Symtrie Dfinition I On dit dun objet ou
Symétrie Définition I: On dit d‘un objet ou d‘une figure qu‘elle présente de la symétrie si certains mouvements ou opérations sur cette figure la laisse dans une position qu‘on ne peut pas distinguer de sa position originale. Définition II: On parle aussi de symétrie dans le cadre d‘arrangements périodiques d‘objets semblables. Définition III: La symétrie est l‘invariance d‘un objet relative à certaines opérations. Elément de symétrie Définition: L‘élément de symétrie regroupe tous les points d‘un objet qui ne sont pas déplacés par les opérations de symétrie.
Symétrie dans la vie de tous les jours Cristal de tourmaline taillé Miss Money Penny’s boyfriend’s car Mur de briques, Oxford St. Berkeley Tapis compartimenté, Anatolie centrale 18ème siècle ou plus vieux http: //www. ma. huji. ac. il
Symétrie dans la nature Passiflore Cristaux de rhodochrosite (collection de Smithsonian Institution) http: //www. nmnh. si. edu/minsci/images/gallery/49. htm Scarabée d’eau http: //phuket-photoguide. com/
Symétrie et architecture I Plan pour le nouveau St. Pierre de Bramante: Donato di Angelo 1444 - 1514 http: //rubens. anu. edu. au/htdocs/surveys/charlotte/000575. JPG
Symétrie et architecture II Bramante (Donato d’Angelo) était le plus grand architecte de la Haute Renaissance. Le début de sa carrière, mal documenté, était principalement dédié à la peinture. Il a sûrement été formé à Urbino, et son travail est documenté pour la première fois en 1477, sur les décorations de fresques au Palazzo del Podesta à Bergamo. Vers 1840 il vivait à Milan. Même si à l’époque il a produit une certaine quantité de travaux architecturaux (S. Maria presso S. Satiro, S. Maria delle Grazie, cloîtres de S. Ambrogio), c’est principalement ses peintures qui ont influencé l’école Lombarde, notamment son utilisation du trompe-l’oeil et la monumentalité rigoureuse des figures dans des contextes spatiaux solennels. La Galerie Brera abrite la fresque déplacée “Hommes d’Armes” et le panneau en bois “Christ à la Colonne”. C’est le seul panneau qui peut définitivement être attribué à Bramante. Le Château Sforza contient sa fresque symbolique Argus, qu’il a peinte avec Bramantino. Bramante a quitté Milan après la chute de Ludovico Sforza (il Moro) et a vécu à Rome en 1499. C’est là qu’il a entamé son extraordinaire réinterprétation de l’antiquité (le petit temple à côté de S. Pietro à Montorio a fait une forte impression sur les artistes de son temps, notamment Rapahel). En quelques années il est devenu l’architecte le plus important de la cours papale. Il a entrepris, pour le pape Julius II, le remaniement complet des palais du Vatican autour de la cour du Belvédère. A partir de 1506 il a fait un important travail de reconstruction sur St. Pierre, qui a plus tard été repris par Michelangelo.
Symétrie et architecture III Buckminster Fuller a proposé le dôme géodésique comme principe architectural http: //www. thirteen. org/bucky/dome. html Le téléscope Hobby-Eberly de l’observatoire Mc. Donald: Installation d’un dôme géodésique sur le sommet http: //hyperion. as. utexas. edu/mcdonald/het/ R Buckminster Fuller est né en 1895 à Milton (MA, USA). Il était ingénieur, mathématicien et architecte. 2 expulsions de l’université de Harvard, des échecs désastreux en affaires et la mort de sa soeur de 4 ans le conduirent au bord du suicide. Mais il a plutôt décidé de se dévouer à prouver que la technologie pourrait sauver le monde de lui-même, si correctement utilisée. Il a examiné un système vectoriel de géométrie, la géométrie Energétique-Synergétique, basée sur le tétraèdre, qui fournit une force maximum avec une structure minimum. Ce qui a débouché sur sa patente d’un dôme géodésique en 1947, un bâtiment dont la force nécessaire n’augmente que par rapport à la taille. Environ 200’ 000 de ces dômes ont été construits. Il est mort en 1983.
Symétrie et art graphique I Dessiner Symétrie E 70: les Papillons M. C. Escher était un artiste graphique hollandais, surtout reconnu pour ses illusions spatiales, constructions impossibles, structures géométriques répétées (tessellations), et ses incroyables techniques de gravure sur bois et lithographie. M. C. Escher est né en juin 1898 et est mort en mars 1972. Son travail continue à fasciner tant les jeunes que les vieux dans une large variété de domaines. M. C. Escher était un homme étudié et très apprécié par de respectables mathématiciens, scientifiques et cristallographes, même s’il n’avait aucune formation officielle en math ou science. C’était un homme humble, qui ne se considérait ni comme un artiste, ni comme un mathématicien. Les structures entrecroisées répétées, les structures mathématiques complexes, les perspectives spatiales, tout ça nécessite un “second regard” http: //www. World. Of. Escher. com; http: //www. education. wisc. edu/edpsych/facstaff/dws/ew/
Symétrie et art graphique II Destruction de la symétrie à des fins artistiques: La Femme au Chapeau, Pablo Picasso
Symétrie et musique Partition de Mozart “Musique pour Deux” – un exemple de symétrie surprenant!
Symétrie et musique Quelques sites sur Mozart: http: //www. stringsinthemountains. org/m 2 m/1 once. htm http: //www. mhric. org/mozart/
Symétrie et musique
Symétrie et lois de la physique La plupart des lois de la physique suivent 3 principes de symétrie. 1. Les lois de la nature sont exactement pareilles pour l’antimatière et la matière ordinaire. 2. Les lois fondamentales présentent une symétrie de miroir exacte. 3. Les lois fondamentales ont une symétrie de réflection dans le temps. Exemple de symétrie en miroir: La force centrifuge agit sur une masse m en rotation avec une vélocité angulaire w sur une orbite circulaire de rayon R, et est indépendante de la direction de rotation. R m
Importance de la symétrie Les propriétés physiques d’un minéral sont déterminés par sa structure cristalline et ses liaisons. Les propriétés physiques et le comportement d’un minéral doivent se conformer à la symétrie de sa structure cristalline (principe de Neumann) La symétrie est un aspect important pour la classification des minéraux. 1 nm Image microscopique de force atomique d’une surface (100) de Na. Cl. Les points clairs sont les atomes de sodium, alors que les atomes de chlore sont sombres (Bammerlin et al. , 2005). Les propriétés physiques, comme la conduction électriques et thermiques ou la résistance mécanique dans les directions indiquées par les flèches sont identique, car l’arrangement atomique est identique dans ces deux directions. Le long de la flèche rouge, par contre, les propriétés, par contre, sont différentes, car la structure est perturbée. La plage noire est causée par le manque d’un atome de sodium = une lacune.
Axes de rotation I Elément de symétrie: axe de rotation Caractérisé par: position et orientation de l‘axe, angle de rotation. Les rotations sont congruentes, c. à. d. ne changent pas la chiralité. Désignation: n où n est défini par angle de rotation = 360°/n Types d‘opérations de rotation: tous les angles de rotation sont possibles pour des objets macroscopiques. Cependant, l‘ordre interne dans les cristaux limite les opérations possibles pour un cristal aux angles suivants: Angle de rotation Désignation Symbole graphique Symbole écrit 360° identité 180° axe binaire, digyre 2 120° axe ternaire, trigyre 3 90° axe quaternaire, tetragyre 4 60° axe sénaire, hexagyre 6 aucun 1
Axes de rotation II Exemple d‘un axe binaire (2 -D): Élément de symétrie Molécule d‘eau 180° Opération de symétrie http: //www-sphys. unil. ch/symmetry. html
Axes de rotation III Cristal de tourmaline taillé (rubellite) Présence d’un axe sénaire perpendiculaire à la face au sommet du cristal. Cristal de tourmaline naturel (Smithsonian Institution). Présence d’un axe ternaire parallèle à l’axe long du cristal.
Miroirs I Opération de miroir: Elément de symétrie: plan miroir Caractérisé par: la position et l‘orientation du plan miroir. L‘opération de miroir est incongruente, c. à. d. produit des paires énantiomorphes à chiralité opposée. Désignation: m Symbole: Exemple d‘opération de miroir Molécule d‘eau oxygène hydrogène Plan de miroir Opération de miroir http: //www. adrianbruce. com/Symmetry/2. htm
Miroirs II Opération de miroir: Exemple sur un cristal de wulfenite Cristaux de wulfenite (Pb. SO. Les feuillets quadratiques ont 3 plans de miroir perpendiculaires les uns aux autres, dont l‘un est montré. (Smithsonian collection)
Miroirs III Opération de miroir: Le Taj Mahal a été terminé en 1630 par le dirigeant indien Shahs Jahan, en tant que tombe pour son épouse favorite Mumtaz Mahal, morte en donnant naissance à leur quatorzième enfant. La construction de cette tombe a nécessité la contribution de 20’ 000 travailleurs et a duré 20 ans (Encarta 97), et la rumeur dit que 40’ 000 éléphants ont été utilisés pour transporter les matériaux. Cette photographie montre de plans de symétrie. L’un vertical réel, l’autre virtuel le long de la ligne d’eau. http: //www. adrianbruce. com/
Inversions Elément de symétrie: centre d‘inversion Caractérisé par: la position du centre. L‘opération d‘inversion est incongruente, e. c. à. d produit des paires d‘énantiomorphes à chiralité opposée. Désignation: Opération d‘inversion 1 trans- C 2 H 2 Cl 2 Br 2 Symbole: Br H Cl Centre d‘inversion Cristal d‘amazonite. La face frontale, mais aussi le cristal entie ont une symétrie d‘inversion (Smithsonian Collection)
Rotoinversions Rotoinversion = rotation + inversion Molécule de méthane carbone hydrogène 90° rotation La molécule de [Si. O 4], l‘unité de base dans les silicates, a le même arrangement atomique le méthane et, en conséquent, la même symétrie. Axes de roto-inversion Elément de symétrie notation Axe de roto-inversion ternaire 3 Axe de roto-inversion quaternaire 4 Axe de roto-inversion sénaire 6 symbole roto-inversion sur un atome d‘hydrogène de la molécule de méthane, qui a un axe de roto-inversion quaternaire.
Combinaison d‘opérations de symétrie Combinaisons de rotations Important: Une opération de symétrie n‘est pas appliquée que sur l‘objet, mais aussi sur tous les autres éléments de symétrie présents. Axe digyre Axe tetragyre Le deuxième axe binaire créé par l‘action de l‘axe quaternaire sur le premier axe binaire. Les 2 axes binaires sont reliés par la symétrie. Les 2 appartiennent à un set. axe tetragyre plan de la feuille Les axes binaires verts sont aussi reliés entre eux par l‘axe quaternaire mais pas au premier set. Ils forment un deuxième set d‘axes binaires symétriquement indépendants. L‘intersection de 2 axes de symétrie va toujours produire un troisième axe de symétrie qui croise au même endroit.
Groupes ponctuels I Au total, il y a 32 combinaisons possibles des 10 éléments de symétrie, qui sont compatibles avec la symétrie macroscopique des cristaux. On les appelle groupes ponctuels ou classes cristallines point Tous les éléments de symétrie d‘un groupe ponctuel se croisent en un seul point groupe Les combinaisons de symétrie forment un groupe abélien: - opération invariante: identité = opération de symétrie. - opération inverse = opérations de symétrie Exemple: rotation par +90° et -90° sont les 2 des opérations de symétrie pour un objet avec une symétrie tetragyre. - les opérations de symétrie (SO) sont associatives (SO 1, SO 2) SO 3 = SO 1 (SO 2, SO 3) - les opérations de symétrie sont commutatives
Systèmes cristallins Les 32 groupes ponctuels (= classes cristallines) sont subdivisés en 6 (7) systèmes cristallins. Les critères de classification sont basés sur l‘axe de rotation le plus élevé, à part pour le système cubique, qui est caractérisé par 4 axes trigyres. . Les classes avec la plus haute symétrie dans chaque système sont appelées holohédrales, et toutes les autres hémihédrales. Table 5. 3 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Symboles Hermann-Maugin Les classes de cristaux sont données par leurs symboles Hermann-Maugin. Règles pour lire les symboles Hermann-Maugin: - 1. symbole: axe de rotation avec l‘ordre n le plus élevé (une trigyre (n=3) passe avant une digyre (n=2)) - 2. symbole: premier set d‘axes binaires perpendiculaire ou miroirs parallèles à l‘axe de symétrie principal. - 3. symbole: deuxième set de axes binaires perpendiculaires ou miroirs parallèles à l‘axe de symétrie principal. - Les miroirs perpendiculaires à un axe n se notent n/m - Système cubique: 1. symbole: axe de rotation le plus élevé en plus des 3 trigyres 2. symbole: toujours le trigyre 3. symbole: les axes et miroirs restant Exemple 4/m 2/m Projection des éléments de symétrie le long de l‘axe quaternaire 1. symbol: 4/m 2. symbol: 2/m 3. symbol: 2/m
Groupes ponctuels II Eléments de symétrie présents dans les groupes ponctuels, de triclinique à hexagonal After Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. © MSA
Groupes ponctuels III Eléments de symétrie présents dans les 4 groupes ponctuels cubiques.
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