Szegedi Tudomnyegyetem Termszettudomnyi s Informatikai Kar Bolyai Intzet

Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Matematika-tanár szak Szakdolgozat Fraktálok a tőzsdén Gombos Kitti Kata Témavezető: Dr. Kurusa Árpád 2010 1

Tartalomjegyzék 1. Bevezető 2. Káosz és fraktál 2. 1 Fraktálok a természetben 2. 2 Káosz és fraktál 2. 3 Fraktálok előállítása 2. 4 Szabálytalanság és dimenzió 2. 5 Önhasonlóság 3. Fraktálok és dimenzióik 3. 1 Hausdorff-dimenzió 3. 2 Dobozszámláló dimenzió 3. 3 Konkrét számítások 4. Fraktálok a közgazdaságban 4. 1 Bevezetés 4. 2 A hozamok függetlensége 4. 3 R/S analízis és Hurst-exponens 5. Fraktálok keresése a valós tőzsdéken 5. 1 A Dow Jones index vizsgálata 5. 2 A General Electric részvény vizsgálata 5. 3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől 6. Fraktálok és furcsaságok 6. 1 Peano-görbe 6. 2 Az ördögi lépcső 6. 3 Koch-sziget 7. Tartalmi összefoglaló 8. Irodalomjegyzék 9. Felhasznált ábrák listája 10. Köszönetnyilvánítás 11. Nyilatkozat 2

1. Bevezető 3

2. A fraktálfogalom és kialakulása 1975 Mandelbrot: a fraktál Falconer az alábbi tulajdonságok teljesülése után nevez egy halmazt fraktálnak: • Finom struktúrája van • Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában • Önhasonló • Fraktáldimenziója nagyobb mint a topológiai dimenziója • Egyszerűen definiálható 4

2. 1 Fraktálok a természetben 5

2. 2 Káosz és fraktál • Hétköznapi értelemben a káosz a teljes zűrzavar, a fejetlenség, a rendetlenség, illetve az összevisszaság megjelölésére utal • Matematikai értelemben: ØMolekuláris Ø Determinisztikus káosz - Káoszjáték (Sierpinski-háromszög) 6

2. 3 Fraktálok előállítása 7

Cantor-halmaz 8

Sierpinski-háromszög 9

Sierpinski-szőnyeg & Menger-szivacs 10

Mandelbrot-halmaz 11

Koch-görbe 12

2. 4 Szabálytalanság és dimenzió 13

Nem rektifikálható görbék 14

2. 5 Önhasonlóság • Pontbeli önhasonlóság • Szigorú önhasonlóság • X önhasonlóság (természetben előforduló fraktálok) 15

3. Fraktálok és dimenzióik • 3. 1 Hausdorff-dimenzió • 3. 2 Dobozszámláló-dimenzió • 3. 3 Konkrét számítások kb. 1, 352 kb. 1, 59 kb. 1, 26 16

17

4. Fraktálok a közgazdaságtanban 4. 1 Bevezetés • Hagyományos gondolkozás • Újklasszikus iskola 4. 2 A hozamok függetlensége A piaci hatékonyság szintjei: 1. Gyenge hatékonyság 2. Közepes hatékonyság 3. Erős hatékonyság 4. 3 R/S analízis és Hurst-exponens Az R/S-analízis különböző időperiódusokra kiszámolja a kumulált adatok átlag körüli ingadozásainak R terjedelmét, majd ezt az adatok S szórásával elosztva standardizálja Mit is mutat meg számunkra a Hurst-exponens? • ha H<0. 5 akkor ún. antiperzisztens viselkedés • ha H=0, 5 véletlen bolyongás • ha H>0. 5 perzisztens viselkedés 18

5. Fraktálok keresése a valós tőzsdéken 19

5. 1 A Dow Jones index vizsgálata A vizsgálat lépései: 1. Az árfolyamokból készített diagram képe fraktál? 2. Függetlenség vizsgálata 3. R/S-analízis 20

1. Dobozszámláló-dimenzió kiszámítása dim. DJ: kb. 1, 204 21

2. Függetlenség vizsgálat A vizsgálat eredménye: A Dow Jones ipari index hozamai nem függetlenek az 2000. január és 2009. december közötti időszakban, ezáltal nem áll fenn a hatékony piacok hipotézise. 22

3. R/S-analízis 23

24

25

Eredmény: H=0, 418 A Dow Jones ipari index 2000. január és 2009. decembere közötti hozamai közepesen hatékonyak. 26

5. 2 A General Electric részvény vizsgálata Lépései: • a hozamok függetlenségének vizsgálata • R/S-analízis 27

1. Függetlenség vizsgálata A General Electic részvény hozamai az 2000. január és 2009. december közötti időszakban függetlenek, így fennáll a hatékony piacok hipotézise. 28

2. R/S-analízis H=0, 5 29

5. 3 A magyar BUX index hasonlóságai és eltérései a nemzetközi indexektől Észrevételek: • 2000 -res évi vizsgálatok: 0, 7 körüli Hurst-expones • Saját vizsgálat: 2000 januártól 2009 decemberéig terjedő adatsorra, 0, 553 körüli érték az utóbbi években a magyar piac „másolja” a külföldre jellemző gazdasági tendenciákat 30

6. Fraktálok és furcsaságok 1. Peano-görbe 2. Az ördögi lépcső 3. Koch-sziget 31

6. 1 A Peano-görbe 32

6. 2 Az ördögi lépcső (1) 33

6. 2 Az ördögi lépcső (2) Az ördögi lépcső az a síkhalmaz, amelyet az f függvény grafikonja, az x-tengely és az y=1 egyenletű egyenes határol. 34

6. 3 Koch-sziget (1) 35

6. 3 Koch-sziget (2) 36

Köszönöm a figyelmet! 37