T 055403 Osa II 1 Usean muuttujan funktiot

T 055403 Osa II. 1. Usean muuttujan funktiot T 055403 1

1. 1 Johdantoa n Usein yksi muuttuja ei riitä kuvaamaan systeemiä kovinkaan hyvin. n Esimerkki. Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus riippuu särmien pituuksista x, y ja z. T 055403 2

n Tilavuus V on siten kolmen reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio: jokaista positiivilukukolmikkoa (x, y, z) vastaa yksikäsitteinen reaaliluku V. V = xyz T 055403 3

n Esimerkki. Luokkahuoneen lämpötila T voi paikan (x, y, z) lisäksi riippua ajasta t. Lämpötila on siis neljän reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio: T = T (x, y, z, t ) T 055403 4

n Esimerkki. Putkessa virtaavan nesteen virtaamisnopeus on hieman erilainen putken eri kohdissa. Lisäksi virtausnopeus vaihtelee ajan funktiona. T 055403 5

n Virtausnopeus on siten neljän reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio. n Tällaista funktiota nimitetään joskus myös vektorikentäksi. n Esimerkiksi fysiikassa puhutaan usein gravitaatio- ja sähkövarauksen ympärilleen aiheuttamasta sähkökentästä. T 055403 6

1. 2 Määrittely n Määritelmä. Jos jokaista muuttujien x 1, x 2, x 3, …, xn yhdistelmää vastaa tietty muuttujan z arvo, sanotaan z : aa muuttujien x 1, x 2, x 3, …, xn funktioksi, ja sitä merkitään T 055403 7

n Funktion määritysjoukko koostuu niistä lukupareista, kolmikoista ja ntuplista, joille funktio on määritelty. T 055403 8

1. 3 Havainnollistaminen n Yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota voidaan havainnollistaa kuvaajalla. n Esimerkki. Funktion kuvaaja: T 055403 9

T 055403 10

n Kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota voidaan havainnollistaa monella eri tavalla. n Kahden muuttujan funktion muuttujana on (esim. ) xy-tason piste. T 055403 11

n Esimerkki. Laske funktion arvo pisteissä (0, 1) ja (-2, 6). n Esimerkki. Mikä on funktion g määrittelyjoukko? T 055403 12

n Kahden muuttujan funktion f (x, y ) kuvaaja on pinta. Pinta muodostuu niistä xyz - avaruuden pisteistä (x, y, z), joille on voimassa T 055403 13

n Esimerkki. Funktion f (x, y) = x sinx + y 2 kuvaaja on xyz - koordinaatiston pinta. T 055403 14

T 055403 15

n Kahden muuttujan funktiosta voidaan piirtää myös tasa-arvokäyrä. n Esimerkki. Piirretään funktion kuvaaja ja tasa-arvokäyriä. T 055403 16

T 055403 17

T 055403 18

T 055403 19

n Kahden muuttujan funktion tasa-arvokäyrät saadaan piirtämällä käyrät f (x, y ) = c. n Tasa-arvokäyrä on kuin karttakuva. n Funktion kuvaaja on kuin maisema. T 055403 20

n Mikäli f on kolmen muuttujan reaaliarvoinen funktio, niin kysymyksessä on tällöin 4 -ulotteisen avaruuden 3 ulotteinen pistejoukko. n Sitä ei voi havainnollistaa muuten kuin tasa-arvopintojensa avulla, mikäli funktio on riittävän säännöllinen. T 055403 21

2. Usean muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta T 055403 22

2. 1 Raja-arvo ja jatkuvuus n Jos funktio on jatkuva määrittelyjoukkonsa jokaisessa pisteessä, sanotaan, että funktio on jatkuva. n Tarkempi määrittely ja raja-arvojen laskutekniikan käsittely sivuutetaan. T 055403 23

Muutama havainnollistus n Funktiolla ei ole raja- arvoa origossa, joten se ei voi olla jatkuva. n Funktiolla on raja-arvo origossa ja se on jatkuva. T 055403 24

T 055403 25

T 055403 26

2. 2 Differentiaalilaskenta n ”Muutosnopeus” Tutki seuraavasta kuvaajasta, kuinka kahden muuttujan funktion arvot muuttuvat kuljettaessa a) x - akselin suuntaisesti b) y -akselin suuntaisesti. T 055403 27

n Funktion f (x, y) osittaisderivaatta muuttujan x suhteen saadaan pitämällä y vakiona. Tällöin käytetään seuraavanlaisia merkintöjä T 055403 28

n Funktion f (x, y) osittaisderivaatta muuttujan y suhteen saadaan pitämällä x vakiona. Tällöin käytetään seuraavanlaisia merkintöjä T 055403 29

n Täsmällisesti määriteltynä T 055403 30

n Täsmällisen määrittelyn ja esimerkin perusteella osittaisderivaatta muuttujan x suhteen ilmoittaa funktion arvojen muutosnopeuden liikuttaessa x-akselin suuntaisesti. n Vastaava päättely voidaan tehdä osittaisderivaatalle muuttujan y suhteen. T 055403 31

n Esimerkki. Määritä funktion f (x, y, z) = xy - yz + 3 xz ensimmäiset osittaisderivaatat. T 055403 32

n Esimerkki. Muodosta seuraavan funktion kaikki ensimmäiset ja toiset osittaisderivaatat. T 055403 33

n Voidaan osoittaa, että edellisessä esimerkissä havaittu ilmiö on yleisesti voimassa, mikäli kaikki toisen kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia. n Siis: derivointijärjestys ei vaikuta lopputulokseen, kunhan funktio on riittävän säännöllinen. T 055403 34

n Huomautus: Kun derivoidaan ensin muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suhteen on merkintä tällöin T 055403 35