TALLER 7 LA ENSEANZA DE LA MULTIPLICACIN Ruta

TALLER 7: LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN.

Ruta del taller 7 q Modelación de práctica profesional docente • Gestión de las estrategias presentadas en clases, resaltando aspectos conceptuales de la multiplicación en IN. q. Resolución de dos tarea matemática (TM) • Orientada a la búsqueda de estrategias en equipo para multiplicar números de dos dígitos por un dígito, a través de la resolución de problemas. q. Análisis y reflexión • Análisis de TM del texto Sumo Primero para el estudiante y producciones en la resolución de problemas en un estudio de clase. • Definiciones de multiplicación en IN, tipos de estrategias y su vínculo curricular. q Diseño de una pizarra para co-docencia mayo 2020. • Los profesores diseñan una pizarra para una clase de multiplicación. q. Institucionalización y evaluación § Conceptos fundamentales de la Multiplicación en IN. § Evaluación del taller 7

Objetivo del taller: • Indagar en el concepto de multiplicación de números naturales y en su enseñanza, a través de la resolución y análisis de tareas matemáticas.

"MODELACIÓN DE UN ENFOQUE DE CLASE ACERCA DE LA ENSEÑANZA DE LA MULTIPLICACIÓN"

Cuarto Año Básico Fecha: Objetivo de la clase : Problema 1 : ¿Cuántos círculos hay? – material concreto 25 fichas ¿De qué manera se puede agrupar para contar mas fácilmente? Posibles respuestas Identificar diversas estrategias para multiplicar números de dos dígitos por un número de un digito a través de la resolución de problemas mediante el trabajo en equipo. Posibles respuestas 2 x 7 = 2 x(5+2) = 2 x 5+2 x 2 = 10+4 = 14 2 x 7 = 2 x(4+3) = 2 x 4+2 x 3 = 8+6 = 14 2 x 7 = 7 x(1+1) = 7 x 1+7 x 1 = 7+7 = 14 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición. Conocimientos previos: ¿Cuántos puntos hay ? Resuelva usando una Multiplicación. Conclusiones Para multiplicar puedes descomponer aditivamente uno de los factores y luego aplicar la propiedad distributiva. ¿Qué estrategias recomendarías a un compañero? Ejemplifica Problema 2 : ¿Cuántos círculos hay? Estrategias Posibles respuestas 3 x 24 = 3 x 10+3 x 4 = 30+30+12 = 72 3 x 24 = 3 x(20+4) = 3 x 20+3 x 4 = 60+12 = 72 6 x 17 R: 6 x(10+7) = 6 x 10+6 x 7 = 60+42 = 102 Ejercitación Practica con khan academy Multiplica con: Propiedad distributiva Algoritmo estándar. Modelos de área

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN COPISI Tarea Matemática 1 (TM-1): ¿Cuántos Pregunta: círculos hay? 1. ¿De qué manera se puede agrupar para contar más fácilmente? Utilice las fichas para hacer nuevas agrupaciones. Registre las distintas maneras de agrupar. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN PICTÓRICO – SIMBÓLICO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN CONCRETO Usando material(fichas, tapas de botella, cubos u otros). Mostrar diferentes formas de organizar los círculos para contar. En la pizarra los estudiantes comparten sus distintas estrategias para contar y las expresiones numéricas de cada caso. Por ejemplo: 1. - conteo uno a uno. 2. -conteo de n en n. 3. -conteo por decenas 4. - conteo por grupos. 5. -agrupar para sumar. 6. - agrupar para multiplicar. Pregunta cierre : ¿ En Cuáles de las formas presentadas se agrupa para multiplicar?

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN PICTÓRICO – SIMBÓLICO Tarea Matemática 2 (TM-2): ¿Cuántos círculos hay? POSIBLES ESTRATEGIAS “ AGRUPAR PARA MULTIPLICAR” PICTÓRICO SIMBÓLICO PICTÓRICO 3 x 24 = = 3 x 10+3 x 4 = 30+30+12 = 72 3 x 24 = 72 SIMBÓLICO (3 x 3)x 8 = 72 9 x 8 = 72 24 x 3 = 72 3 x 24 = 3 x(20+4) = 3 x 20+3 x 4 = 60+12 = 72 Pregunta de cierre : ¿ Cuáles de las estrategias presentadas es óptima para calcular ? 3 x 24 (3 x 12)x 2 = 72 36 x 2 = 72

“EJERCITACIÓN CON KHAN ACADEMY (KA) "

VIDEOS EJERCICIOS

ESTRATEGIAS PARA LA MULTIPLICACIÓN 1. - Algoritmo Estándar. 1. 1. - Multiplicación vertical : Esta estrategia consiste en multiplicar los dígitos del primer factor por el segundo factor de acuerdo a su valor posicional. La disposición de los factores es en columnas. Ejemplo : 32 x 3 = 32 x _3 96 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9

2. -Descomposición Aditiva 2. 1 -Descomposición Aditiva canónica Para resolver una multiplicación de un número de 3 dígitos por uno de un dígito, puedes descomponer aditivamente uno de los factores según el valor posicional de cada dígito y aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo : 323 x 3 2. 2. - El Encadenamiento Multiplicativo , se aplica varias veces la propiedad distributiva o un proceso de duplicación. Por ejemplo: 48 x 6 48 x 3 = 144 luego 144+144=288 48 x 6 (40+8)x 3 = 40 x 3+8 x 3 = 120+24 = 144

Recordemos LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Multiplicador Multiplicando Observa la tabla de multiplicación ¿Qué características de los productos identificas? X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Posibles respuestas de los estudiantes Multiplicando Multiplicador x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 1. Si el multiplicador es uno, el producto es igual multiplicando. Elemento neutro 2. - En la multiplicación las respuestas son las mismas si el multiplicando y el multiplicador intercambian sus lugares. Por ejemplo, 2 x 7=14 y 7 x 2=14 Propiedad Conmutativa 3. -Si descomponemos el multiplicador y sumamos las respuestas, es igual que encontrar la multiplicación sin descomponer el multiplicador (6 x 8 = 6 x 5 +6 x 3) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición Otras observaciones 4. - Cuando el multiplicador aumenta en 1, la respuesta aumenta el número que indica el multiplicando (5 x 4=20 y 5 x 5=25). Aumenta 5 5. -Cuando el multiplicador disminuye en 1, la respuesta disminuye el número que indica el multiplicando (3 x 4=12 y 3 x 3=9). Disminuye 3

3. - La estrategia de las variantes: incluye todas aquellas aproximaciones que hacen uso inteligente de los hechos numéricos, relaciones entre los números y las propiedades de las operaciones en la resolución de problemas ESTRATEGIAS EJEMPLO JUSTIFICACIÓN EJERCICIOS 3. 1 Redondeo 9 x 12 = (10 -1)x 12 = 10 x 12 -1 x 12 = 120 -12 = 108 El número 9 se escribe como (10 9 x 14 = -1) y se utiliza la propiedad 25 x 19 = distributiva. 999 x 40 = 3. 2 Intercambio 3 x 9 = 9 x 3 = 9+9+9 = 27. Se utiliza la propiedad conmutativa. 3. 3 Duplicar y calcular mitades Es requisito que al menos uno de los números sea par y que el otro sea un múltiplo de 5. 16 x 25 = 8 x 50 = 400 La mitad de 16 es 8. El doble de 25 es 50. Se descompone uno de los 16 x 15 = números y se aplica la propiedad 18 x 25 = asociativa. * 22 x 35 = 16 x 25 = = (8 x 2)25 = 8(2 x 25) = 8 x 50 = 400 2 x 25 = 3 x 42 = * La propiedad asociativa se introduce en 5° básico, la estrategia es utilizada desde 4° básico, utilizando conceptos de doble y mitad conocidos por los estudiantes.

4. - Modelo de área Es una estrategia que propone representar una multiplicación con un rectángulo que tiene como lados los factores de la multiplicación. Está basado en la propiedad distributiva de la multiplicación.

Estrategias no usuales : Las siguientes producciones fueron generadas por estudiantes de 4° básico, en una clase introductoria a la multiplicación de un número de dos dígitos por un número de dos dígitos. La tarea planteada a los y las estudiantes fue ¿Cuánto es 32 x 25? Estrategia 1 Estrategia 2 1. -¿ Cómo lo pensó el estudiante? 2. - ¿Con cuál estrategias de la multiplicación las relacionarías ?

REFLEXIONES SOBRE EL CONCEPTO DE MULTIPLICACIÓN

¿Qué es una multiplicación y como se representa? Las tareas Matemática 1 y 2, corresponde a tareas planteadas a un segundo año básico para iniciar el estudio de la multiplicación. TM - 3 TM-1 : extraída texto del estudiante 2°B TM-4 TM-2 : extraída texto del estudiante 2°B Instrucciones 1. -¿Cómo resolvería un estudiante de 2° año básico las tareas dadas? 2. - Describe las situaciones con tus palabras y exprese cada multiplicación como adición de sumandos iguales. ¿Qué diferencias observas?

TM-3 - Se expresa la multiplicación como 5 x 4 (uso de signo (x) ) La situación: 5 dedos, en 4 manos. 5 x 4= 5+5+5+5 5 x 4= 20 20 dedos. Para expresar la multiplicación como adición, suman el primer factor. “cuatro veces cinco” ó “cinco, cuatro veces”. TM-4 Se expresa la multiplicación como 5 ∙ 4 (uso de punto ∙ ) - La situación : 5 maceteros con 4 añañucas cada uno. - 5∙ 4 = 4+4+4. - 5∙ 4 = 20 - 20 añañucas. - Para expresar la multiplicación como adición, suman el segundo factor. - “cinco veces cuatro”

Las tareas 5 y 6, corresponde a tareas planteadas para un tercer año básico para construir la tabla del 2. TM-5 TM-6 TM-4 : extraída texto del estudiante Sumo Primero 3°B TM-3 : extraída texto escolar Sumo Primero 3°B Instrucciones 1. -¿Cómo resolvería un estudiante de 3° año básico las tareas dadas? 2. - ¿Qué diferencias observas en el procedimiento? ¿ que propiedades están en juego en cada caso?

TM-5 Construye la tabla del 2 a través del conteo. - La notación es estándar. - El multiplicando(primer factor)es siempre constante (2). - El multiplicador(segundo factor) varía de uno en uno. - usa el signo por - Utiliza representaciones pictóricas. TM-6 Construye la tabla del 2 a través de la suma iterada. - En vez de hacer : 2∙ 1 ; 2∙ 2 …etc lo realiza 1∙ 2 ; 2∙ 2; 3∙ 2 por lo tanto requiere de la propiedad conmutativa para reescribir la tabla en el formato estándar. - El primer factor varía de 1 en 1. - El factor se mantiene constante (2) - Usa punto. - Al escribir 3∙ 2 , coincide con la lectura usual “tres veces dos como sumando ”.

Resumiendo • Los textos presentan dos maneras de enseñar la multiplicación FORMA 1 : LA MULTIPLICACIÓN COMO GRUPOS Es la operación que permite calcular el total cuando hay el mismo número de objetos por grupo y conoces la cantidad de grupos. Se utiliza el símbolo x. Ejemplo : 5 x 4 , significa “ 4 grupos con 5 elementos cada uno” se lee: “ cinco, cuatro veces como sumando” o “ cuatro veces cinco como sumando”. FORMA 2 : LA MULTIPLICACIÓN COMO ADICIÓN se expresa como una adición de sumandos iguales, se repite el segundo factor como sumando, tanta veces lo indique el primer factor. Se utiliza el símbolo ∙ Ejemplo : 5 x 4 , significa “ 5 grupos con 4 elementos cada uno ” se lee: “cinco veces cuatro como sumando”. 5 x 4= 4+4+4.

TAREA PROFESIONAL DOCENTE Considere la siguiente TM-7 ¿Cuántos lápices hay en total? Si tuviese que adaptar la TM siguiendo las fases CONCRETOPICTÓRICO-SIMBÓLICO, ¿Cómo lo haría? ¿Qué forma elegiría para gestionar la tarea dada ? CONCRETO PICTÓRICO SIMBÓLICO

Profundizando Problemas de tipo multiplicativo Considere los tres problemas y responda ¿ Cómo lo pensarían sus estudiantes? ¿Cuáles son las características que diferencian estos problemas? Problema 1 : Una bolsa tiene 7 dulces, ¿cuántos dulces hay en 5 bolsas? Problema 2: Paula planea ir al cine con sus amigas, y para escoger la ropa que usará, separó 3 blusas y 2 faldas. ¿ De cuántas maneras se puede vestir Paula? Problema 3: “Andrés tiene el triple de lápices que José, ¿cuántos lápices tiene Andrés si José tiene 8? ” Lápices de José

Problemas de tipo multiplicativo Vergnaud (1990) estudia el campo conceptual de las estructuras multiplicativas y en él se distingue tres tipos de problemas: 1. Isomorfismo de la Medida: problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medida. Resolución Una resolución “escalar” al problema es “Si hay 7 dulces por bolsa, en 5 bolsas habrá 35 dulces (7 dulces/ bolsa x 5 bolsas)”. Una resolución “funcional” es “Si hay 5 bolsas y en cada bolsa hay 7 dulces, entonces habrá 35 dulces (5 bolsas x 7 dulces/bolsa). En la resolución funcional se pasó de una medida (bolsas) a otra (unidades de dulces). Isomorfismo : igual forma

2. Producto de medida: problema cuyas estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M 1 y M 2 y un tercero, M 3. Resolución : diagrama de árbol. Paula se puede vestir de 6 maneras distintas. 3 x 2 = 6 . Utilizando representaciones Paula se puede vestir de 6 maneras distintas. 3 blusas por 2 faldas es 6 maneras de vestir.

3. - Problemas con un espacio único de medidas: problema en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces Resolución: 1) Andrés tiene el triple de lápices que José Lápices de Andrés = 8+8+8 2) Andrés tiene el triple de lápices que José Lápices de Andrés = 8 x 3 = 24 3 veces 8 corresponde a 3 x 8 ó 8 x 3 escalar

UBICACIÓN CURRICULAR • La multiplicación en N se ubica en el eje de Números y operaciones “Este eje abarca tanto el desarrollo del concepto de número como las destrezas de cálculo mental y el uso de algoritmos. Una vez que los alumnos asimilan y construyen los conceptos básicos, con ayuda de metáforas y representaciones, aprenden los algoritmos de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división” (MINEDUC, 2018, p. 218)

LA MULTIPLICACIÓN EN EL CURRÍCULO Habilidad /cursos REPRESENTAR Segundo año Básico Tercer año Básico Cuarto año Básico OA 11: demostrar que comprende la multiplicación: -usando representación concreta y pictórica. -expresando una multiplicación como una adición de sumandos iguales. -Usando la propiedad distributiva (tablas del 2, 5 y 10). -Resolver problemas que involucren las tablas del 2 , 5 y del 10. OA 8: demostrar que comprende la tablas de multiplicar hasta el 10: -usando representación concreta y pictórica. -expresando una multiplicación como una adición de sumandos iguales. -Usando la propiedad distributiva (tablas del 2, 5 y 10). -Resolver problemas que involucren las tablas hasta el 10. OA 5: Demostrar que comprende la multiplicación de números de tres dígitos por un número de un digito: -Usando estrategias con o sin material concreto. -Usando las tablas de multiplicación -Estimando productos -Usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. -Aplicando el algoritmo de la multiplicación. -Resolviendo problemas rutinarios. Concepto de Multiplicación y Estrategias

ARTICULACIÓN CON KHAN ACADEMY Introducción a la multiplicación. https: //es. khanacademy. org/math/arit hmetic/arith-review-multiplydivide/arith-review-multintro/v/introduction-to-multiplication Multiplicar números de 1 dígito por múltiplos de 10, 100 y 1000 https: //es. khanacademy. org/math/arithmetic/arithreview-multiply-divide/arith-review-mult-10 s-100 s 1000 s/v/multiplying-1 -digit-numbers-by-multiples-of 10 Utilizar el modelo y propiedades de área para multiplicar https: //es. khanacademy. org/math/arithmetic/arith-reviewmultiply-divide/arith-review-place-value-area-models/v/moreways-to-think-about-multiplying

DISEÑO DE UNA CLASE PARA LA MULTIPLICACIÓN 1) Conformar dos grupos de profesores primero-segundo, tercero-cuarto. 2) Diseñar una pizarra para una clase de multiplicación, considerando: - Objetivos, momentos de la clase, materiales a utilizar, posibles estrategias, representaciones COPISI, conclusiones, ejercitación(se sugiere utilizar los recursos de Khan Academy), etc. 3) Es una tarea profesional del docente la gestión de la tarea Matemática, para ello se presentan ejemplos de tareas (de estudio de clase), las cuales pueden ser adaptadas(mayor complejidad, menor complejidad, incorporar contexto, uso de materiales y otros) a los distintos niveles. TM-1 : a. - Observar la caja y pensar “cuántas bolas entrarán en la caja” b. -Observar la forma de una caja donde pueden entrar 12 bolas y pensar “cuántas bolas entrarán en la misma” TM- 2 : ¿Cuántos círculos hay? TM-3 : ¿Cuántos círculos hay?

Fecha: Objetivo de la clase : Problema : Conclusiones Conocimientos previos: Estrategias Ejercitación - En cuaderno -Practica con Khan academy

SUGERENCIAS PARA INTRODUCIR LAS TABLAS DE MULTIPLICAR TM : Pintar una criba del 1 al 300 para cada múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. CRIBA DE ERATÓSTENES https: //youtu. be/Pz. ZFJ 8 GBUt. M

Evaluación del taller 7 : Objetivo: Indagar en el concepto de Multiplicación en IN y las estrategias para su enseñanza, a través de la resolución y análisis de tareas matemáticas(TM), trabajando metódica y ordenadamente. I. - ¿Qué aspectos aprendió de este taller? II. -¿Cuáles reforzaría? EVALUAR AQUÍ: https: //forms. gle/J 8 JB 6 j. GK 2 U 1 Lq. X 196

REFERENCIAS • Isoda, M. , Olfos, R. , (2009). Enseñanza de la multiplicación: desde el estudio de clases japonés a las propuestas iberoamericanas. Ediciones Universitarias de Valparaíso: Chile. • Estrella, S. , e Isoda, M. (2019). Libro del estudiante, 3° Sumo Primero. Valparaíso: MINEDUC y programa Suma + PUCV. • Estrella, S. , e Isoda, M. (2019). Libro del estudiante, 2° Sumo Primero. Valparaíso: MINEDUC y programa Suma + PUCV. • Isoda, M. (2014). El Estudio de clases: enfoques sobre la resolución de problemas en la enseñanza de matemáticas en la experiencia japonesa. En Campos, J. , Montecinos, C. , y Gonzáles, A. (Ed). Mejoramiento Escolar en Acción, 65 -80. Valparaíso: Centro en Investigación Avanzada en Educación, PUCV. • Khan Academy (2020). Multiplicación : Recuperado el 5 de enero 2020 en https: //es. khanacademy. org/math/arithmetic/arith-review-multiply-divide/arith-review-place-value-areamodels/e/multiply-2 --digits-by-1 -digit-with-area-models • MINEDUC (2018). Bases curriculares 1° a 6° básico . Recuperado el 5 de enero 2020 en https: //www. curriculumnacional. cl/614/w 3 -propertyvalue-120183. html_ • Texto del estudiante 4°B (2018). Ediciones SM Chile S. A. • Texto del estudiante 3°B (2018). Editorial Santillana. • Texto del estudiante 2°B (2017) Ediciones SM Chile S. A.