T Madas Natural Numbers E g 1 2

Natural Numbers ( ) E. g. 1, 2, 3 … Integers ( ) E. g. … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … Rational Numbers ( ) E. g. 17, -10, -½, -0. 65, 0. 333 etc Real Numbers ( ) Complex Numbers ( ) Add zero and negative integers Add fractions and decimals which can be represented by fractions Add irrational numbers such as the square roots and π Add imaginary numbers © T Madas

Rational or Irrational? It doesn’t quite work like this with numbers © T Madas

What is an irrational number? It is a number which when written in decimal form: it has an infinite number of decimal digits which appear with no pattern whatsoever The formal definition of an irrational number: It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominator The constant ratio of a circle’s circumference is an irrational number, which is given approximately by: 3. 141592653589793238462643383279502884197 [40 d. p. ] We know this irrational number as π Infinite decimal places, no pattern, there is no fraction equal to π © T Madas

π≈ 1000 decimal places 3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164 062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317 253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109 756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266 482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153 643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595 919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912 279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609 437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277 857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796 892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113 499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082 533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473 035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268 06613001927876611195909216420198 © T Madas

π≈ 5000 decimal places 3. 14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535 9408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393 6072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861 1738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717 6293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112 1290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710 1000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642 0198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727 8558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346 4620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172 1641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542 5278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477 6241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520 5117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390 4780275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944374553050682034962524517493996514314298091906 5925093722169646151570985838741059788595977297549893016175392846813826868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383 6736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267 4676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489 4056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312978482168299894872265880485756401427047755513237964145152374623436 4542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683 3214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799983910159195618146751426912397489 4090718649423196156794520809514655022523160388193014209376213785595663893778708303906979207734672218256259966150142150306803844773454920260541 4665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439 0397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981 6909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183 5155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282 8905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330 3801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110104468232527 1620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686 7532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078 5473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923099 0796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901938971311179042978285647503203198691514028708 0859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146540628 4336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375751149595015 6604963186294726547364252308177036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184 2631298608099888687413260472 © T Madas

π≈ 10000 decimal places 3. 141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559 644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360 011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737 190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891 249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379 774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030 286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800081647060016145249192 173217214772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383 827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896084128488626945604241965285022210661186306744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645 995813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387 410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700 129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596 094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364 542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481 005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787 083039069792077346722182562599661501421503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268561005508106658796998163574736384052571459 102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017 350671274858322287183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535 893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589 852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243344189303968642624341077322697802807318915 441101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486117910453348850346113657686753249441668039626579 787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800700237877659134401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235 808933065757406795457163775254202114955761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901 938971311179042978285647503203198691514028708085990480109412147221317947647772622414254854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159160771669254748738986654949450114 654062843366393790039769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177 036751590673502350728354056704038674351362222477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302163159819319516735381 297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281 512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332 316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695 970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788 518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362 676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542916299193064553779914037340432875262888963995879475729174642635745525407909145135711136 941091193932519107602082520261879853188770584297259167781314969900901921169717372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784408745 196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834918740786680881833851022833450850486082503930213321971551843063545500766828294930413776552793975175461 395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398989893582116745627010218356462201349671518819097303811980049734072396103685406643 193950979019069963955245300545058068550195673022921913933918568034490398205955100226353536192041994745538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006 660443325888569867054315470696574745855033232334210730154594051655379068662733379958511562578432298827372319898757141595781119635833005940873068121602876496286744604774649159950549 737425626901049037781986835938146574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136793862708943879936201629515413371424892830722 012690147546684765357616477379467520049075715552781965362132392640616013635815590742202020318727760527721900556148425551879253034351398442532234157623361064250639049750086562710953 591946589751413103482276930624743536325691607815478181152843667957061108615331504452127473924544945423682886061340841486377670096120715124914043027253860764823634143346235189757664 521641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701266830240292952522011872676756220415420 516184163484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079288621507842451670908700069928212066041837180653556725253256753286129104248776182582976515795984703562226293486 003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250391275771028402799806636582548892648802545661017296702664076559042909945681506526530537182941270336931378 51786090407086671149655834343476933857817113864558736781230145876871266034891390956200993936103102916161528813843790990423174733639480457593140529763475748119356709110137751721 008031559024853090669203767192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511173547191855046449026365512816228824462575916333039107225383742182140883508657391771509682887 478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584835884531427756879002909517028352971634456212964043523117600665101241200659755851276178 583829204197484423608007193045761893234922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247162591 668545133312394804947079119153267343028244186041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425170296923488962766844032326092752496035799646925650493681836090032380929345 958897069536534940603402166544375589004563288225054525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031509526179378002974120766514793942590298969594699556576121865619673378 623625612521632086286922210327488921865436480229678070576561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246801224826117718589638140918390367367222088832151375560037279839 400415297002878307667094447456013455641725437090697939612257142989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124247014121478057345510500801908699603302763478708108175450 119307141223390866393833952942578690507643100638351983438934159613185434754649556978103829309716465143840700707360411237359984345225161050702705623526601276484830840761183013052793 205427462865403603674532865105706587488225698157936789766974220575059683440869735020141020672358502007245225632651341055924019027421624843914035998953539459094407046912091409387001 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to π π is the most famous irrational number © T Madas

T C All non exact roots A F are irrational numbers [it can be proven using more advanced maths] rational irrational Why? rational © T Madas

2 ≈ 1000 decimal places 1. 4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324 7846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264 4121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971 6059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397 6260362799525140798968725339654633180882964062061525835239505474575028 7759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815 0305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185 6898723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714358548 7415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652 1458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186480342 1948972782906410450726368813137398552561173220402450912277002269411275 7362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565 4823728997180326802474420629269124859052181004459842150591120249441341 7285314781058036033710773091828693147101711116839165817268894197587165 8215212822951848847 © T Madas

2 ≈ 5000 decimal places 1. 41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412 1497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603 6279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440 2779031645424782306849293691862158057846311159666871301301561856898723723528850926486124949771542183342042856860601468247207714358548741556570 6967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829 0641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180 3268024744206292691248590521810044598421505911202494413417285314781058036033710773091828693147101711116839165817268894197587165821521282295184 8847208969463386289156288276595263514054226765323969461751129160240871551013515045538128756005263146801712740265396947024030051749531886292563 1385188163478001569369176881852378684052287837629389214300655869568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113206 0524336294853170499157717562285497414389991880217624309652065642118273167262575395947172559346372386322614827426222086711558395999265211762526 9891754098815934864008345708518147223181420407042650905653233339843645786579679651926729239987536661721598257886026336361782749599421940377775 3681426217738799194551397231274066898329989895386728822856378697749662519966583525776198939322845344735694794962952168891485492538904755828834 5260965240965428893945386466257449275563819644103169798330618520193793849400571563337205480685405758679996701213722394758214263065851322174088 3238294728761739364746783743196000159218880734785761725221186749042497736692920731109636972160893370866115673458533483329525467585164471075784 8602463600834449114818587655554286455123314219926311332517970608436559704352856410087918500760361009159465670676883605571740076756905096136719 4013249356052401859991050621081635977264313806054670102935699710424251057817495310572559349844511269227803449135066375687477602831628296055324 2242695753452902883876844642917328277088831808702533985233812274999081237189254072647536785030482159180188616710897286922920119759988070381854 3332536460211082299279293072871780799888099176741774108983060800326311816427988231171543638696617029999341616148786860180455055539869131151860 1038637532500455818604480407502411951843056745336836136745973744239885532851793089603738989151731958741344288178421250219169518755934443873961 8931454999990610758704909026088351763622474975785885836803745793115733980209998662218694992259591327642361941059210032802614987456659968887406 7956167391859572888642473463585886864496822386006983352642799056283165613913942557649062065186021647263033362975075697870606606856498160092718 7092921531323682813569889370974165044745909605374727965244770940992412387106144705439867436473384774548191008728862221495895295911878921491798 3398108378827815306556231581036064867587303601450227320882935134138722768417667843690529428698490838455744579409598626074249954916802853077398 9382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276364507163279154701597733548638939423257277540038260274785674172580951416307159597 8498180094435603793909855901682721540345815815210049366629534488271072923966023216382382666126268305025727811694510353793715688233659322978231 9298606467978986409208560955814261436363100461559433255047449397593399912541953230093217530447653396470662761166175351875464620967634558738616 4880198848497479264045065444896910040794211816925796857563784881498986416854994916357614484047021033989215342377037233353115645944389703653166 7219490493518829058063074013468626416724701106534634939164071462855679801779338144240452691370666097776387848662380033923243704741153318725319 0601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887372905129407339479433061943956936702079429515878228349321931666 4111301549594698378977674344435393377099571349884078908508158923660700886581054709497904657229888808924612828160131337010290802909997456478495 8154561464871551639050241985790613109345878330620026220737247167668545549990499408571080992575992889323661543827195500578162513303815314657790 7926868500806984428479152424275441026805756321565322061885751225113063937025362927161968251259192025216058701189596732244239267423734490764646 7273753479645988191498079317180024238554538860383683108007791824664627541174442500187277795181643834514634612990207633430179685543856316677235 1838933666704222211093914493028796381283988931173130843004212555018549850652945563776603146125590910461138476828235959247722862904264273616326 4585443392877263860343149804896397363329754885925681149296836126725898573833216436663487023477302610106130507298611534129948808774473111229542 6527516536659117301423606265 © T Madas

2 ≈ 10000 decimal places 1. 4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999 505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298 355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060 146824720771435854874155657069677653720226485447015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072 636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150591120 249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518488472089694633862891562882765952635140542267653239694617511291602408715510135150455381 287560052631468017127402653969470240300517495318862925631385188163478001569369176881852378684052287837629389214300655869568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040 883914292338113206052433629485317049915771756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839599926521176252698917540988159348640 083457085181472231814204070426509056532333398436457865796796519267292399875366617215982578860263363617827495994219403777753681426217738799194551397231274066898329989895386728822856 378697749662519966583525776198939322845344735694794962952168891485492538904755828834526096524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540 575867999670121372239475821426306585132217408832382947287617393647467837431960001592188807347857617252211867490424977366929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644 710757848602463600834449114818587655554286455123314219926311332517970608436559704352856410087918500760361009159465670676883605571740076756905096136719401324935605240185999105062108 163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934984451126922780344913506637568747760283162829605532422426957534529028838768446429173282770888318087025339852338122749990 812371892540726475367850304821591801886167108972869229201197599880703818543332536460211082299279293072871780799888099176741774108983060800326311816427988231171543638696617029999341 616148786860180455055539869131151860103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396189 314549999906107587049090260883517636224749757858858368037457931157339802099986622186949922595913276423619410592100328026149874566599688874067956167391859572888642473463585886864496 822386006983352642799056283165613913942557649062065186021647263033362975075697870606606856498160092718709292153132368281356988937097416504474590960537472796524477094099241238710614 470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179833981083788278153065562315810360648675873036014502273208829351341387227684176678436905294286984908384557445794095986 260742499549168028530773989382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276364507163279154701597733548638939423257277540038260274785674172580951416307159597849818009443 560379390985590168272154034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297823192986064679789864092085609558142614363631004615594 332550474493975933999125419532300932175304476533964706627611661753518754646209676345587386164880198848497479264045065444896910040794211816925796857563784881498986416854994916357614 484047021033989215342377037233353115645944389703653166721949049351882905806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392324370 474115331872531906019165996455381157888413808433232105337674618121780142960928324113627525408873729051294073394794330619439569367020794295158782283493219316664111301549594698378977 674344435393377099571349884078908508158923660700886581054709497904657229888808924612828160131337010290802909997456478495815456146487155163905024198579061310934587833062002622073724 716766854554999049940857108099257599288932366154382719550057816251330381531465779079268685008069844284791524242754410268057563215653220618857512251130639370253629271619682512591920 252160587011895967322442392674237344907646467273753479645988191498079317180024238554538860383683108007791824664627541174442500187277795181643834514634612990207633430179685543856316 677235183893366670422221109391449302879638128398893117313084300421255501854985065294556377660314612559091046113847682823595924772286290426427361632645854433928772638603431498048963 973633297548859256811492968361267258985738332164366634870234773026101061305072986115341299488087744731112295426527516536659117301423606265258690771982170370981046443604772267392829 874152593069562063847108274082184906737233058743029709242899481739244078693752844010443990485208788519141935415129006817351703069386970590047425157655248078447362144105016200845444 122255956202984725940352801906798068098300396453985685930458625260637797453559927747299064888745451242496076378010863900191058092874764720751109238605950195432281602088796215162338 521612875228518025292876183257037172857406763944909825464422184654308806610580201584728406712630254593798906508168571371656685941300533197036596403376674146104956376510308366134893 109478026812935573318905519705201845150399690986631525124116111925940552808564989319589834562331983683494880806171562439112866312797848371978953369015277600549805516635019785557110 140555297633841275044686046476631832661165182067501204766991098721910444744032689436415959427921994423553718704299559240314091712848158543866005385713583639816309452407557009325168 243441682408361979273372825215462246961533217026829950979089034594858878349439616204358422497397187113958927305092197054917176961600445580899427878880369169432894595147226722926124 850696173163809410821860045286102696547576304310256027152313969482135519821409716549097319992834925674097490392297126348693414574933198041718076111963902278664075922434167762466236 238913110270343304576368141128321326308582239456219598086612939996201234156176318174312420089014983848560480879864608393596492366514296812577314322914568716827621996118278269531574 983802624651759054103976181287604216386134502213262727756612441133610775195557749508656360673786650623185640699122801875741785494661253275997697960597760590756489106661015838417202 818530432119044657752554277543798726054881736198267581686283295260789932226683602838513512281059318591028641508157056319717315183136250243590414632122392176633982689368253150530059 891547029095371932662073411234947433678846902013904978428521634144292145895582878476693946464267812219049785636355263368278051860098699248937786002398769169807656621943898544370805 946433362333810587458162354756001365924352426571430834655457680023708146757325254702550747637471635067851599173693793251032682760628645914618204721486370370771926926823623334720379 245964691810526139153086280291440965482563873092730426544662929045896063751918711469345361973324789572707031530930901921199199993615765003503984054067425387927527922724733566770607 837911384488936261367657060263600315132952095395202854897384486256134924414708607086602676349978793420875836121947116994223848482595914304528107062601508969135303017720062717054402 090669514915274597719705947695474095210287872557856880022193717743558110793930883384558648277291008629554566141306721230848740227121058686323388237413884428938155444647105755651468 435702946635062893873569868688376480326519528414653517395302736120137420300986739838514321900436028982698293529399414129230580384565022707216815161941011449826301364900877048398488 386090653368599054583895203185648041493272142390865164999431659207965953569430723112911629286797517156688905439322035691293324570208067194440497304943981408227829602799424541083166 675921424835182723817205041039274288801556223380796147512433514731021284545944899444996000752437519570116683417447490795882099517836768023236517674972301487457742725994760962198432 714835298611190272873584905217975908374197486026706053746231530039375212367867752848692195857137554269684827836317861109933680143915905974842858054516130230143979057016108898627779 610750673332676048654929251399781390535882276893732204941483940135560356560442140176120605131806891989962606184831853401836237821726637580455247196266174925422852804571442048578342 113228008528704205488992341278554812367615377071042544698685219911228354266349997127483660762462418207364666171283947484732804744304033441072004287271275670279567582429262719454580 530026664899650795697781786219421720052371653694677041951119127046248360511302890464377511486948878496151188414719100012558838366606772084112351535588112677895715585904125762616010 675131535802124273318710006358249545040995794072547989003168265123731190556682915194305370848930786919742829049038603723116099283424317122250994547150192866648787107951995180054633 883844315481724635480244518030845273431000621371034625733060012349737443558180965678464641533905146569193245623531405779193698988423647183525375805257713311200797104068315492665402 026046806818391437827214769063242469517128636738443139833371176159418699934662623453734523567940124168092291163609563721674528391709909146648507392051516056047378710615470216996074 656930979442612146925615934256494019122989514732544715181263258368897282262833295240359700727863364604594707124174729468775705958157349962848099567839255474240448991887071069675242 507745201229360810574142653234724064162141033353340551104521261750359028403745459186450472762434207177092979354010214096464502836834180407586081001407216192477179809859681115404464 43728568959286831977797786934641598469745133917741537904877880830022058335046746555323028587325835 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to 2 All non exact roots are irrational numbers © T Madas

T C All non exact trigonometric ratios are A F irrational numbers [it can be proven using more advanced maths] sin 30° = rational tan 60° = irrational cos 71° = irrational tan 45° = rational sin 10° = irrational cos 120° = irrational © T Madas

sin 45° ≈ 1000 decimal places 0. 7071067811865475244008443621048490392848359376884740365883398689953662 3923105351942519376716382078636750692311545614851246241802792536860632 2060748549967915706611332963752796377899975250576391030285735054779985 8029851372672984310073642587093204445993047761646152421543571607254198 8130181399762570399484362669827316590441482031030762917619752737287514 3879980864917787610168765928505677187301704249423580193449985349502407 5152720138951582271239115342464684593107902892315557983343565065078092 8449361861764425463243062474885771091671021428430300734123603857179274 3707782853483882686011324272350792940081037923746132861300104279223326 0729199446972185463295900155694123234078541315050297429352001593240171 0974486391453205225363184406568699276280586610201225456138501134705637 8681364024786905448375200918493418422536289968236453038149847069023782 7411864498590163401237210314634562429526090502229921075295560124720670 8642657390529018016855386545914346573550855558419582908634447098793582 91076064114759244236 © T Madas

sin 45° ≈ 5000 decimal places 0. 70710678118654752440084436210484903928483593768847403658833986899536623923105351942519376716382078636750692311545614851246241802792536860632206 0748549967915706611332963752796377899975250576391030285735054779985802985137267298431007364258709320444599304776164615242154357160725419881301 8139976257039948436266982731659044148203103076291761975273728751438799808649177876101687659285056771873017042494235801934499853495024075152720 1389515822712391153424646845931079028923155579833435650650780928449361861764425463243062474885771091671021428430300734123603857179274370778285 3483882686011324272350792940081037923746132861300104279223326072919944697218546329590015569412323407854131505029742935200159324017109744863914 5320522536318440656869927628058661020122545613850113470563786813640247869054483752009184934184225362899682364530381498470690237827411864498590 1634012372103146345624295260905022299210752955601247206708642657390529018016855386545914346573550855558419582908634447098793582910760641147592 4423604484731693144578144138297631757027113382661984730875564580120435775506757522769064378002631573400856370132698473512015025874765943146281 5692594081739000784684588440926189342026143918814694607150327934784342982297577750822362254918448018443661557194707788325520441957146169056603 0262168147426585249578858781142748707194995940108812154826032821059136583631287697973586279673186193161307413713111043355779197999632605881263 4945877049407967432004172854259073611590710203521325452826616669921822893289839825963364619993768330860799128943013168180891374799710970188887 6840713108869399597275698615637033449164994947693364411428189348874831259983291762888099469661422672367847397481476084445742746269452377914417 2630482620482714446972693233128724637781909822051584899165309260096896924700285781668602740342702879339998350606861197379107131532925661087044 1619147364380869682373391871598000079609440367392880862610593374521248868346460365554818486080446685433057836729266741664762733792582235537892 4301231800417224557409293827777143227561657109963155666258985304218279852176428205043959250380180504579732835338441802785870038378452548068359 7006624678026200929995525310540817988632156903027335051467849855212125528908747655286279674922255634613901724567533187843738801415814148027662 1121347876726451441938422321458664138544415904351266992616906137499540618594627036323768392515241079590094308355448643461460059879994035190927 1666268230105541149639646536435890399944049588370887054491530400163155908213994115585771819348308514999670808074393430090227527769934565575930 0519318766250227909302240203751205975921528372668418068372986872119942766425896544801869494575865979370672144089210625109584759377967221936980 9465727499995305379352454513044175881811237487892942918401872896557866990104999331109347496129795663821180970529605016401307493728329984443703 3978083695929786444321236731792943432248411193003491676321399528141582806956971278824531032593010823631516681487537848935303303428249080046359 3546460765661841406784944685487082522372954802687363982622385470496206193553072352719933718236692387274095504364431110747947647955939460745899 1699054189413907653278115790518032433793651800725113660441467567069361384208833921845264714349245419227872289704799313037124977458401426538699 4691480181066769937660254599946803756953222247884228496735638182253581639577350798866774319469711628638770019130137392837086290475708153579798 9249090047217801896954927950841360770172907907605024683314767244135536461983011608191191333063134152512863905847255176896857844116829661489115 9649303233989493204604280477907130718181550230779716627523724698796699956270976615046608765223826698235331380583087675937732310483817279369308 2440099424248739632022532722448455020397105908462898428781892440749493208427497458178807242023510516994607671188518616676557822972194851826583 3609745246759414529031537006734313208362350553267317469582035731427839900889669072120226345685333048888193924331190016961621852370576659362659 5300958299822769057894420690421661605266883730906089007148046416205681376270443686452564703669739716530971978468351039714757939114174660965833 2055650774797349189488837172217696688549785674942039454254079461830350443290527354748952328614944404462306414080065668505145401454998728239247 9077280732435775819525120992895306554672939165310013110368623583834272774995249704285540496287996444661830771913597750289081256651907657328895 3963434250403492214239576212137720513402878160782661030942875612556531968512681463580984125629596012608029350594798366122119633711867245382323 3636876739822994095749039658590012119277269430191841554003895912332313770587221250093638897590821917257317306495103816715089842771928158338617 5919466833352111105546957246514398190641994465586565421502106277509274925326472781888301573062795455230569238414117979623861431452132136808163 2292721696438631930171574902448198681664877442962840574648418063362949286916608218331743511738651305053065253649305767064974404387236555614771 32637582683295586507118031326 © T Madas

sin 45° ≈ 1000 decimal places 0. 707106781186547524400844362104849039284835937688474036588339868995366239231053519425193767163820786367506923115456148512462418027925368606322060748549967915706611332963752796377899 975250576391030285735054779985802985137267298431007364258709320444599304776164615242154357160725419881301813997625703994843626698273165904414820310307629176197527372875143879980864 917787610168765928505677187301704249423580193449985349502407515272013895158227123911534246468459310790289231555798334356506507809284493618617644254632430624748857710916710214284303 007341236038571792743707782853483882686011324272350792940081037923746132861300104279223326072919944697218546329590015569412323407854131505029742935200159324017109744863914532052253 631844065686992762805866102012254561385011347056378681364024786905448375200918493418422536289968236453038149847069023782741186449859016340123721031463456242952609050222992107529556 012472067086426573905290180168553865459143465735508555584195829086344470987935829107606411475924423604484731693144578144138297631757027113382661984730875564580120435775506757522769 064378002631573400856370132698473512015025874765943146281569259408173900078468458844092618934202614391881469460715032793478434298229757775082236225491844801844366155719470778832552 044195714616905660302621681474265852495788587811427487071949959401088121548260328210591365836312876979735862796731861931613074137131110433557791979996326058812634945877049407967432 004172854259073611590710203521325452826616669921822893289839825963364619993768330860799128943013168180891374799710970188887684071310886939959727569861563703344916499494769336441142 818934887483125998329176288809946966142267236784739748147608444574274626945237791441726304826204827144469726932331287246377819098220515848991653092600968969247002857816686027403427 028793399983506068611973791071315329256610870441619147364380869682373391871598000079609440367392880862610593374521248868346460365554818486080446685433057836729266741664762733792582 235537892430123180041722455740929382777714322756165710996315566625898530421827985217642820504395925038018050457973283533844180278587003837845254806835970066246780262009299955253105 408179886321569030273350514678498552121255289087476552862796749222556346139017245675331878437388014158141480276621121347876726451441938422321458664138544415904351266992616906137499 540618594627036323768392515241079590094308355448643461460059879994035190927166626823010554114963964653643589039994404958837088705449153040016315590821399411558577181934830851499967 080807439343009022752776993456557593005193187662502279093022402037512059759215283726684180683729868721199427664258965448018694945758659793706721440892106251095847593779672219369809 465727499995305379352454513044175881811237487892942918401872896557866990104999331109347496129795663821180970529605016401307493728329984443703397808369592978644432123673179294343224 841119300349167632139952814158280695697127882453103259301082363151668148753784893530330342824908004635935464607656618414067849446854870825223729548026873639826223854704962061935530 723527199337182366923872740955043644311107479476479559394607458991699054189413907653278115790518032433793651800725113660441467567069361384208833921845264714349245419227872289704799 313037124977458401426538699469148018106676993766025459994680375695322224788422849673563818225358163957735079886677431946971162863877001913013739283708629047570815357979892490900472 178018969549279508413607701729079076050246833147672441355364619830116081911913330631341525128639058472551768968578441168296614891159649303233989493204604280477907130718181550230779 716627523724698796699956270976615046608765223826698235331380583087675937732310483817279369308244009942424873963202253272244845502039710590846289842878189244074949320842749745817880 724202351051699460767118851861667655782297219485182658336097452467594145290315370067343132083623505532673174695820357314278399008896690721202263456853330488881939243311900169616218 523705766593626595300958299822769057894420690421661605266883730906089007148046416205681376270443686452564703669739716530971978468351039714757939114174660965833205565077479734918948 883717221769668854978567494203945425407946183035044329052735474895232861494440446230641408006566850514540145499872823924790772807324357758195251209928953065546729391653100131103686 235838342727749952497042855404962879964446618307719135977502890812566519076573288953963434250403492214239576212137720513402878160782661030942875612556531968512681463580984125629596 012608029350594798366122119633711867245382323363687673982299409574903965859001211927726943019184155400389591233231377058722125009363889759082191725731730649510381671508984277192815 833861759194668333521111055469572465143981906419944655865654215021062775092749253264727818883015730627954552305692384141179796238614314521321368081632292721696438631930171574902448 198681664877442962840574648418063362949286916608218331743511738651305053065253649305767064974404387236555614771326375826832955865071180313262934538599108518549052322180238613369641 493707629653478103192355413704109245336861652937151485462144974086962203934687642200522199524260439425957096770756450340867585153469348529502371257882762403922368107205250810042272 206112797810149236297017640095339903404915019822699284296522931263031889872677996387364953244437272562124803818900543195009552904643738236037555461930297509771614080104439810758116 926080643761425901264643809162851858642870338197245491273221109232715440330529010079236420335631512729689945325408428568582834297065026659851829820168833707305247818825515418306744 655473901340646778665945275985260092257519984549331576256205805596297027640428249465979491728116599184174744040308578121955643315639892418598947668450763880027490275831750989277855 507027764881692063752234302323831591633058259103375060238349554936095522237201634471820797971396099721177685935214977962015704585642407927193300269285679181990815472620377850466258 412172084120418098963668641260773112348076660851341497548954451729742943917471980810217921124869859355697946365254609852745858848080022279044971393944018458471644729757361336146306 242534808658190470541093002264305134827378815215512801357615698474106775991070485827454865999641746283704874519614856317434670728746659902085903805598195113933203796121708388123311 811945655513517165228818407056416066315429111972810979904330646999810061707808815908715621004450749192428024043993230419679824618325714840628865716145728435841381099805913913476578 749190131232587952705198809064380210819306725110663136387830622056680538759777887475432818033689332531159282034956140093787089274733062663799884898029888029537824455333050791920860 140926521605952232887627713877189936302744086809913379084314164763039496611334180141925675614052965929551432075407852815985865759156812512179520731606119608831699134468412657526502 994577351454768596633103670561747371683942345100695248921426081707214607294779143923834697323213390610952489281817763168413902593004934962446889300119938458490382831097194927218540 297321668116690529372908117737800068296217621328571541732772884001185407337866262735127537381873581753392579958684689662551634138031432295730910236074318518538596346341181166736018 962298234590526306957654314014572048274128193654636521327233146452294803187595935573467268098666239478635351576546545096059959999680788250175199202703371269396376396136236678338530 391895569224446813068382853013180015756647604769760142744869224312806746220735430354330133817498939671043791806097355849711192424129795715226405353130075448456765150886003135852720 104533475745763729885985297384773704760514393627892844001109685887177905539696544169227932413864550431477728307065336061542437011356052934316169411870694221446907772232355287782573 421785147331753144693678493434418824016325976420732675869765136806006871015049336991925716095021801449134914676469970706461529019228251135360840758097050572491315068245043852419924 419304532668429952729194760159282402074663607119543258249971582960398297678471536155645581464339875857834445271966101784564666228510403359722024865247199070411391480139971227054158 333796071241759136190860252051963714440077811169039807375621675736551064227297244972249800037621875978505834170872374539794104975891838401161825883748615074372887136299738048109921 635741764930559513643679245260898795418709874301335302687311576501968760618393387642434609792856877713484241391815893055496684007195795298742142902725806511507198952850805444931388 980537533666633802432746462569989069526794113844686610247074197006778017828022107008806030256590344599498130309241592670091811891086331879022762359813308746271142640228572102428917 105661400426435210274449617063927740618380768853552127234934260995561417713317499856374183038123120910368233308564197374236640237215201672053600214363563783513978379121463135972729 026501333244982539784889089310971086002618582684733852097555956352312418025565144523218875574347443924807559420735955000627941918330338604205617576779405633894785779295206288130800 53375657679010621366593550031791247725204978970362739945015841325618655952783414575971526854244653934598714145245193018615580496417121585611254972735750964333243935539759002731 694192215774086231774012225901542263671550031068551731286653000617486872177909048283923232076695257328459662281176570288959684949421182359176268790262885665560039855203415774633270 101302340340919571891360738453162123475856431836922156991668558807970934996733131172686726178397006208404614558180478186083726419585495457332425369602575802802368935530773510849803 732846548972130607346280796712824700956149475736627235759063162918444864113141664762017985036393168230229735356208736473438785297907867498142404978391962773712022449594353553483762 125387260061468040528707132661736203208107051667667027555226063087517951420187272959322523638121710358854648967700510704823225141841709020379304050070360809623858990492984055770223 2218642844796434159888988934673207992348725669588707689524389404150110291675233732776615142936629175 Never ends It has no pattern No fraction can be found equal to sin 45° All non exact trigonometric ratios are irrational numbers © T Madas

Look at the 500 decimal places of this number 0. 0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Is it rational or irrational? © T Madas

Look at the 500 decimal places of this number 1 61 0. 0163934426229508196721311475409836065573770491803 2786885245901639344262295081967213114754098360655 7377049180327868852459016393442622950819672131147 5409836065573770491803278688524590163934426229508 1967213114754098360655737704918032786885245901639 3442622950819672131147540983606557377049180327868 8524590163934426229508196721311475409836065573770 4918032786885245901639344262295081967213114754098 3606557377049180327868852459016393442622950819672 1311475409836065573770491803278688524590163934426 22950819672 Is it rational or irrational? This decimal has a 60 digit recurring pattern Recurring decimals are not irrational numbers Recurring decimals can always be written as fractions © T Madas

Summary on Irrational Numbers An irrational number, when written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever. or more formally: It is a number that cannot be written as a fraction with integer numerator and denominator Examples of irrational numbers: • π • all non exact roots • all non exact trigonometric ratios NOTE Recurring decimals are rational numbers © T Madas

Summary on Irrational Numbers An irrational number, is a number that cannot be expressed as a fraction with integer numerator and denominator Loosely this means: when an irrational number is written in decimal form, it has an infinite number of decimal digits with no pattern whatsoever. Examples of irrational numbers are: • π • non exact roots • non exact trigonometric ratios or inverse trigonometric ratios • e (and most exponentials involving e ) • Non exact logarithms to any base • Definite integrals which cannot be integrated in terms of known functions © T Madas

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Then: Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational E. g. © T Madas

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Then: Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational When both numbers are irrational, things are not always straightforward. is irrational BUT the irrational number with zero whole part and decimal part such that when it is added to 2, it gives 1. 999… is rational © T Madas

Suppose we have two numbers and only one of them is irrational. Then: Their sum/difference will be irrational Their product/quotient will be irrational When both numbers are irrational, things are not always straightforward. is irrational BUT is rational © T Madas

It gets even more complicated with irrational powers Is π π rational or irrational? It is almost certain to be irrational. Today’s mathematical software running on super-fast computers can calculate billions of decimal places, but no one has actually proved this fact to this date. Here is an interesting example of an irrational number raised to an irrational power being rational! is either rational (R ) or irrational (I ) if it is rational (R ) we found our number !!! if not: !!!! © T Madas