Suurin yhteinen tekij Lukujen a ja b yhteinen

Suurin yhteinen tekijä Lukujen a ja b yhteinen tekijä on luku, joka on sekä a: n että b: n tekijä. Yhteisistä tekijöistä suurin on suurin yhteinen tekijä ja sitä merkitään syt tai syt(a, b).

Esim. Määritä lukujen 834 ja 282 suurin yhteinen tekijä. Ratkaisu Tapa 1. Jaetaan molemmat luvut alkutekijöihin ja lasketaan yhteisten alkutekijöiden tulo. 834=2 • 3 • 139 282=2 • 3 • 47 Yhteiset tekijät ovat 2 ja 3. Niiden tulo on suurin yhteinen tekijä syt(834, 282)=6.

Esim. Määritä lukujen 834 ja 282 suurin yhteinen tekijä. Tapa 2. Eukleideen algoritmilla Jaetaan isompi luku pienemmällä 834=282 • 2+270 282=270 • 1+12 270=12 • 22+6 12=6 • 2 Suurin yhteinen tekijä on syt(834, 282)=6.

Esim. 2. Määritä syt(7581, 2625). Eukleideen algoritmilla 7581=2625 • 2+2331 2625=2331 • 1+294 2331=294 • 7+273 294=273 • 1+21 273=21 • 13 syt(7581, 2625)=21

Esim. 3. Esitä syt(834, 282) muodossa 834 x+282 y. Eukleideen algoritmilla 834=282 • 2+270 282=270 • 1+12 270=12 • 22+6 12=6 • 2 Ratkaistaan jakojäännökset 6=270 -12 • 22 12=282 -270 • 1 270=834 -282 • 2 Yhdistämällä 6=270 -12 • 22 =270 -(282 -270 • 1) • 22 =270 • 23 -282 • 22 =(834 -282 • 2) • 23 -282 • 22 =834 • 23 -282 • 68 Tulos 6= 834 • 23 -282 • 68

Pienin yhteinen jaettava Lukujen a ja b yhteinen jaettava on luku, joka on jaollinen sekä a: lla että b: llä. Yhteisistä jaettavista pienin on pienin yhteinen jaettava ja sitä merkitään pyj tai pyj(a, b). Käytetään myös nimitystä pienin yhteinen monikerta (pym).

Esim. 4. Määritä lukujen 120 ja 175 pienin yhteinen jaettava. Ratkaisu Tapa 1. Jaetaan luvut alkutekijöihin ja lasketaan kaikkien alkutekijöiden tulo. 120=23 • 5 175=52 • 7 Alkutekijöiden tulo 23 • 52 • 7=4200 Pienin yhteinen jaettava on pyj(120, 175)=4200.

Esim. 4. Määritä lukujen 120 ja 175 pienin yhteinen jaettava. Tapa 2. Käytetään Eukleideen algoritmia ja tietoa, että nollasta eroaville luvuille on voimassa ab=syt(a, b) • pyj(a, b) 175=1 • 120+55 120=2 • 55+10 55=5 • 10+5 10=5 • 2 syt(120, 175)=5 pyj(120, 175)=120 • 175: 5=4200