Szrmaztatott termkek s relopcik Dr Bta Gbor Pnzgyek
Származtatott termékek és reálopciók Dr. Bóta Gábor Pénzügyek Tanszék 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók
IV. Opcióértékelés 21 • A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 2
5 LC értéke lejáratkor LP értéke lejáratkor KT KT PT SC értéke lejáratkor KT PT SP értéke lejáratkor KT KT PT PT KT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 3
IV. Opcióértékelés 21 • A lejáratkori opcióértékek egyszerűen megadhatók, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. • Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk. • Miért bonyolult? – „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra. – Az opció kockázata folyamatosan változik. • Érték = Árfolyam – Hatékony árazódást tételezünk fel. – c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 4
IV. 1. Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell 21 • Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható. • A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk. – A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell egyszerűbb formára hoznunk • várható hozam + bolyongás 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 5
• A binomiális modell egyszerűsítése: P P folytonos modell P 0 21 diszkrét binomiális modell P 0 t 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók t 6
• Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható. • Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke. 22 – Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli értéke biztosan ismert. – Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával. – Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét. – Mivel ismerjük P 0 -t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 7
• Tekintsünk egyszerű példát! 22 –jelenlegi részvényárfolyam (P 0) legyen 10$ –vételi opció • kötési árfolyam K=11$ • lejárat T=1év, európai típusú –a részvényárfolyam 1 év alatt 12, 5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet részvény: 12, 5$ opció: 1, 5 $ részvény: 10$ opció: c részvény: 8$ opció: 0 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 8
• Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót! 22 –Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni. – 1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva: 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 9
–Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 23 2, 67$ –Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke: –Mindezek alapján c-t meghatározható. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 10
• Binomiális értékelés több periódus esetén 24 –Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén. 15, 625 $ 4, 625 $ 12, 5 $ 2, 29 c 1$ 10 $ c 0$ 0$ 8$ 6, 4 $ 0$ 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 11
• A megoldás pontosításához a részidőszakok 24 számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást. • A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló). 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 12
• Binomiális értékelés – eladási opciók 24 –példa: P 0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5% 72 $ Kockázatmentes portfólió: x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása 0$ 60 $ 1, 42 $ 50 $ 4, 24 $ 48 $ 4$ 9, 52 $ 40 $ 32 $ 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 13
• Binomiális értékelés – amerikai opciók 24 72 $ 0$ 60 $ 1, 42 $ 50 $ 5, 13 $ 48 $ 12 $$ 9, 52 4$ 40 $ 32 $ 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 14
2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 15
IV. 2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell 25 • A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást. • A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet). • A megoldáshoz vezető út szinte azonos: –kockázatmentes portfólió – részvény - opció • A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 16
• Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem 25 fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd. • A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege: c c P 0 -KT KT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók P 0 17
• A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete: 26 • P 0 a részvény jelenlegi árfolyama • K 0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva • N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 18
• A Black-Scholes formula szerinti c-függvény képlete: Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P 0 értékű részvénnyel 26 Valamekkora valószínűséggel fizetünk K 0 –t érte • a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával. • N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 19
27 • Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama. • Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még. • A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik. • (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani. ) 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 20
• Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit! 27 Ha nő a akkor c értéke Részvényárfolyam (P 0) nő Kötési árfolyam (KT) csökken Kockázatmentes kamatláb (rf) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nő Részvény volatilitása ( ) nő 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 21
27 • Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait! • A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét. –Belső érték –Ingadozási érték –Részletfizetési érték 2015. tavasz Időérték Származtatott termékek és reálopciók 22
28 • Belső érték –Az opció azonnali lehívása eredményezné. –Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték. c P 0 -KT KT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók P 0 23
28 • Ingadozási érték c c P 0 -KT P 0 KT E(PT) P PT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 24
• A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére: c c P P 0 2015. tavasz 29 KT PT P P 0 KT Származtatott termékek és reálopciók PT 25
• Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, 29 minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága. c • Mitől függ ez? c –T-től –σ-tól –egészen pontosan -től P 0 -KT P P 0 2015. tavasz KT Származtatott termékek és reálopciók PT 26
• Részletfizetési érték 31 –Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P 0 -KT belső értékhez „simul”, hanem a P 0 -K 0 ún. módosított belső értékhez. –Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT. –KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük: 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 27
31 c KT-K 0 P 0 -KT P 0 -K 0 c K 0 KT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók P 0 28
–A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től 31 függ, valamint a lehívás valószínűségétől is: c c KT-K 0 Részletfizetési érték N(d) KT P 0 -KT P 0 1 d 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 29
• Összegezzük a három értékforrást! 31 c c KT-K 0 Részletfizetési érték Időérték Ingadozási érték P 0 -KT Belső érték KT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók P 0 30
Ha nő a Részvényárfolyam (P 0) akkor c értéke nő Kötési árfolyam (KT) Kockázatmentes kamatláb (rf) Lejáratig hátralévő idő (T) Részvény volatilitása ( ) 2015. tavasz csökken nő nő nő Származtatott termékek és reálopciók 31
IV. 2. 2. Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás 33 • Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le. • A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 32
33 LC LP KT KT KT PT 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók PT 33
34 p KT-K 0 KT K 0 c K 0 KT p=c-P 0+K 0 P 0 p=c-P 0 -K 0 -P 0 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 34
• Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét! 34 -35 p KT K 0 Részletfizetési érték (-) Ingadozási érték (+) KTT-P 00 Belső érték P 0 KT-K 0 N(d) KT 1 d 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 35
• Mitől és hogyan függ p értéke? Ha nő a Részvényárfolyam (P 0) 35 akkor p értéke csökken Kötési árfolyam (KT) nő Kockázatmentes kamatláb (rf) csökken Részvény volatilitása ( ) nő Lejáratig hátralévő idő (T) nem egyértelmű 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 36
IV. 2. 3. Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók értéke lejárat előtt 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 35 37
36 • Eddigi értékelési módszerünkön csupán P 0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk. – Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal. • A paritásos összefüggés is megváltozik: 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 38
IV. 2. 4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt 36 • Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik: –Lehívja • Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P 0 -KT –Nem hívja le • Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c • Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni. 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 39
• Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül 36 c KT-K 0 P 0 -KT P 0 -K 0 c K 0 KT P 0 • Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P 0 -KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen. • c amerikai = c európai 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 40
• Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel: c 37 DIV(T)0 P 0 DIV + DIV(T)0 –KT P 0 DIV -K 0 c PP 0 DIV 0 KT eladás lehívás • A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése. • c amerikai > vagy = c európai 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 41
IV. 2. 5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt 37 • Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e: –Lehívja • Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P 0 –Nem hívja le • Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 42
• Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül: 37 p KT K 0 p K 0 KT lehívás eladás P 0 • Látható, hogy alacsonyabb P 0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”). • p amerikai > vagy = p európai 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 43
• Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: 38 p KT DIV(T)0 K 0 KT-(P 0 DIV +DIV(T)0) = KT-P 0 DIV -DIV(T)0 p K 0 KT P 0 PDIV 0 • Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. • p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 44
IV. 2. 6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal 39 • A jelenlegi részvényárfolyam 59$, a részvény hozamának volatilitása 35, 5%. Mennyit ér egy 63$-os kötési árfolyamú, féléves lejáratú vételi opció, ha a kockázatmentes kamatláb (fél évre) 2, 5%? 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 45
39 • 1. lépés – volatilitás: 35, 5%, – lejáratig hátralévő idő: fél év • 2. lépés – KT=63$, P 0=59$, rf=2, 5% (fél évre) • 3. lépés: táblázat: 8, 2 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 46
39 • Eladási opció: 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 47
39 • Azonban a piaci árfolyam 6, 1$. – Mit rontottunk el? – A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül. – Ez az ún. visszaszámított volatilitás. • implied volatility 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 48
„érték / ár” „kockázat” 1 2015. tavasz Származtatott termékek és reálopciók 49
- Slides: 49