Systemy dynamiczne 20152016 Sterowalno osigalno Systemy dynamiczne studia

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Systemy dynamiczne - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 4 b– 5 – 2015/016 Sterowalność - osiągalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność i obserwowalność Obok stabilności – dwa podstawowe pojęcia teorii i inżynierii sterowania Przykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Transformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Cztery różne statusy zmiennych stanu: - v 1 można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v 2 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v 3 można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v 4 nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Można wyróżnić cztery podsystemy: - związany ze zmienną stanu v 1 sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 2 niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v 3 sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v 4 niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność i osiągalność Sterowalność/osiągalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x 0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x 0 przy zastosowaniu różnych wejść u 1(t) i u 2(t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x 1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x 1 w pewnym skończonym czasie T Stan x 1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u 1(t) i u 2(t), w różnych skończonych czasach T 1 i T 2 oraz po różnych trajektoriach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowicie sterowalny lub krócej sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność systemu System sterowalny System liniowy jest sterowalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system z dowolnego stanu do stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który jest niesterowalny, wówczas system jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie SSC LS 1) jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Lewa górna podmacierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 3. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Systemy dynamiczne 2015/2016 Macierz sterowalności transmitancji systemu Sterowalność - osiągalność jest niezależna od współczynników licznika Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy od współczynników wielomianu charakterystycznego a 0, a 1 oraz a 2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 4 – powrót do przykładu 1 Konstruujemy macierz sterowalności Dwa stany sterowalne, dwa niesterowalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 5 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 6 Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Macierz sterowalności System sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Inne testy sterowalności systemów ciągłych Dodatek A Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność a przekształcenia podobieństwa Sterowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Osiągalność systemu System osiągalny System liniowy Jest osiągalny w skończonym przedziale czasu , jeżeli istnieje wejście , które przeprowadzi system do dowolnego stanu zerowego Jeżeli istnieje chociaż jeden stan systemu, który nie jest osiągalny, wówczas system jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Osiągalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny (twierdzenie OSC LS 1) jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Możemy tą równoważność wypowiedzieć też w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane wyżej twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego System ciągły sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. system ciągły osiągalny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Systemy dyskretne Przykład 7. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji jest równy zero dla wszystkich niezależnie Drugi stan od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu stwierdzać posiadanie cechy osiągalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. do systemów Katedra Inżynierii Systemów Sterowania dyskretnych 29

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność W ogólności zatem System dyskretny sterowalny system dyskretny osiągalny Implikacja ta zachodzi jednak tylko dla przypadków, gdy AD jest osobliwa, w przeciwnym przypadku podobnie jak dla systemów ciągłych System dyskretny sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. system dyskretny osiągalny Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicie osiągalny lub krócej osiągalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSD LS 1 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnp; n – wymiar stanu, p – wymiar wejścia Dla p=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dla systemów dyskretnych sterowalność i osiągalność nie są równoważne Sterowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie SSD LS 1 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Inne testy sterowalności systemów dyskretnych Dodatek B Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Sterowalność wyjścia Twierdzenie SW LS 1 Wyjście liniowego systemu stacjonarnego ciągłego jest sterowalne wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierz o wymiarze qxnp jest równy q (q – wymiar przestrzeni wyjścia) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Zwykle i-ty wektor własny odpowiadający i-tej wartości własnej macierzy A jest definiowany Ze względu na porządek mnożenia, tak określony wektor własny vi jest nazywany prawostronnym wektorem własnym Podobnie można zdefiniować lewostronny wektor własny wi Dokonując transpozycji Widać: lewostronne wektory własne A są prawostronnymi wektorami własnymi AT Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie SSC LS 2 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz B Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie SSC LS 3 System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+p) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 7 – powrót do przykładu 1 Test sterowalności Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Lewostronne wektory własne dla dla Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Patrząc na nietrudno spostrzec, że System jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie SSC LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz B nie ma wierszy zerowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Przykład 6. Układ elektryczny; wejście – napięcie u, wyjście - prąd y Budowa modelu Równania bilansowe Zależność wiążąca Różniczkując zależność wiążącą bilansowego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. i podstawiając do drugiego równania Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Wybierając zmienne stanu Równania stanu Równanie wyjścia System z natury ma diagonalną strukturę – możemy zastosować Twierdzenie 4 jeżeli wartości własne są jednokrotne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Wartości własne Ponieważ obydwa wiersze macierzy B są zawsze niezerowe – system jest sterowalny, jeżeli tylko wartości własne są jednokrotne Macierz testu Kalmana Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Wyznacznik macierzy Kalmana Jeżeli wartości parametrów elementów układu Równania stanu Równanie wyjścia Wartość własna dwukrotna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Wyznacznik macierzy Kalmana Schemat blokowy układu Równania stanu są niezależne Odpowiedzi stanu gdzie, Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. , x 10 i x 20 – warunki początkowe Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Do stanu końcowego Można doprowadzić system tylko ze stanów początkowych a nie ze wszystkich Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Dodatek B Inne testy sterowalności systemów dyskretnych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie OSD LS 2 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem lewostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz BD Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie OSD LS 3 System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze nx(n+m) ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Systemy dynamiczne 2015/2016 Sterowalność - osiągalność Twierdzenie OSD LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz BD nie ma wierszy zerowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53