Systemy dynamiczne 20152016 Obserwowalno i odtwarzalno Systemy dynamiczne

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Systemy dynamiczne - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 6 – 2015/016 Obserwowalność - odtwarzalność Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSC LS 1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Inne testy obserwowalności systemów ciągłych Dodatek A Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. zostaje zachowana podczas transformacji Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Odtwarzalność stanu Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważne Odtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie Ot. SC LS 1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście skończonego przedziału, dla chwil ze Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OSD LS 1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych Dodatek B Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważne Odtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie Ot. SD LS 1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz oodtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalne Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Wartości własne systemu oryginalnego Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Przykład 3. Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji Przyjmijmy zerowe warunki początkowe i skokowe wejście poza tym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Odpowiedź wyjścia stabilizuje się Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało „ukryte” na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Takie samo jak dla zerowych w. p. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech i będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Odpowiedź wyjścia systemu dla nowych warunków początkowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Równania stanu Zbadajmy sterowalność systemu n=2 System jest niesterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Zatem rank Mo = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank Mc = 2 – system jest sterowalny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w. p. ) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Odpowiedź wyjścia (zerowe w. p. ) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Odpowiedź wyjścia (zerowe w. p. ) Odpowiedź stanu (zerowe w. p. ) System jest nieminimalnofazowy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSC LS 2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSC LS 3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSC LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Dodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSD LS 2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz CD Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSD LS 3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Systemy dynamiczne 2015/2016 Obserwowalność i odtwarzalność Twierdzenie OSD LS 4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CD nie ma kolumn zerowych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53