SZTOCHASZTIKUS KINETIKAI MODELLEK Bazsa Gy szerkeszt Nemlineris dinamika

SZTOCHASZTIKUS KINETIKAI MODELLEK • Bazsa Gy. (szerkesztő): Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben (egyetemi jegyzet, 1992), 3. fejezet, szerzők: Tóth János, Érdi Péter • Péter Érdi, Gábor Lente: Stochastic Chemical Kinetics (Springer, 2014)

Makroszkopikus, mikroszkopikus és mezoszkopikus elméletek • Az anyag tulajdonságainak a makroszkopikus leírására hagyományosan a statisztikus mechanika és a fenomenologikus termodinamika szolgál. • A statisztikus mechanika a fizikai jelenségeket mikroszkopikus szemlélet alapján írja le, végső következtetései az anyag makroszkopikus jellemzőire vonatkoznak, matematikai eszköze a valószínűségszámítás. • A fenomenologikus termodinamika makroszkopikus mérésekkel meghatározható mennyiségekkel dolgozik, modelljei tipikusan determinisztikusak, gyakori eszköze a parciális differenciálegyenletek elmélete.

Makroszkopikus, mikroszkopikus és mezoszkopikus elméletek • Bizonyos jelenségeknél szükség van arra, hogy a különböző kémiai anyafajták mennyiségének a fluktuációját is figyelembe vegyük. • Néha arra is szükség lehet, hogy figyelembe vegyük azt a tényt, hogy az egyes anyagfajták mennyisége diszkrét módon változik. • Az ezen feltételeknek eleget tevő elméleteket mezoszkopikus modelleknek nevezhetjük. • Robert Brown kb. 150 éve felfigyelt a fluktuáció fontosságára (ma ezt Brown-mozgásnak nevezzük). • Kvantitatív leírását Einstein és Smoluchowski adta meg a XX. sz. elején.

Fizikai körülmények • Ha a folytonos idejű, folytonos állapotterű determinisztikus modell nem kielégítő a kinetikában, gyakori eljárás, hogy a közönséges differenciálegyenlet-rendszer jobb oldalához egy additív véletlen zajt adnak. • Ez az eljárás a rendszerre ható külső fluktuációkat modellezi. • A mezoszkopikus modellekben azonban a rendszer véletlenszerű viselkedéséből eredő, kémiai jellegű belső fluktuációk figyelembe vétele a fő cél.

Fizikai körülmények • Ha az egyes anyagfajták részecskéinek a száma kicsi (pl. < 100), akkor a determinisztikus modellel vagy nagyon rosszul, vagy sehogyan sem írhatók le a tapasztalt jelenségek. • A fluktuációk általában a jelen lévő részecskék számának négyzetgyökével arányosak: Részecskeszám %-os fluktuáció 100 10% 104 1% 108 0, 01% 6· 1023 1, 3· 10 -10 %

Fizikai körülmények • Nagy rendszereknél instabilis egyensúlyi helyzet viselkedésének a leírásában is igen fontosak a fluktuációk, amelyek hatása felerősödhet. • A fluktuáció forrása lehet külső is. • Figyelembe vételi módjuk: • additív zaj, • multiplikatív zaj, • véletlen paraméterek bevezetése. • Tipikus példa: fluktuáció vagy zaj által indukált fázisátmenetek.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – enzimkinetika • Enzimkatalizált folyamatokat mind kísérleti, mind elméleti szempontból gyakran vizsgálnak olyan körülmények között, ahol a jelen lévő enzimmolekulák száma nem haladja meg a néhány 10 -et, de akár 1 -ig is lemehet (single molecule enzyme kinetics). • Egy sejt különálló reaktornak tekinthető, s annak általában kis térfogata már önmagában is szükségessé teheti a sztochasztikus megfontolások használatát. • Ezen a tényen az sem változtat, ha sok sejt van jelen egyidejűleg, mert ezek térben elkülönülnek.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – egyéb biomolekulák • Enzimekhez hasonlóan bizonyos nukleinsavakból is kevés (DNS esetén egyetlen) molekula van jelen egy sejtben. • Ugyanez előfordulhat bizonyos szabályozó szerepet betöltő molekulákkal is. • Pl. a hem fehérjékhez való kötődésénél a fluktuációknak is szerepe van.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – szelekció • A természetes szelekció determinisztikus modellje nem kellően pontos, mert a mutáció lényegéhez tartozik, hogy nem determinisztikus. • A bizonytalan mikroszkopikus eseményeket autokatalitikus folyamatok felerősítik. • A növekedés általában egyetlen egyedből indul ki, ezért a fluktuációkat feltétlenül figyelembe kell venni. • Ez az elmélet Manfred Eigen Nobel-díjas kémikustól származik. (1927 - )

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – membránzajok • A neurobiológia egyik nagy ága az elemi idegingerületi jelenségeket tanulmányozza. • A legfontosabb ilyen jelenség az idegingerületnek az egyik idegsejtről a másikra történő un. szinaptikus áttevődése. • Ilyenkor ingerületátvivő anyagok szabadulnak fel az 1. idegsejtben és kötődnek meg a 2. -ban. • Ezek száma általában igen kicsi, mert a két sejt közötti tér is nagyon kicsi. • Az idegingerület átadása során a posztszinaptikus sejt vezetőképessége jól mérhető, ebben tapasztalhatók ingadozások, amelyeket a jelen lévő anyagfajták mennyiségében való ingadozásokra szokás visszavezetni.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – sugárkémia • A radioaktív bomlások sztochasztikus jellege régóta ismert. • A radioaktív bomlások majdnem minden esetben elsőrendű folyamatok. • A nagy energiaváltozás miatt egyetlen bomlás detektálása is lehetséges. • Pl. : o Egy 1 kg-os 209 Bi tömb esetében átlagosan 5 percenként történik 1 bomlás. o A világegyetem kora: 1, 3· 1010 év.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – (órareakció)

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – (órareakció)

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – „bolondóra”-reakció

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – „bolondóra”-reakció 4 I + Cl. O 2 + 4 H+ = 2 I 2 + Cl + 2 H 2 O 2 I 2 + 5 Cl. O 2 + 2 H 2 O = 4 IO 3 + 5 Cl + 4 H+ • Itt is a I 2 megjelenését lehet látni (kék szín). • Jelentős sztochasztikus jelleg a reakcióidőben. • Valószínű magyarázat: • autokatalitikus reakció, • a kezdeti kis fluktuációk felerősödnek.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció • Lényege, hogy a pirimidil-aldehidek alkilálásakor keletkező alkohol termék sokkal jobban katalizálja saját képződését, mint az enantiomer párjáét… • azaz a katalizátorban az egyik enantiomer kis kezdeti feleslege a termékben ennek az enantiomernek sokkal nagyobb feleslegét idézi elő. • A kémiai erősítés kísérleti példájáról van tehát szó.

Frekvencia Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció Enantiomerfelesleg K. Soai et al. Tetrahedron Asymm. 2003, 14, 185.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció Katalízis • A homogén katalízis egyszerű sémájában az A + B → P; w 1 = k 1[A][B] nemkatalizált reakciót gyorsítjuk fel az A + B + K → P + K; w 2 = k 2[A][B][K] katalizált út segítségével, ahol K a katalizátor. Ha w 2 >> w 1, akkor ez a reakció sokkal gyorsabban termeli a P terméket, mint a nem katalizált reakció. • A K katalizátor részt vesz a reakcióban, de teljes mértékben visszaképződik.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció Autokatalízis • Az autokatalízis egyszerű sémájában az A → P; w 1 = k 1[A] nem katalizált reakciót gyorsítjuk fel az A + X → P + 2 X; w 2 = k 2[A][X] autokatalitikus út segítségével, ahol k 2[X] >> k 1. • A séma alapján az autokatalízis jellemzője, hogy a katalizátor a reakció terméke (esetünkben X), és az autokatalitikus reakció sebessége arányos e termék koncentrációjával.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció Autokatalízis • A reakciókinetikai modellezésben gyakran felhozott érv, hogy nem okoz gondot, ha a lassú nemkatalizált reakciót elhagyjuk és csak a katalitikus vagy autokatalitikus utat vesszük figyelembe. • Ez csak akkor lehet igaz, ha az X a kezdeti időpillanatban is jelen van a rendszerben, • ha ugyanis [X]0 = 0. akkor a katalitikus út kezdeti sebessége is 0.

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció Autokatalízis • Állandó térfogat mellett az autokatalitikus reakció sebessége időben maximumgörbe szerint változik: • a reakció elején a sebesség az autokatalizátor koncentrációjának növekedése miatt nő; • a reakció vége felé a reaktáns elfogyása miatt a sebesség lecsökken. • A reaktánsok koncentrációja időben szigmoid-görbe szerint változik, a görbéken inflexiós pont jelentkezik. k 2 = 3, 0 dm 3 mol– 1 s– 1; [A]0 = 0, 1 mol dm– 3; [X]0 = 0, 001 mol dm– 3

Néhány konkrét példa sztochasztikus kémiai reakcióra – Soai-reakció • Az első molekula vagy az egyik, vagy a másik reagens. • Ennek már önmagában lehet akkora katalitikus hatása, hogy nagyrészt az az enantiomer keletkezik, ami először keletkezett.

Reprodukálhatatlanság versus sztochasztikus jelleg • Reprodukálhatatlanság: lényeges, de nem kellő mértékben szabályozott külső tényezők ingadozásának hatására, a kísérletező számára látszólag azonos körülmények között mért különböző eredmények. • Sztochasztikus jelleg: természeti törvény(ek) következményeként pontosan azonos körülmények között mért különböző eredmények.

A formális reakció folytonos idejű, diszkrét állapotterű sztochasztikus modellje • CDS (Continuous time Discrete State) modellnek is nevezik. • Formális kémiai reakció definíciója: • jól kevert edény állandó térfogaton és nyomáson, • véges sok kémiai anyagfajta van jelen, • a kémiai anyagfajták között reakciólépések mennek végbe, aminek a következtében a mennyiségük időben megváltozik. • Az időbeli változás leírása a fő cél.

Alapfeltételezések a CDS-hez • Véges sok szabadsági fok: véges sok féle részecske, mindegyikből csak véges sok van jelen. • Térbeli homogenitás: a jól kevert reaktor következménye; a tartályban egy részecske a molekulák számának a megadásával egyértelműen jellemezhető, nincs szükség a térbeli eloszlás figyelembe vételére. • Sztochasztikus jelleg: valószínűségeket kell használni, egy reakció egy adott időpillanatban való megtörténésének nincs determinisztikus oka.

Alapfeltételezések a CDS-hez • Memóriaeffektusok hiánya: nincsenek késleltetett hatások; egy adott reakció bekövetkezésének valószínűségét a reaktor pillanatnyi állapota megszabja, az „előzetes történetet” nem kell ismernünk. • Kombinatorikus típusú kinetika: a determinisztikus tömeghatás típusú kinetika közvetlen megfelelője, vagyis egy reakció bekövetkezésének valószínűsége arányos a jelen lévő reaktánsmolekulák számával. • Matematikai háttér: Markov-láncok, Markov-folyamatok.

Általános formális mechanizmus • Az általános formális mechanizmus jelölése: ahol r a reakció sorszáma, M a különböző anyagfajták száma, m az anyagfajták sorszáma; χ az egyes anyagfajták jelölése, α és β sztöchiometriai együtthatók (α a reaktáns-, β a termék oldalon). • Matematikai feltételek a sztöchiometriai együtthatókra: • Bármely r esetén. • Ha és akkor r = r’. • Minden m esetén létezik olyan r, amellyel vagy.

Általános formális mechanizmus Példa: A→B B→C 2 B → D Ekkor: • M=4 • r = 1, 2, 3 • χ(1) = A, χ(2) = B, χ(3) = C és χ(4) = D • és

Infinitézimális reakcióvalószínűség • Egyetlen adott reakciólépés bekövetkezésének valószínűsége Δt idő intervallumban: T(Δt) • Infinitézimális reakcióvalószínűség (vagy átmeneti valószínűség): • A kombinatorikus típusú kinetika (tömeghatás típusú determinisztikus analógja) szerint: ahol nχ(m) a χ(m) részecskék száma a reakcióelegyben, κr pedig a sztochasztikus sebességi tényező, amely a determinisztikus sebességi állandóból kiszámolható a reaktortérfogat és NA segítségével.

Infinitézimális reakcióvalószínűség Példa: A→B B→C 2 B → D Ekkor: • • •

A sztochasztikus modell állapotai • Egy állapotot úgy azonosítunk, hogy megadjuk a jelen lévő részecskék számát. • Pl: van 3 db. A, 2 db. B, 5 db. C és 0 db. D molekula. • Az állapotok teljes száma: N (általában kombinatorikai módszerekkel meghatározható) • A CDS modellben az állapotok valószínűségét írjuk le mint az idő függvényét, az i-edik állapot valószínűsége Pi(t). • A wr-ek különböző állapotokban különbözők, ezért wr, i ként jelöljük.

Az alapegyenlet • Az állapotvalószínűségek időbeli változását leíró közönséges differenciálegyenlet-rendszer: ahol a * összegzésben azon j állapotok azon r reakcióit kell figyelembe venni, amelyeknek az eredményeként éppen az i állapot keletkezik. • Ez a sztochasztikus kinetika alapegyenlete. Nevezik vezéregyenletnek vagy mesteregyenletnek is (master equation). A determinisztikus sebességi egyenlettel azonos szerepet játszik.

Az alapegyenlet • Az alapegyenlet elsőrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet. • Mátrix formátumban is felírható: azaz ahol az átmeneti valószínűségeket megadó mátrix, melynek dimenziója N N.

A determinisztikus és sztochasztikus kinetika összehasonlítása Determinisztikus • változók: koncentrációk (néhány) Sztochasztikus • változók: állapotok valószínűsége (sok) • nemlineáris • megoldás: gyakran nem • megoldás: analitikus

Kurtz tétele • A determinisztikus kinetikai leírás a CDS sztochasztikus kinetikai leírás végtelen térfogatra vett határértéke. • Végtelen térfogat esetén végtelen a részecskék száma, így a koncentrációt nem kell diszkrét változónak tekinteni. • Az esetek túlnyomó részében 1020 db. részecske már elég sok ahhoz, hogy Kurtz tétele miatt a determinisztikus kinetikai leírás jól működjön.

Egyirányú elsőrendű folyamat A B Determinisztikus Sztochasztikus • [A]: A koncentrációja • Kezdetben Z db. A • [B]: B koncentrációja molekula • Z = V [A]0 • (Z+1) db. állapot, Z+1 = N • [A]0: A kezdeti koncentrációja • Megoldás: Pi annak a valószínűsége, hogy a reaktorban pontosan i db. A molekula van.

Egyirányú elsőrendű folyamat A B A sztochasztikus alapegyenlet megoldása: • Annak a valószínűsége, hogy 1 kiszemelt molekula t idő után… • még nem bomlott el: exponenciális eloszlás • elbomlott: • Annak a valószínűsége, hogy Z db. molekula közül t idő után pontosan n bomlott el: binomiális eloszlás • Várható érték: • Szórás:

Stacionárius valószínűségek • A sztochasztikus leírásban olyan valószínűségek, melyek végértékek, tehát már nem függenek az időtől. • Meghatározásuk: az alapegyenletben a differenciálhányadosukat (bal oldal) 0 -nak kell állítani: • A Πi stacionárius valószínűségek egy stacionárius végeloszlást definiálnak.

Stacionárius valószínűségek • Az elsőrendű A B folyamatban az összes Πi = 0, kivéve a Π 0, ami = 1.

Kapcsolat k és κ között • A κ dimenziója mindig idő– 1. Extenzív paraméter (ha változik a térfogat, akkor változhat κ értéke is). • A k dimenziója a reakció bruttó rendűségétől (a) függ: koncentráció 1–a·idő– 1. Intenzív paraméter (független a térfogattól). • A kettő közötti kapcsolat: • Tehát elsőrendű folyamatban κ = k, így nem számít a térfogat. Ez azért van, mert elsőrendű folyamatban nincs kölcsönhatás a részecskék között, hanem mindegyik úgy reagál, mintha a többi ott sem lenne.