Symtrie le dbut On peut dire quun objet

Symétrie – le début On peut dire qu’un objet géométrique possède une propriété de symétrie, ou tout simplement une symétrie, si, en lui appliquant une transformation, l’objet ne peut pas être distingué de celui de départ. benzène 2 -chlorophénol En science physique, comme en chimie, la notion de symétrie est reliée à celle de transformations laissant invariant l’objet considéré. 2

Nous entendons par invariant qu’une personne qui aurait attentivement regardé cet objet avant de se cacher la vue, ne saurait dire s’il a effectivement subi une transformation en le regardant à nouveau. Pour analyser si un objet est symétrique, il va donc falloir lui faire subir différentes opérations (opérations géométriques pour des objets dans l’espace, mathématiques pour des courbes ou des équations. . . ). On dit alors que l’objet est invariant sous certaines opérations s’il n’est pas modifié par ces transformations. O H 1 C 2 rotation de 180° H 2 O H 1 3

Une opération de symétrie est caractérisée par un ou plusieurs élément(s) de symétrie : identité axe de rotation propre plan de symétrie axe de rotation impropre centre d’inversion Il faut se donner un repère fixe (choisi le plus judicieusement possible) pour pouvoir appliquer ces différentes opérations. Une opération de symétrie est donc entièrement caractérisée par l’élément de symétrie que l’on considère et l’action qu’on lui associe. 4

C 2 C 2 Plus une molécule est symétrique, plus elle possède d’éléments de symétrie qui la laisse invariante lorsque l’on applique des opérations de symétrie 5

Élément de symétrie : axe de rotation : Cn O rotation de 180° O La molécule d’eau : H 1 C 2 H 2 H 1 Un axe de rotation (axe de symétrie) est une droite traversant la molécule, telle qu’une rotation de 2 p/n produit une molécule qu’il est impossible de distinguer de celle du départ (H 1 H 2). ATTENTION: la molécule après rotation n’est pas identique à celle avant rotation, mais on ne peut pas les distinguer l’une de l’autre. L’axe de symétrie d’ordre « n » est symbolisé par Cn. Dans notre cas: 2 p/n = p n = 2 L’axe de rotation est un axe de deuxième ordre : C 2. 6

La rotation est toujours dans le sens des aiguilles d'une montre (horaire ou clockwise). L’application successive de deux opérations C 2 sur la même molécule d’eau résulte dans la molécule d’origine (identique): C 1 ( 2 p/1 = 2 p). O O rotation de 180° H 1 C 2 H 2 O rotation de 180° H 2 C 2 H 1 H 2 La rotation de 2 p est équivalent à l’élément identité : E. 7

L’opération d’une rotation de p autour d’un axe C 2 est symbolisée par C 21. L’opération correspondant à l’application de deux opérations C 21 peut être symbolisée par C 22 est équivalent à E. Cnn est équivalent à E (n: nombre entier, positif). Exemple : l’ammoniac NH 3 C 3 L’ammoniac possède seulement un axe de symétrie propre 8

C 3 C 31 C 32 E C 33 9

Exemple : benzène C 6 H 6 Si une molécule a plusieurs axes de symétrie, on appelle l’axe d’ordre le plus élevé l’axe principal. C 6 H 6: L’axe principal du benzène est l’axe C 6. Il contient par définition un axe C 3 et un axe C 2 qui sont coaxiaux à l’axe C 6 C 3 C 2 En général: Un axe d’ordre pair (> 2) contient des axes d’ordre pair moins élevé. Un axe C 8 doit contenir des axes C 4 et C 2. De plus dans le benzène, il existe 6 axes C 2 perpendiculaires ( ) à l’axe principal. C 2’’ 10

Exemple d’axe propre C 4 11

Exemple d’axe propre (suite) C 2 12

Exemple d’axe propre (suite) C 6 13

Élément de symétrie : plan de réflexion : ’ 14

C 2 Plan de réflexion : s Ces deux plans de réflexion contiennent l’axe principal (vertical) de la molécule, nous parlerons donc de sv. v ’ v 15

NH 3 possède 3 plans de réflexion v, v’’: - ils passent tous par le N - ils contiennent tous un H - ils ont un angle de 120° (2 p/3) entre eux. 16

Autres types de plan de réflexion: Molécule plane [Au. Br 4]– C 4 - axe principal: C 4 (360°/n=90°, n=4) - axes C 2 à l’axe principal C 2 Combien de plans de réflexion dispose cette molécule ? C 2 17

Quatre plans contenant l’axe principal, donc quatre plans verticaux : v - deux qui contiennent chacun deux liaisons Au-Br ( v v’) d - et deux autre ne contenant aucune liaison Au-Br ( d d’) (d: angle dièdre “dihedral”) v – contient une liaison Au-Br, d – bissecteur des angles Br-Au-Br 18

Il existe un autre plan de réflexion (à part de v et d) : h Ce plan est à l’axe principal et la molécule se trouve complètement dans le plan. L’opération de symétrie laisse tous les atomes invariés. Plan de réflexion sh (h : horizontal) 19

Réflexion selon un plan (suite) d 20

Exemple: CF 2 H 2 C 2 V’ : Dans le plan F-C-F v v’ V: Dans le plan H-C-H 21

Exemple: C 6 H 6 C 6, … h d C 2 C 2 v 22

Élément de symétrie : centre d’inversion : i Un autre élément de symétrie d’une molécule est le centre d’inversion i. Une molécule donnée peut seulement posséder un seul centre d’inversion (ou aucun). Comment trouver un centre d’inversion ? par examen i centre d’inversion i inversion 23

Le Pd ne change pas de position, mais tous les Cl s’interchangent avec leurs atomes opposés. Si la molécule est équivalente après l’opération de symétrie, oui le Pd. Cl 4 possède un centre d’inversion comme élément de symétrie. Une deuxième manière de trouver un centre d’inversion: - description mathématique Si le centre d’inversion est placé à l’origine d’un repère cartésien (x, y, z) et que les positions des atomes de la molécule sont données par les coordonnées (xi, yi, zi), le centre d’inversion est un élément de symétrie pour une molécule si en remplaçant tous les coordonnées des atomes (xi, yi, zi) par (-xi, -yi, -zi) résulte dans une molécule équivalente (qui se voit invariante). 24

z y x i centre d’inversion i inversion (xc, yc, zc) (x-a, y-a, z-a) = (xc, yc, zc) 25

Exemple d’inversion (suite) i i 26

Exemple d’inversion (suite) i i 27

Exemple d’inversion (suite) i i 28

Éléments de symétrie: axes de rotation-réflexion (rotation impropre) : S C 4 on peut distinguer les molécules ! On peut symboliser le CF 4 par une croix comme celle-ci 2 1 1 3 4 C 4 4 2 3 29

Si nous appliquons maintenant une réflexion dans un plan à l’axe de rotation (plan de l’écran) nous obtenons une molécule semblable: 2 1 1 3 C 4 4 4 1 2 3 4 2 3 La combinaison rotation – réflexion dans un plan perpendiculaire est un élément de symétrie nommé “axe de rotation impropre”, notation Sn. Dans notre cas il s’agit de S 4 où n = 4. 30

Application successive de S 4: 2 1 3 S 4 4 4 1 4 2 3 S 4 3 3 1 S 4 2 2 S 4 2 4 S 4 1 1 2 3 4 S 4 3 S 4 4 • Les seules opérations de symétrie uniques à partir d’un axe S 4 sont S 41 et S 43. S 44 = C 22 = E • Un axe S 4 doit posséder un axe C 2 coaxial (lui-même élément de symétrie de la molécule). • En général: pour chaque axe Sn d’ordre pair il existe un axe coaxial Cn/2. S 42 = C 21 Axe S 6: opérations successives S 62 = C 31 S 63 = i S 64 = C 32 S 66 = E seulement S 61 et S 65 sont uniques. S 2 est unique: une rotation C 2 suivi d’une réflexion est aussi une inversion. En chimie on considère le cas du S 2 comme une inversion : i . 31

Sn avec n= impair (3, 5, …) est plus problématique: S 33 par exemple n’est pas équivalent à E: S 33 correspond à une opération . L’application d’une rotation impropre d’un nombre impair signifie un nombre impair de réflexions: le résultat de S 33 correspond à une réflexion dans un plan à l’axe de la rotation impropre. Par contre, l’opération S 36 correspond à E. S 32 = C 32 S 33 = S 34 = C 3 S 36 = E PF 5 seulement S 31 et S 35 sont uniques. Plusieurs opérations de rotation impropre impaire peuvent être décrites par d’autres opération de symétrie S 3 Sn 2 n = E S 3 32

Exemple d’un axe impropre S 2 Décomposition du mouvement page suivante 33

Exemple d’un axe impropre (suite) C 2 S 2 perpendiculaire à l’axe C 2 34

Exemple d’un axe impropre (suite) i Si 2 perpendiculaire à l’axe C 2 35

Exemple d’un axe impropre (suite) Vue du coté Vue du haut 36

Exemple d’un axe impropre (suite) C 4 S 4 perpendiculaire à l’axe C 4 37

Exemple d’un axe impropre (suite) 38

Exemple d’un axe impropre (suite) En résumé : S 4 39

Exemple d’un axe impropre (suite) 2 1 3 4 40

Exemple d’un axe impropre (suite) S 4 C 4 2 1 1 3 C 4 4 4 1 2 3 4 2 3 S 4 perpendiculaire à l’axe C 4 41

Exemple d’un axe impropre (suite) Dans un octaèdre comme le SF 6, on observe un axe impropre du type S 6. Bien qu’il soit difficilement observable, on peut représenter la molécule par une étoile à 6 pointes. On considère que le blanc est en avant-plan et que le gris en arrière-plan 1 3 4 6 5 2 42

Exemple d’un axe impropre (suite) 1 3 3 3 4 C 6 6 5 1 6 2 2 4 5 S 6 perpendiculaire à l’axe C 4 43

Exemple d’un axe impropre (suite) C 6 S 6 44

Exemple d’un axe impropre (suite) Vue du haut Vue de coté 45

Exemple d’un axe impropre (suite) 1 6 7 5 2 10 8 4 3 9 46

Exemple d’un axe impropre (suite) 1 6 7 6 6 1 5 2 5 C 10 8 10 4 7 10 2 4 7 10 2 4 3 9 9 3 8 S 10 perpendiculaire à l’axe C 4 47

Exemple d’un axe impropre (suite) C 10 S 10 48

Bibliographie P. H. Walton: “CHIMIE ET THÉORIE DES GROUPES” De. Boeck Université, 2001 F. A. Cotton: “APPLICATION DE LA THÉORIE DES GROUPES À LA CHIMIE” Dunod Université, 1968 J. Hladik : “LA THÉORIE DES GROUPES EN PHYSIQUE ET CHIMIE QUANTIQUE ” Masson , 1995 49