eks. 432110

Binære tal (grundtal 2) o o På samme vis kan vi vælge at have andre grundtal. Vi starter med grundtallet 2. Dette er udgangspunktet for computere, da vi med strøm netop har to tilstande – tændt eller slukket. Dette arbejder med potenser af 2 og symbolerne 0 eller 1 (svarer til to udfald som grundtallet 2) Vi ser først på tallet 10112

Tallet 10112 omregnet til 10 talsystemet med potensmetoden 1* + 0* + 1* 23 = 1*2*2*2 = 8 22 = 0*2*2 = 0 21 = 1*2 = 2 20 = 1*1 = 1 1110

Tallet 10112 omregnet til 10 talsystemet med potensmetoden 1* + 0* + 1* 23 = 8 22 = 0 21 = 2 20 = 1 1110

Hexadecimale tal (grundtal 16) o o o Det hexadecimale talsystem arbejder med grundtallet 16. Dette system arbejder med potenser af 16 og symbolerne 0 til 9 samt A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 (svarer til 16 muligheder som grundtallet 16) Vi ser først på tallet CF 116

Tallet CF 316 omregnet til 10 talsystemet med potensmetoden 12 * 16 = 3072 (C = 12) + 15 * 16 = 240 (F = 15) + 3*1 = 3 331510 Altså er CF 316 = 331510

Tallet CF 316 omregnet til 10 talsystemet med potensmetoden C=12 * 162 = 3072 + F=15 * 161 = 240 + 3 * 160 = 3 331510

Konverteringsmetoder o o o Vi skal i det følgende se på konverteringsmetoder mellem de forskellige talsystemer: Potensmetoden = Konvertering fra andre talsystemer til 10 -talsystemer Divisionsmetoden = Konvertering fra 10 talsystemet til andre talsystemer Den direkte metode =Konvertering mellem binær, oktal og hexadecimal

Arbejdsgang i potensmetoden Trin 1 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 -talsystemet o o 2 C F 3 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 talsystemet Skriv tallet op 1 ciffer på øverste linie, 2 ciffer 2 anden linie, 3 ciffer på 3 linie osv:

Arbejdsgang i potensmetoden Trin 2 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 -talsystemet o HVIS det er fra hexadecimalt (grundtal 16) erstattes A-F med de respektive værdier 10 til 15. Ved konvertering fra andre talsystemer springes dette trin over 2 C=12 F=15 3

Arbejdsgang i potensmetoden Trin 3 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 -talsystemet Nu skrives: * grundtal 0 ved den nederste linje * grundtal 1 ved den 2. nederste linje * grundtal 2 ved den 3. nederste linje Og så videre indtil man når op til det 1. ciffer 2 * 163 = C=12 * 162 = F=15 * 161 = 3 * 160 =

Arbejdsgang i potensmetoden Trin 4 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 -talsystemet Nu beregnes resultatet på hver linje 2 * 163 = 2*16*16*16 = 8192 C=12 * 162 = 12*16*16 = 3072 F=15 * 161 = 15*16 = 192 3 * 160 = 3*1 = 3

Arbejdsgang i potensmetoden Trin 5 Eksempel: konverter 2 CF 316 til 10 -talsystemet Nu lægges resultaterne fra de enkelte linjer sammen og vi har resultatet i 10 -talssystemet 2 * 163 = 2 * 16 = 8192 C=12 * 162 = 12 * 16 = 3072 F=15 * 161 = 15 * 16 = 240 3 * 160 = 3 * 1 = 3 11507 10

Arbejdsgang i divisionsmetoden Trin 1 Eks: Konverter 11507 i 10 -talsystemet til 16 -talsystemet Først divideres tallet i 10 talssystemet med grundtallet i det talsystem, der skal konverteres til. Det der bliver til rest, er det mindst betydende ciffer og skrives op som det yderste højre ciffer i resultatet i det talsystem der konverteres til. 11507/16 = 719 og rest = 3 316 Rest beregnes ved: 11507 -(719*16)

Arbejdsgang i divisionsmetoden Trin 2 Eks: Konverter 11507 i 10 -talsystemet til 16 -talsystemet Resultatet af den første division (i vores eksempel 719) divideres igen med grundtallet. Resten bliver næstmindst betydende ciffer og skrives på den næst sidste plads i resultatet i det talsystem, der konverters til. 719/16 = 44 og rest = 15 = F F 316 Rest beregnes ved: 719 -(44*16)=15

Arbejdsgang i divisionsmetoden Trin 3 Eks: Konverter 11507 i 10 -talsystemet til 16 -talsystemet Nu gentages trin 2 ind til den rest der opstår er mindre en grund tallet. I vores eksempel skal vi dividere de 44 med 16 44/16 = 2 og rest = 12 = C CF 3 C 16 Rest beregnes ved: 44 -(2*16)=12

Arbejdsgang i divisionsmetoden Trin 4 Eks: Konverter 11507 i 10 -talsystemet til 16 -talsystemet Når det resultat, der kommer ud af divisionen med grundtallet er mindre end grundtallet stoppes. Resultatet er så det mest betydende ciffer, svarende til det, der står længst til venstre i tallet i det talsystem, der konverteres til I vores eksempel var resultatet af sidste division 2, altså mindre end 16. Det mest betydende ciffer er derfor 2. 2 CF 316 Vi er nu i mål: 1150710=2 CF 316

Arbejdsgang i den direkte metode Trin 1 Eks: Konverter 3 CF 3 i 16 -talsystemet Først konverteres tallet til binært tal: 3 = 00112 C = 11002 F = 11112 3 = 00112 Samlet: 0011 1100 1111 00112

Arbejdsgang i den direkte metode Trin 2 Eks: Konverter 3 CF 3 i 16 -talsystemet Så tager vi udgangspunkt i det binære tal. Hvis vi vil konvertere til et oktalt tal, skal vi dele tallet op i grupper af 3 bits bagfra. (Hvis det var hexadecimalt tal skulle vi dele op i sæt af 4 bits) Vi havde: 0011 1100 1111 00112 Vi får: 0 011 110 0112

Arbejdsgang i den direkte metode Trin 3 Eks: Konverter 3 CF 3 i 16 -talsystemet Så tager vi udgangspunkt i grupperne i det binære tal. Hver gruppe skal nu konverteres til det respekterende symbol (0 -9 og hvis hexadecimalt A-F) Vi har: 0 011 110 0112 Vi får: 3 6 3 Resultatet er: 363638

Praktiske anvendelser o o o Edb-systemerne fungerer ved hjælp af de binære talsystemer internt. Som bruger oplever man ikke kontakt med de forskellige talsystemer Som udvikler møder man talsystemerne

Praktiske anvendelser Bitmap grafik – CEmærket binært 0000011100000 111 00011000000 11 11 001000000 0100000001111111 01000000 00100000 00011000000 11 11 0000011100000 111

Praktiske anvendelser Bitmap grafik – CEmærket oktalt 3407 1430 20040 40100 40177 40100 20040 1430 3407 Bemærk symmetrien. Bemærk endvidere at det er færre cifre man som udvikler skal skrive for at lave mærket, hvis man anvender oktale tal frem for binære tal.

Praktiske anvendelser Bitmap grafik – CEmærket hexadecimalt 0707 0318 2020 4040 407 F 4040 2020 0318 0707 Bemærk symmetrien. Bemærk endvidere at det er færre cifre man som udvikler skal skrive for at lave mærket, hvis man anvender hexadecimale tal frem oktale tal.

Praktiske anvendelser Farvekoder Mange steder anvendes hexadecimale koder som farvekoder. F. eks på hjemmesider: o Alle steder hvor vi vil angive en farve kan vi gøre det med farvekoden. o Denne består af # efterfulgt af et 6 cifret hexadecimalt tal, der fortæller hvor meget der skal skrues op farve de tre farver lys: Blå, grøn og rød (RGB farvekode) Koden for rød: #FF 0000 Koden for grøn: #00 FF 00 Koden for blå: #0000 FF o