Szeregi czasowe dr Magorzata Radziukiewicz Motto Zdobywanie wiedzy

Szeregi czasowe dr Małgorzata Radziukiewicz

Motto: …Zdobywanie wiedzy polega na przyzwyczajaniu się do pewnych pojęć oraz faktów….

Szeregi czasowe

Szeregi czasowe

Szeregi czasowe

Szeregi czasowe n n n Zmienna czasowa t Czas wprowadza w zbiorze zdarzeń relację porządku lata t 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Szeregi czasowe n n Przyjmujemy, że n-elementowy szereg czasowy zapisujemy jako zbiór {(t, yt), gdzie: t= 1, 2, …, n}, czyli uporządkowany zbiór n par wartości zmiennych t i Y, który można przedstawić graficznie jako zbiór n punktów w układzie współrzędnych. Do tego zbioru punktów można dopasować linię o ogólnej postaci: opisującej tendencję rozwojową zjawiska w czasie.

Szeregi czasowe n Funkcję: nazywa się modelem trendu. ■ Przy jej wyznaczaniu postępuje się identycznie jak przy budowie modelu regresji z jedną zmienną niezależną. ■ Postać dopasowywanej funkcji trendu wybiera się najczęściej na podstawie wykresu szeregu czasowego.

Szeregi czasowe n n n Zakładamy, iż w szeregu stanowiącym podstawę analizy nie ma wahań sezonowych (wahań takich nie ma nigdy w danych rocznych). Model tendencji rozwojowej z liniową funkcją trendu przyjmuje postać: gdzie : yt – poziom zjawiska w okresie t, n liniowa funkcja trendu, n εt – składnik losowy dla okresu t

Szeregi czasowe n n Przyjmując odnośnie do rozkładu εt takie same założenia jak w klasycznym modelu regresji, uzyskujemy podstawę do szacowania parametrów funkcji trendu za pomocą MNK. Są to następujące założenia:

Szeregi czasowe n Estymatory parametrów α 0 i α 1 liniowej funkcji trendu są następujące:

Liniowy model trendu – szacowanie parametrów lata 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 nakład 176 126 99 116 80 94 126 103 a) zinterpretuj parametry modelu i wypowiedz się na jego temat; b) wyjaśnij, jak przebiegały kolejne etapy obliczeń; c) podaj prognozę wraz z błędem standardowym nakładu książek i broszur w 1999 roku n n Przykład 1. Na podstawie poniższych danych o nakładach książek i broszur (w mln. egzemplarzy) wydanych w Polsce w latach 1990 -1997:

Liniowy model trendu – wyznaczanie parametrów n obliczenia pomocnicze lata Nakład (Y) t Y· t t 2 1990 176 1 1991 126 2 252 4 1992 126 3 378 9 1993 103 4 412 16 1994 99 5 495 25 1995 116 6 696 36 1996 80 7 560 49 1997 94 8 752 64 ∑ 920 36 3721 204

Estymatory parametrów modelu trendu liniowego

Postać funkcji trendu i interpretacja oszacowanych parametrów n Wyznaczona liniowa funkcja trendu ma postać: n interpretacja: n n ocena parametru 0 ustalona na poziomie a 0 = 159, 893 informuje o wielkości nakładów książek i broszur w Polsce w roku 1989. ocena parametru 1 ustalona na poziomie a 1 = -9, 976 informuje, wielkość nakładów książek i broszur w Polsce w latach 1990 -1997 malała średniorocznie o 9, 976 mln. egzemplarzy (nazywany współczynnikiem trendu liniowego).

interpretacja c. d. n n współczynnik trendu liniowego a 1 możemy interpretować jako przeciętny przyrost zmiennej Y na jednostkę czasu; dlatego z funkcji liniowej korzysta się, gdy można przyjąć, iż przyrosty absolutne zjawiska w kolejnych okresach są w przybliżeniu stałe.

weryfikacja modelu wyznaczony z otrzymanej funkcji trendu „teoretyczny” nakład książek i broszur: obliczenia pomocnicze: n n t Yt Y 2 t et e 2 t 1 176 149, 92 30976 26, 08 680, 1664 2 126 139, 94 15876 -13, 94 194, 3236 3 126 129, 96 15876 -3, 96 15, 6816 4 103 119, 99 10609 -16, 99 288, 6601 5 99 110, 01 9801 -11, 01 121, 2201 6 116 100, 04 13456 15, 96 254, 7216 7 80 90, 06 6400 -10, 06 101, 2036 8 94 80, 08 8836 13, 92 193, 7664 ∑ 36 920 x 111830 0, 0 1849, 743

Rysunek 1 n Rys. 1. Szereg czasowy nakładu książek i broszur i dopasowana do niego prosta

ocena składnika losowego modelu

ocena składnika losowego modelu n n interpretacja błędu estymacji S(e): odchylenie reszt, będące miarą przypadkowych odchyleń nakładu książek i broszur od liniowego trendu wynosi 17, 559 mln egzemplarzy

współczynnik zmienności n n interpretacja współczynnika zmienności V: odchylenia losowe (odchylenia obserwacji teoretycznych od rzeczywistych) nakładu książek i broszur stanowią 15, 27% średniego nakładu książek i broszur

współczynnik zbieżności interpretacja φ2 : liniowy model trendu nie wyjaśnia około 30, 7% całkowitej zmienności nakładu książek i broszur w rozpatrywanym okresie

współczynnik determinacji interpretacja R 2 : liniowy trend wyjaśnia 69, 7% całkowitego zróżnicowania nakładu książek i broszur w rozpatrywanym okresie

Weryfikacja modelu c. d. n n n czy czas istotnie objaśnia nakład książek i broszur? n test t-Studenta n test serii n test Durbina-Watsona czy reszty są losowe? czy występuje autokorelacja reszt?

Prognoza punktowa n n n Model tendencji z dobrze dobraną funkcją trendu można wykorzystać do prognozowania zjawiska na przyszłe okresy. Prognoza ma charakter ekstrapolacji tzn. przeniesienia zaobserwowanej tendencji rozwojowej na przyszłe okresy. Oznaczając przez T okres, którego dotyczy prognoza, jej wartość obliczymy z otrzymanej funkcji trendu: n Wyznaczony model wykorzystamy do określenia progozy nakładu książek i broszur w 1999 roku. W przyjętym systemie numeracji rok ten ma numer T=10. n Prognoza wielkości nakładu książek i broszur w 1999 roku n mln egzemplarzy n wyniesie:

Standardowy błąd prognozy n obliczanie standardowego błędu prognozy VT:

Standardowy błąd prognozy n n Interpretacja standardowego błędu prognozy VT: Przeciętnie biorąc, prawdziwe wartości zmiennej Y będą się odchylać od wyznaczonej prognozy średnio o wartość ± VT. Przykład: Przeciętnie biorąc, nakład książek i broszur w 1999 roku będzie się odchylał od prognozy nakładu książek i broszur (60, 133 mln egzemplarzy) średnio o ± 26, 83 mln egzemplarzy.

Względny standardowy błąd prognozy n Względny błąd prognozy ex ante: Obliczenia: n n n Interpretacja: W 1999 roku przeciętne oczekiwane odchylenie nakładu książek i broszur od prognozowanej wielkości nakładu książek i broszur stanowić będzie około 40% wartości prognozy. Procentowy rząd odchyleń prognozy od rzeczywistej wielkości nakładu książek i broszur jest bardzo duży i wynosi około 40%.

Prognoza przedziałowa n n n Z tablicy t-Studenta dla n-(k+1) stopni swobody (8(1+1)=6 ) oraz poziomu ufności 1 -�(0, 95) odczytujemy t� = 2, 447. Wyznaczamy granice przedziału prognozy: dolna granica 60, 133 - 2, 447· 23, 85=1, 772 górna granica 60, 133 + 2, 447· 23, 85=118, 49 Przedział prognozy jest więc następujący: n n [1, 772 ; 118, 49] Z prawdopodobieństwem równym 0, 95 można przypuszczać, że w 1999 roku nakład książek i broszur będzie się zawierać w tym przedziale