Szgfggvnyek s alkalmazsai Ksztette Horvth Zoltn Nincs Kszen

Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Horváth Zoltán Nincs Készen

TARTALOM Szögfüggvények a derékszögű háromszögekben Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Szinusz tétel általános háromszögre Koszinusz tétel Szögfüggvények ábrázolása 2

Szögfüggvények • A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le. c a Az a, és a b oldal a derékszögű háromszög befogóját, c pedig az átfogóját jelöli. b 3

a Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c b 4

a Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c b 5

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 8 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0, 625. amelynek koszinusza 0, 625. 6

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, átfogója 10 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0, 6. amelynek koszinusza 0, 6. 7

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0, 8. amelynek tangense 1, 25. 8

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 16 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszögeit! c a b Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 3, 2. amelynek tangense 0, 3125. 9

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 12 cm, és az azzal szemben lévő szöge 30°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a b Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 24 cm hosszú. 10

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és az azzal szemben lévő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a b Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28, 284 cm hosszú. 11

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 15 cm, és a befogón fekvő szöge 75°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a b Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 57, 96 cm hosszú. 12

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és a befogón fekvő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! c a b Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28, 284 cm hosszú. 13

Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is • A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. • Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2 -nél nagyobb, sőt, negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik. 14

Rajzoljunk fel egység sugarú Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! kört a koordinátarendszerben! Vetítsük le a forgásszög szárát az x tengelyre! Ekkor így keletkezett egy y derékszögű háromszögünk. 1 A derékszögű háromszög átfogója 1 x’ -1 1 egység hosszú. Határozzuk meg a forgásszög 1 x melletti befogó hosszát, x’-t, mint a forgásszög szárának x tengelyre vonatkoztatott vetületét! -1 15

Rajzoljunk fel egység sugarú Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! kört a koordinátarendszerben! Vetítsük a forgásszög szárát az y tengelyre! Váltószögek… Ekkor így keletkezett egy y derékszögű háromszögünk. 1 A derékszögű háromszög átfogója y’ -1 1 egység hosszú. 1 Határozzuk meg a forgásszöggel 1 x szembenlévő befogó hosszát, y’-t, mint a forgásszög szárának y tengelyre vonatkoztatott vetületét! -1 16

Összefoglalva: és A koordinátarendszerben az egységsugarú körben a forgásszög szárának x tengelyre vonatkoztatott vetülete: a forgásszög szárának y tengelyre vonatkoztatott vetülete: 17

Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy (1) Következmény : -1 és 1 közötti számhoz az x tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? y Vegyünk fel az x tengelyen egy 1 tetszőleges -nek megfelelő hosszúságú szakaszt! Bocsássunk merőlegest az x’ szakaszra a szakasz origóval ’ x -1 1 x ellentétes pontjából, és messük el a körívet! Ekkor keletkezett két lehetőségem: -1 18

Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy (2) Következmény : -1 és 1 közötti számhoz az y tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? y Vegyünk fel az x tengelyen egy 1 tetszőleges -nek megfelelő hosszúságú szakaszt! y’ Bocsássunk merőlegest az y’ szakaszra a szakasz az origóval -1 1 x ellentétes pontjából, és messük el a körívet! Ekkor keletkezett két lehetőségem: -1 19

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek 20

I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás 21

I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás 22

I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás 23

I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás 24

25

26

I-II. Síknegyed közötti megoldás III. -IV. Síknegyed közötti megoldás 27

Mivel: Ezért nincs az egyenletnek megoldása. 28

I. Síknegyedbeli megoldás alapján: IV. Síknegyedbeli megoldás alapján: 29

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(5 x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Nincs megoldása az egyenletnek. 30

Vegyük észre, hogy az egyenlet tg(5 x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! Keressük azt a szöget radiánban, vagy melynek tangense 5. Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 2. 31

Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(2 x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy 32

Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0, 5. 33

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2 x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy 34

Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0, 5. 35

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1. 36

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy 37

Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0, 8. 3, 14 -0, 93=2, 21 Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0, 2. 3, 14 -0, 201=2, 94 38

Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy 39

Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0, 6. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0, 4. 40

Felhasználjuk a következő trigonometrikus azonosságot: Ezt behelyettesítjük az egyenlet jobb oldalába: Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2 x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! 41

vagy , mert 42

Trigonometrikus egyenlőtlenségek 43

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0, 5 -nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0, 5 A keresett szögtartomány: Vagyis: x 44

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0, 866 -nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0, 866 A keresett szögtartomány: Vagyis: x 45

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő - 0, 866 -nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y x -0, 866 A keresett szögtartomány: 46

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb 0, 5 -nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0, 5 A keresett szögtartomány: Vagyis: x 47

Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0, 5 -nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y A keresett szögtartomány: Vagyis: 0, 5 Másként: x 48

Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0, 5 -nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y A keresett szögtartomány: Vagyis: 0, 5 x 49

Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 1 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben Megoldás: a tg (x) képe 1 -ben vagy az 1 alatt van! 50

Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 5 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben Megoldás: a tg (x) képe 5 -ben vagy az 5 alatt van! 51

Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 1, 732. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton Viszont figyelembe kell venni a tangens növekedő tulajdonságát: függvény értelmezési tartományának határát is. Megoldás: 52

Keressük azt a szöget radiánban, amelynek tangense 2. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton Viszont figyelembe kell venni a tangens növekedő tulajdonságát: függvény értelmezési tartományának határát is. | +2 Rendezzük az egyenlőtlenséget x –re! | : 3 Megoldás: 53

Szinusz tétel általános háromszögre Bármely háromszög két oldalának aránya megegyezik e két oldallal szemben lévő szögek szinuszainak arányával. 54

Egy háromszög egyik oldala 4 cm, másik 8 cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik oldallal szemben o lévő szög 30. Mekkorák a háromszögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! 55

Egy háromszög egyik oldala 4 cm, másik 8 cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbikkel szemben o lévő szög 30. Mekkorák a háromszögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 1? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A háromszög belső szögei: 56

Egy háromszög egyik oldala 8 cm, másik 5 cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben o lévő szög 30. Mekkorák a háromszögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! 57

Egy háromszög egyik oldala 8 cm, másik 5 cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben o lévő szög 30. Mekkorák a háromszögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 0, 3125? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A második háromszögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei: 58

Egy háromszög egyik oldala 8 cm, másik 3 cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben o lévő szög 20. Mekkorák a háromszögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! 59

Egy háromszög egyik oldala 8 cm, másik 3 cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben o lévő szög 20. Mekkorák a háromszögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 0, 1283? A háromszög belső szögeinek összege 180 o. A második háromszögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei: 60

Egy háromszög egyik oldala 4 cm, másik 9 cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik szemben lévő szög 30 o. Mekkorák a háromszögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! Ilyen háromszög nincs, mert teljesülni kellene minden háromszögben: 61

Cosinus tétel 62

Egy háromszög két oldala 6 cm, és 8 cm hosszúak, o közbezárt szögük pedig 60. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 7, 21 cm hosszú. 63

Egy háromszög két oldala 6 cm, és 8 cm hosszúak, o közbezárt szögük pedig 90. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 10 cm hosszú. 64

Egy háromszög két oldala 3 cm, és 5 cm hosszúak, o közbezárt szögük pedig 120. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 7 cm hosszú. 65

Egy háromszög oldalai 10 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszöge . 66

Egy háromszög oldalai 10 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszöge . 67

Egy háromszög oldalai 10 cm, 12 cm és 15 cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszöge . 68

Szögfüggvények ábrázolása y x 69

70

Ezt. Az követően jobbra aeltoljuk alapfüggvény sin(x), ezért π/2 először egységgel! ezt rajzoljuk meg! 71

Ezt. Az követően jobbra aeltoljuk alapfüggvény sin(x), ezért π egységgel! először ezt rajzoljuk meg! 72

Ezt. Az követően balra eltoljuk alapfüggvény a sin(x), ezért π egységgel! először ezt rajzoljuk meg! 73

Ezt. Az követően balra eltoljuk alapfüggvény a sin(x), ezért 2 egységgel! először ezt rajzoljuk meg! 74

75

II. A függvény minden Először megrajzoljuk azképének alapfüggvény képét, a cos x-t. pontját eltoljuk π/2 -vel jobbra! 76

II. A függvény minden Először megrajzoljuk azképének alapfüggvény képét, a cos x-t. pontját eltoljuk 2π/3 -mal jobbra! 77

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3 -mal balra! 78

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 1 -gyel le! 79

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 0, 5 -del le! 80

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét kétszeresére nyújtjuk! 81

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét háromszorosára nyújtjuk! 82

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk! 83

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! 84

Először megrajzoljuk az képét, a minden cos x-t. III. alapfüggvény A függvény képének II. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk! értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! 85

Először megrajzoljuk az képét, a minden cos x-t. III. alapfüggvény A függvény képének II. A függvény képének minden értékét negyedére nyújtjuk! értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! 86

Először megrajzoljuk az III. Aalapfüggvény képének képét, minden a cos x-t. értékét kétszeresére változtatjuk, II. A függvény képének minden azaz nyújtjuk! értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! 87

Először megrajzoljuk az III. Aalapfüggvény képének képét, minden a cos x-t. értékét kétszeresére változtatjuk, II. A függvény képének minden azaz nyújtjuk! értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! IV. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3 -mal jobbra! 88

Először megrajzoljuk az III. Aalapfüggvény képének képét, minden a cos x-t. értékét kétszeresére változtatjuk, II. A függvény képének minden azaz nyújtjuk! értékét ellentettjére változtatjuk! XV. tengelyre tükrözünk! A függvény képének minden IV. A eltoljuk függvény 0, 5 -del képénekfel! minden pontját eltoljuk π/3 -mal jobbra! 89

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény a cos x-t: II. A hullámokat kétszereséreképét, sűrítjük! 90

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat háromszorosára összesűrítjük! 91

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat felére ritkítjuk! 92

93

Rajzoljuk meg az alap függvényt! π/4 -gyel toljuk el a függvény minden pontját jobbra! 94

Rajzoljuk azelalap függvényt! 2, 5 -delmeg toljuk a függvény minden pontját felfelé! 95

96

97

98

99

100