Suntem Universul care se observ pe el nsui

Suntem Universul care se observă pe el însuşi şi se străduieşte să se cunoască şi să se înţeleagă pe el însuşi. A admira Universul este ca şi cum am privi într-o oglindă şi ne-am uita la propria reflexie. Este Universul minunat? Ce este frumuseţea?

Frumuseţea este exterioară simetrii geometrice (spaţio-temporală) interioară simetrii interne (ale câmpurilor, interacţiunilor) simetrii geometrice: ale n-gonului Cn, Dn, ale poliedrelor regulate ale ecuaţiilor de grad n Utilitatea grupului de simetrie: ecuaţiile de grad n≥ 5 nu sunt solvabile prin radicali (teoria Galois) există o legătură strânsă între grupurile geometrice şi grupurile ecuaţiilor de grad n (Klein) Évariste Galois (1811– 1832) Felix Klein (1849 -1925)

Grupul Galois grupul simetriilor soluţiilor Grupul Klein grupul simetriilor dreptunghiului Reflexiile a, b Rotaţia c cu 180 grade c=ab 24 de permutări ale celor 4 soluţii A, B, C, D Nu toate respectă simetria deoarece avem constrângeri: Numai permutările care respectă relaţiile: Acestea sunt patru şi formează grupul Galois: 1: (A, B, C, D) → (A, B, C, D) a: (A, B, C, D) → (B, A, D, C) b: (A, B, C, D) → (C, D, A, B) ab: (A, B, C, D) → (D, C, B, A) Elementele grupului Galois al ec. precedente verifică aceleaşi relaţii este izomorf (are aceeaşi structură) cu grupul Klein al simetriilor drepunghiului

Teoria grupurilor din sec. XIX –simetria geometrică a cristalelor - Cristalografia Istoric: Frankenheim, Hessel -1830 -32 grupuri punctuale în 3 dimensiuni, A. Bravais - 1850 -14 clase de reţele în 3 dimensiuni C. Jordan - rolul grupurilor în cristalografie Schonflies, Fedorov, Barlow (1891– 94) -230 grupuri spaţiale în 3 dimensiuni A. Bravais (1811 -1863)

Geometria 1 D - 2 Grupuri punctuale Alfabetul Morse 2 Grupuri punctuale 1 D: C∞, D∞ C∞ repetarea periodică a oricărei litere AAAA . _. _. _ D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie ANAN . _ _. . _ BVBV, DUDU, FLFL, GWGW, QYQY,

Geometria 1 D 7 grupuri spaţiale 1 D bbbbb HOP bdbdb SIDLE bpbpb STEP bbbbb JUMP ppppp bqbqb SPINNING HOP bqpdb SPINNING SIDLE bdbdb SPINNING pqpqp JUMP

Geometria 2 D 5 reţele Bravais

Geometria 2 D 5 reţele Bravais 10 grupuri punctuale C 1, C 2, C 3, C 4, C 6, D 1, D 2, D 3, D 4, D 6 17 tipuri de grupuri spaţiale conţin translaţii pe două direcţii Rotaţiile sunt de ordinul 1, 2, 3, 4, 6 Reţea oblică – 2 grupuri spaţiale Reţea dreptunghiulară – 7 grupuri spaţiale Reţea pătrată – 3 grupuri spaţiale Reţea hexagonală – 5 grupuri spaţiale C 2 D 2 C 3 D 3 C 4 D 4 Oblică dreptunghiulară rombică C 6 D 6 Hexagonală pătratică

Geometria 2 D

P Triclinică P Monoclinică simplă C Monoclinică cu baza centrată MBC P Ortorombică simplă C Ortorombică cu baza centrată OBC I Ortorombică cu volum centrat OVC F Ortorombică cu feţe centrate OFC P Tetragonală simplă Geometria 3 D -14 reţele Bravais I Tetragonală cu volum Avem 7 reţele “goale” – singonii Simetria creşte de sus în jos centrat La acestea se adaugă puncte suplimentare P Romboedrală P –reţea primitivă cu puncte P Hexagonală numai în vârfuri I-centrată în volum P Cubică simplă F-centrată pe feţe I Cubică cu volum C – centrată pe două feţe opuse centrat CVC F Cubică cu feţe centrate CFC

Geometria 3 D Cs=C 1 h Avem 32 grupuri de simetrie punctuale +27 legate de n-goane planare (35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 ) +5 legate de poliedrele regulate T, Td, Th, O, Oh Ci=S 2

Începutul sec. XX. Teoria relativităţii restrânse, grupul Lorentz Apariţia teoriei grupurilor Lie în fizică H. A. Lorentz (1892 -1904) transformări Lorentz Poincare (1905) -stabileşte covarianţa ecuaţiilor Maxwell la transformările Lorentz - observă că transf. Lorentz formează un grup şi lasă invariantă forma Einstein (1905) - Construieşte teoria relativităţii restrânse bazată pe 2 principii (i) principiul relativităţii: legile fizice nu depinde de SRI (ii) în orice SRI viteza luminii c este constantă -construieşte transf. Lorentz şi arată că formează un grup -arată că ec. Maxwell sunt invariante la grupul Lorentz Minkowski (1908) introduce “spaţiul-timp” -identifică grupul Lorentz ca fiind grupul de simetrie care lasă metrica neschimbată -utilizează 4 -vectorii şi tensorii şi scrie într-un mod covariant ecuaţiile Maxwell

Grupuri discrete şi grupuri continue Toate rotaţiile 2 D formează grupul continuu SO(2) Dacă theta=180/n, n=2, 3, 4, 6 Obţinem subgrupurile discrete C 2, C 3, C 4, C 6 Toate rotaţiile 3 D formează grupul SO(3) orice rotaţie 3 D se poate scrie ca un produs de rotaţii elementare Subgrupurile discrete ale lui SO(3) sunt grupurile poliedrelor regulate Grupul SO(n) Matrici ortogonale cu determinant=1 Cubul lui Rubik (Bűvös kocka – cubul magic)

Cubul lui Rubik 2 x 2 x 2 are un grup discret de ordin 3. 674. 160: R=(13, 14, 16, 15)(10, 2, 19, 22)(12, 4, 17, 24) L=(5, 6, 8, 7)(3, 11, 23, 18)(1, 9, 21, 20) U=(1, 2, 4, 3)(9, 5, 17, 13)(10, 6, 18, 14) D=(21, 22, 24, 23)(11, 15, 19, 7)(12, 16, 20, 8) F=(9, 10, 12, 11)(3, 13, 22, 8)(4, 15, 21, 6) B=(17, 18, 20, 19)(1, 7, 24, 14)(2, 5, 23, 16) Aceşti generatori R, U, F sunt rotaţiile 3 D: Rx(90), Ry(90), Rz(90) a=R, b=U, c=F < a, b, c | a^4 = b^4 = c^4 = 1, ababa = babab, bcbcb = cbcbc, abcba = bcbac, bcacb = cacba, cabac = abacb, (ac)^2 (ab)^3 (cb)^2 = 1 >

Presupunem că avem numai 2 feţe colorate Simetria acestui cub este dată de grupul permutărilor a 8 vârfuri S 8. Presupunem că avem feţele opuse colorate la fel Simetria acestui cub este dată de grupul S 4 x. S 4 Cubul este colorat cu 2 feţe colorate la fel şi restul ca la şah. Următoarele operaţii sunt ca şi cvaternionii i, j, k care formează grupul cvaternionilor Q 8. i j k

Quark şi grupul Rubik Quark-urile sunt confinate în mezoni (formaţi din quark-antiquark) şi barioni (3 quark-uri) şi nu există sub formă liberă. Sunt o reprezentare a grupului SU(3). O rotaţie de 120 grade în jurul unei diagonale a cubului Rubik –quark O rotaţie de -120 grade în jurul unei diagonale a cubului Rubik –antiquark Fără a dezansambla cubul Rubik nu putem produce din starea iniţială doar prin rotaţii obişnuite un quark sau un antiquark. Este posibil să producem o pereche quark-antiquark (mezon) adică să rotim un vârf cu 120 şi oricare alt vârf cu -120 grade Este posibil să producem o pereche de 3 quark-uri (barion), adică să rotim 3 vârfuri cu 120 grade. Regula este că avem o constrângere asupra stărilor ce le putem produce şi anume că suma rotaţiilor tuturor vârfurilor trebuie să fie 360 n şi aceeaşi regulă se impune combinaţiilor de quark-uri (avem numai qa, qqqqq) Putem introduce quark-uri colorate cu trei culori roşu R, albastru B, verde V şi antiquark-urile cu trei anticulori antiroşu (galben), antialbastru (portocaliu), antiverde (alb). Sistemele de cuarci au întotdeauna o culoare neutră (sunt fără culoare): mezonii quark-antiquark (culoare-anticuloare), barionii 3 quark-uri (3 culori RVB). Analog rotaţiile cubului Rubik nu vor modifica culoarea netă neutră a vârfurilor.

Q-quark Q*-antiquark

Aplicaţii în fizica moleculară şi chimie: Clasificarea structurii moleculelor se face după grupurile punctuale de simetrie

Grupurile Cn – rotaţii cu 360/n grade Cnv adăugăm reflexii faţă de planul vertical x -x Cnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z Ci adăugăm inversii x, y, z -x, -y, -z C∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc de rază infinită (apare la moleculele liniare)

Grupurile Dn – rotaţii cu 360/n grade + reflexiile a n vârfuri într-un n-gon Dnd adăugăm reflexii faţă de planul diagonal Dnh adăugăm reflexii faţă de planul orizontal z -z D∞ este o rotaţie cu 360/∞ grade pe un cerc de rază infinită (apare la moleculele liniare) + reflexii

Grupurile de simetrie ale poliedrelor regulate: T Tetraedru O Octaedru sau cub I Icosaedru sau dodecaedru (se întâlneşte şi la viruşi)

Concluzie: Avem 5 tipuri de tranformări spaţiale de simetrie care lasă un punct fixat Acestea formează grupuri de simetrie punctuale

Cs=C 1 h Avem 32 grupuri de simetrie punctuale +27 legate de n-goane planare (35 -4 identice şi -4 interzise (gri) deoarece conţin rotaţii improprii de grad 8 şi 12 ) +5 legate de poliedrele regulate T, Td, Th, O, Oh Ci=S 2

Alfabetul Morse 2 Grupuri punctuale 1 D: C∞, D∞ C∞ repetarea periodică a oricărei litere AAAA . _. _. _ D∞ repetarea a două litere legate prin reflexie ANAN . _ _. . _ BVBV, DUDU, FLFL, GWGW, QYQY,

7 grupuri spaţiale 1 D bbbbb HOP bdbdb SIDLE bpbpb STEP bbbbb JUMP ppppp bqbqb SPINNING HOP bqpdb SPINNING SIDLE bdbdb SPINNING pqpqp JUMP

Proprietăţile fizice şi chimice macroscopice ale substanţelor sunt determinate de grupul de simetrie a moleculelor constituiente Interacţiunile intra şi inter-moleculare determină grupul de simetrie Analogie mecanică: Cinematică ----- Dinamică Observând mişcarea şi orbitele corpurilor (sau simetria oribelor) putem deduce tipul de forţe care acţionează asupra lor

Proprietăţi fizice: hidrocarburi-alcani Alcani Formula Punct de fierbere [°C] Punct de topire [°C] Densitate [g·cm− 3] ( 20 °C) Metan CH 4 -162 -182 Gaz Etan C 2 H 6 -89 -183 Gaz Propan C 3 H 8 -42 -188 Gaz Butan C 4 H 10 0 -138 Gaz Pentan C 5 H 12 36 -130 0. 626 (lichid) Hexan C 6 H 14 69 -95 0. 659 (lichid) Heptan C 7 H 16 98 -91 0. 684 (lichid) Octan C 8 H 18 126 -57 0. 703 (lichid) Nonan C 9 H 20 151 -54 0. 718 (lichid) Decan C 10 H 22 174 -30 0. 730 (lichid) Undecan C 11 H 24 196 -26 0. 740 (lichid) Dodecan C 12 H 26 216 -10 0. 749 (lichid) Hexadecan C 16 H 34 287 18 0. 773 Icosan C 20 H 42 343 37 solid Triacontan C 30 H 62 450 66 solid Tetracontan C 40 H 82 525 82 solid Pentacontan C 50 H 102 575 91 solid Hexacontan C 60 H 122 625 100 solid Starea de agregare se modifică cu creşterea masei moleculare: n între 1 -4 gaz n între 5 -12 lichid n între 13 -60 solid

Proprietăţi fizice: Alcani – punct de topire şi fierbere Creşterea masei moleculare Creşterea numărului de electroni per moleculă Creşterea suprafeţei moleculei Modificarea interacţiunilor intermoleculare (forţe van der Waals) schimbări structurale (grupul de simetrie se modifică)

Fuel Cifra Octanica metan 120 Etan 108 propan 112 n-butan 94 i-butan 102 n-pentan 62 n-hexan 25 n-heptan (CO =0 prin definitie ) 0 n-octan − 10 "isooctan" (CO = 100 prin definitie) 100 Iso-octan şi n-heptan Cifra octanica nu e un indice de performanta, ci este un indice al numarului legaturilor de carbon din molecula, care determina rezistenta la detonatie. Daca pui benzină de 95 într-un motor la care se recomanda benzină de 98, poate aparea fenomenul de predetonatie, adica amestecul combustibil din cilindru se aprinde inainte sa dea bujia scanteie, sistemul piston-arbore fiind supus unor forte foarte mari care pot in timp afecta buna lor functionare. Toate motoarele moderne au un senzor de detonatie, si daca are loc acest fenomen, se regleaza injectia si aprinderea astfel incat sa fie evitat acest fenomen distructiv. Benzina cu cifra octanica peste 95 se foloseste la motoare mai performante unde compresia este de peste 1: 10 de regula, pentru ca cea de 95 s-ar autodetona inainte de momentul optim, scazand astfel performanta si eficienta motorului, inclusiv crescand consumul.

Legături sigma Hibridizarea sp 3 a orbitalilor s şi p în gazul metan CH 4. Legătura covalentă C-H are un caracter de 25% s şi 75% p Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a orbitalului sp 3 este: N(s + √ 3 pσ) Avem 4 legături covalente C-H în CH 4 care formează 4 orbitali s în cei 4 atomi H şi 4 legături pσ de aceeaşi tărie şi lungime Grupul de simetrie este cel al tetraedrului Unghiul H-C-H este de 109. 5 grade Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul de simetrie

Legături pi Hibridizarea sp 2 a orbitalilor s şi p în etenă CH 2 -CH 2. Legătura covalentă C-H are un caracter de 33. 3% s şi 66. 7% p Mecanica cuantică afirmă că funcţia de undă a orbitalului sp 2 este: N(s + √ 3 pσ) În CH 2 -CH 2 avem 3 orbitali sp 2 de aceeaşi tărie şi lungime în jurul fiecărui atom C. Cei doi orbitali p rămaşi formează o legătură π. Grupul de simetrie în jurul unui carbon este cel al triunghiului Unghiul H-C-H este de 120 grade Concluzia importantă: tipul de interacţiune determină grupul de simetrie

benzen fulerena

Grafene

Septembrie 2013 primul calculator cu nanotuburi de carbon - 142 de tranzistori

Grupul de simetrie şi structura determină funcţionalitatea moleculei Exemplu - Boala Alzheimer Neuronii au un citoschelet construit cu microtubuli care sunt stabilizaţi de o tau proteină. Boala determină modificări chimice ale proteinei tau şi microtubulii se dezintegrează şi distrug neuronii.

Tau proteina se leagă în regiunea VQIINK prin patru atomi de fosfor (fosforilare) de 4 monomeri din microtubuli asigurând stabilitatea microtubulilor. În indivizi sănătoşi proteinele tau se resping Boala determină apariţia unor situri suplimentare cu fosfor (hiperfosforilare) proteinele tau îşi pierd funcţionalitatea biologică Tau proteinele se atrag şi formează clusteri

Împachetarea greşită a proteinei precursoare ameloide APP într-o regiune (galbennă) care este tăiată de enzime într-o proteină numită beta amiloidă (formată din 40 -42 aminoacizi), care apoi se adună în clusteri – plăcile senile.