Szimmetrik egyenletek s csoportok avagy a prbajhs s

Szimmetriák, egyenletek és csoportok avagy a párbajhős és az óriás Horváth Eszter Szilágyi Erzsébet Gimnázium Freud Róbert ELTE Matematikai Intézet

1. Bevezetés Az alakzatok szimmetriájától a geometriai transzformációkig

Szimmetria a természetben

Szimmetria a népművészetben

Szimmetria az építészetben

2. A geometriai transzformációk áttekintése

A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése o Egy M halmaz önmagára való bijektív leképezését az M halmaz transzformációjának vagy permutációjának nevezzük. o A sík pontjai o A tér pontjai o Egy alakzat pontjai

Transzformációk egymás utáni alkalmazása o Tükrözzünk végig egy tetszőleges P 0 pontot egy ötszög oldalfelező pontjaira, jelöljük a végeredményt P 5 -tel. Mutassuk meg, hogy az ötszög egyik csúcsa felezi a P 0 P 5 szakaszt! Geometriai feladatok gyűjteménye 432

Transzformációk egymás utáni alkalmazása o Bizonyítsuk be, hogy az olyan négyszög kerülete, amelynek csúcsai az egységnyi oldalú négyzet különböző oldalain vannak, legalább 2√ 2! Matematika B fakultáció IV. 379. o. 16

A geometriai transzformációk csoportelméleti megközelítése o Két transzformáció egymás utáni alkalmazása (f○g)(P)=f(g(P)) Pf○g=(Pf)g o Identikus transzformáció o Inverz transzformáció

A csoport fogalma Egy G nem üres halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy ● művelet a következő tulajdonságokkal. o A ● művelet asszociatív. o Van neutrális eleme - egységeleme. o G minden elemének van inverze.

Az euklideszi sík és tér egybevágósági transzformációi o A sík bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzata. o A tér bármely egybevágósági transzformációja legfeljebb négy síktükrözés szorzata

3. Találtunk egy négylevelű lóherét

Az ideális lóhere aranyból

…és ezüstből

A lóherét (a négyzetet) fixen hagyó transzformációk

A csoport szorzástáblája I f f 2 f 3 I I f f 2 f 3 f f f 2 f 3 I f f 3 I f f 2

A csoport szorzástáblája I f f 2 I I f f 2 f 3 I f 3 I f t t tf 3 tf 2 tf tf t tf 3 tf 2 tf f 3 t tf tf 2 tf 3 I tf tf 2 tf 3 t tf tf 2 tf I f f 2 f 3 tf 2 t f f 2 f 3 I tf 3 f 2 f 3 I f t f 3 I f f 2

4. Geometriai transzformációk alkalmazása egy versenyfeladatban OKTV 2006 -2007

o Az ABC háromszöget betűzzük pozitív körüljárás szerint. A háromszögei az A, B illetve C csúcsnál rendre a, b, g. A B csúcsot az A pont körül negatív irányban elforgatjuk a szöggel, majd az így kapott B 1 pontot a B pont körül negatív irányban elforgatjuk b szöggel, és végül az így nyert B 2 pontot a C pont körül negatív irányban g szöggel elforgatva a B 3 pontba jutunk. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a B, B 3 pontok és az ABC háromszög beírt körének O középpontja!

1. megoldás

Évariste Galois (1811 -1832)

Niels Henrik Abel (1802 -1829)

Robert Griess o 1973 -ban megjósolta az „Óriást” o 1980 -ban igazolta a létezését

Robert Giess

Bernd Fischer

A Monster elemszáma o 246 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 47 59 71 o 80801742479451287588645990496171 075700575436800000 o 8 1053

Irodalom 1) Általános- és középiskolai tankönyvek 2) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Fedezzük fel a szimmetriát Tankönyvkiadó, 1989 3) Hargittai Magdolna – Hargitai István: Képes Szimmetria Galenus, 2005

Irodalom 4) Dr. Gazsó István : Transzformációk Általános iskolai szakköri füzet Tankönyvkiadó, 1972 5) Vigassy Lajos: Egybevágósági transzformációk a síkban és a térben Tankönyvkiadó, 1979 Középiskolai szakköri füzet

Irodalom 6) Pataki Tíbor: Papírcsodák Ságvári Endre Könyvszerkesztőség, 1983 7) Imrecze Zoltáné, Reiman István, Urbán János: Fejtörő feladatok felsősöknek Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház. Kft. 1999

Irodalom 8) Michele Emmer: M. C. Escher, Simmetria e spazio ART and MATHEMETICS (video) 9) Michele Emmer: Geometries and impossible worlds. M. C. ART and MATHEMETICS (video)

Irodalom 10) Bácsó, S. ; Hoffmann, M. : Fejezetek a geometriából, EKF Líceum Kiadó, 2003. 11) Baziljev, V. T. ; Dunyicsev, K. I. ; Ivanyickaja; V. P. : Geometria I-II. , Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

Irodalom 12) Bódi, B. : Algebra I. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2002. 13) Coxeter, H. S. M. ; A geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

Irodalom 14) Folex, J. D. ; van Dam, A. ; Feiner, S. K. ; Hughes, J. F. : Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley, 1997. 15) Freud, R. : Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2004.

Irodalom 16) Hajós, Gy. : Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. 17) Kiss, E. : Bevezetés az algebrába. Typotex Kiadó, Budapest, 2007.

Irodalom 18) Kovács, Z. : Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2004. 19) Martin, G. M. : Transformation Geometry. Springer Verlag, New York. Heidelberg-Berlin, 1982.

Irodalom 20) Molnár, E. : Elemi matematika II. (Geometriai transzformációk). Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 21) Nyisztor, K. : Grafika és játék- programozás Direct. X-szel. Szak Kiadó, Budapest, 2005.

Irodalom 22) Reiman, I. : A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

Irodalom 23) Bachmann, F: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer 1959, 1973 24) Ahrens, J: Begründung der absoluten Geometrie des Raumes aus Spiegelungsbegriff, Math. Zeitschrift 71. (1959) 154 -185

Irodalom 25) Molnár Emil: A tükrözésgometriáról, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VII. (1974) 86 -130 26) Molnár Emil: Tükrözésgeometria Térben, ELTE TTK Szakmódszertani Közleményei VIII. (1975) 76 -107

Irodalom 27) Bourbaki, N: Groups et Algebres de Lie Chap. IV-VI. Hermann, Paris, 1968 English translation Springer, 2002 28) Brown, H; Bülow, R; Neubüser, J; Wondratschek, H; Zassenhaus, H: Crystallographic Groups of Fourdimensional Space. Wiley-Interscience, 1978

Irodalom 29) Coxeter, H. S. M; Moser, W. O. J. : Generators and Relations for Discrete Groups. 4 th ed. , Ergebnisse der Math. Und ihrer Grenzgebiete, Bd. 14, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New -York, 1980. 30) Dade, E. C. : The maximal finite groups of 4 4 integral matrices. Illinois J. Math. 9(1965) 99 -122.

Irodalom 31) Maxwell, G. M, : The crystallography of Coxeter groups. J. Algebra. 35(1975) 159 -178 32) Ryshkov, S. S: Maximal finite groups of integral n n matrices and full groups of integral authomorphisms of positive quadratic forms (Bravais models). Trudz Mat, Inst. Steklov. 128(1972) 183211. (in Russian), Proc. Steklov Inst. Math. 128(1972) 217 -250. (in English)

Irodalom 33) Ryshkov, S. S. : On complete groups of integral automorphisms os quadratic forms. Soviet. Math. Dokl. 13(1972) 1251 -1254.

Publikáció o Horváth Eszter: Gondolatok a geometriai transzformációk tanításáról az általános iskola felső tagozatán Matematikatanár-képzés – matematikatanár-továbbképzés 3 -4 (2007) 13 -18 Nyitott Könyvműhely, Budapest

Publikáció o Horváth Eszter: On a fundamental theorem of reflection geometry. Annales Univ. Sci. Budapest. 46 (2003) 133 -148

Publikáció o Horváth Eszter: On a four-dimensional crystallographic groups Teaching Mathematics and Computer Sciencs 4/2 (2006) 391 -404

Disszertáció o Horváth Eszter Goemetriai transzformációk 2007