Szmrendszerek Farkas Gbor Komputeralgebra Tanszk ELTE IK Pzmny

Számrendszerek Farkas Gábor Komputeralgebra Tanszék ELTE IK Pázmány Péter sétány 1/C. H-1117 Budapest, Hungary farkasg@compalg. inf. elte. hu Budapest 2004

Számrendszer N-ben Tétel. Legyen q > 1 természetes szám A = {0, 1, 2, . . . , q 1} ekkor N 0 tetszőleges eleme egyértelműen írható fel a következő véges összegként: = e 0 + e 1 q + e 2 q 2 +. . . + ekqk, ahol ei A és 0 i k. -1 -

Bizonyítás. A legfeljebb k + 1 számjeggyel előállítható számok halmaza: k + 1 együttható mindegyike q különböző értéket vehet fel 0 és q 1 között. qk+1 külünböző lehetőség. A legkisebb szám a 0, a legnagyobb összesen qk+1 darab. -2 -

Van-e két azonos? Tfh, létezik N 0 , amire = e 0 + e 1 q + e 2 q 2 +. . . + ekqk = = f 0 + f 1 q + f 2 q 2 +. . . + fkqk. e 0 f 0 mod (q), A TMR e 0 = f 0. q -val osztva kapjuk: 1 = e 1 + e 2 q + e 3 q 2 +. . . + ekqk-1 = = f 1 + f 2 q + f 3 q 2 +. . . + fkqk-1. Most e 1 = f 1 , folytassuk ezt az eljárást. . . -3 -

Jelölések, elnevezések: A = {0, 1, 2, . . . , q 1} teljes maradékrendszer kanonikus együttható-, vagy jegyhalmaz. Elemei a számjegyek. ( A , q ) számrendszer , q alapszámmal. CÉL : Különböző algebrai struktúrákra hasonló módon értelmezni a számrendszer fogalmat. Problémák (pl. ): 1. A kanonikus alakú jegyhalmazok általában nem eredményeznek számrendszert! 2. Egészek, algebrai egészek. 3. Törtek leírása. -4 -

A vizsgált kérdések különböző struktúrákban I. Adott -hoz találjunk olyan E teljes maradékrendszert, ha létezik, amire ( , E ) számrendszer. II. Adott és E = {0, 1, . . . , |N( )|-1} kanonikus együtthatórendszerről döntsük el, hogy ( , E ) számrendszer, vagy sem. -5 -

Általánosított számrendszerek Z-ben Legyen q 0 Z, A = {a 0= 0, a 1, . . . , at 1} TMR, ahol |q| = t > 1. Ekkor és n Z –re ! f A : n = n 1 q + f. -6 -

Definiálunk egy függvényt J : Z Z : J(n) = n 1. Átmenet: n f Legyen -7 - n 1

1. Lemma. (1) Ha |n| > L |J(n)| < |n|, (2) Ha n [ L, L ] J(n) [ L, L ]. Bizonyítás. (1) Indirektte tfh |n| |J(n)| -8 -

Következmény. A J 0(n), J 1(n), J 2(n), . . . sorozat vagy csökkenni fog, vagy bennemarad egy intervallumban, tehát „előbb-utóbb periodikus lesz”. Definíció. Z periodikus elem, ha valamely k N-re Z : Jk( ) = . P a periodikus elemek halmaza. G(P) irányított gráf, ahol a pontok a periodikus elemek és egy nyíl 1 –ből 2 –be mutat, ha J( 1) = 2. - 10 -

Állítások. 1. 0 P. 2. n P k N: n = e 0 + e 1 q + e 2 q 2 +. . . + ek-1 qk-1 + nqk, ei A. n = e 0 + q(e 1 + e 2 q + e 3 q 2 +. . . + nqk-1), J(n) = e 1 + e 2 q + e 3 q 2 +. . . + nqk-1, J(J(n)) = e 2 + e 3 q + e 4 q 2 +. . . + nqk-2, Jk(n) = n. - 11 -

3. P J( ) P. 4. G(P) diszjunkt körök uniója. 5. P [ L, L ]. Definíció. ( q, A ) számrendszer Z felett, ha minden egész felírható a következő véges összegként: = e 0 + e 1 q + e 2 q 2 +. . . + ekqk, ahol ei A és 0 i k. A TMR egyértelműség. - 12 -

Észrevétel. ( q, A ) számrendszer P = {0}. Példa. q = 3, A = {0, 7, 11}. Ekkor K = 11, L = 11/2 | | ≤ 5 n > 0 : n = 3 n 1 + b , b {0, 7, 11}. - 13 -

Általánosított számrendszerek R-ben Legyen H R olyan x valós számok halmaza, melyeknek legalább egy ei A , alakú előállítása. Tétel. (1) H korlátos és zárt, (2) y R –re n Z és x H : y=n+x. - 15 -

Definíció. k = { | = e 0 + e 1 q + e 2 q 2 +. . . + ekqk, ei A. A = 0 1 2 . . . azon elemek halmaza, melyeknek van véges előállítása (A, q)-ban. - 16 -

Állítások. 1. = Z (A, q) számrendszer. 2. k N : 3. (H) > 0, különben Tétel - 17 -

2. Lemma. 1, 2 ( 1 2) ( 1 + H 2 +H) = 0. Bizonyítás. 2. Állítás - 18 -

Ha ( 1 + H 2 +H) > 0 lenne, akkor Következmény. Ha (A, q) számrendszer = Z n 1, n 2 Z , (n 1 n 2) : (n 1 + H n 2 +H) = 0. - 19 -

Definíció (JTCS). (A, q) éppen érintő lefedő rendszer, ha (n 1 + H n 2 +H) = 0, n 1, n 2 Z , (n 1 n 2) esetén. Nyílt kérdés. S(0) = {n | H + n H } (= S) , S(m) = {n | H + n H + m }. - 20 -

Észrevétel. S , különben { H + n | n Z } nem fedné le R -t. S: B = H H + . Tetszőleges JTCS esetén mennyi B Hausdorff – dimenziója ? - 21 -

Általánosított számrendszerek Rk-ban M k k mátrix, 1, . . . , k, különböző sajátértékekkel és | i| > 1 i-re. L = MZk részcsoport Zk –ban. A Zk /MZk faktorcsoport rendje |det M|. L = A 0, A 1, . . . , At-1 , ahol t = |det M| , maradékosztályok mod(M). Aj –ből egy elemet választunk: A = { a 0= 0, a 1, . . . , at-1 }. További definíciók hasonlóan, mint eddig. - 22 -

Quadratic fields If D is a squarefree integer, then is a real ( D > 1 ) or imaginary ( D < -1 ) quadratic field. Let I be the set of algebraic integers in an arbitrary quadratic field. - 23 -

If I and E is a complete residue system mod containing 0, then ( , E ) is a coefficient, or digit set with base number . We say that ( , E ) is a number system in I if each I can be written as a finite sum = e 0 + e 1 + e 2 2 +. . . + ek k, where ei E and i = 0, 1, . . . , k. - 24 -

I : ! f E : = 1 + f with a suitable 1 I. J : I I function, J( ) = 1. Transition: f 1 Periodic element: I : Jk( ) = . G(P) is a disjoin union of directed circles. - 25 -

( , E ) is a Number System P={0} G(P) : 0 0 - 26 -

The starting point of our investigation I. Kátai, Number Systems in imaginary quadratic fields, Annales Univ. Sci. Budapest. , Sect. Comp. 14 (1994), 159 -164. If I is the set of integers in some imaginary quadratic field then I is a base of a number system with an appropriate digit set E , 0 and , 1 are not units. - 27 -

K – type coefficient (digit) sets G. Farkas, Number systems in real quadratic fields. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 18 47 -60 (1999). 0, , 1 are not unit and E K – type digit set. ( , E ) is a NS. - 28 -

G. Farkas, Digital expansion in real algebraic quadratic fields. Mathematica Pannonica. 10 (2) 235 -248 (1999). G. Farkas, Location and number of periodic elements in Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 20 133 -146 (2001). G. Farkas, Periodic elements and number systems in Comp. Math. Appl. (to appear). - 29 -