Suku Banyak Dan Teorema Sisa Oleh Sujinal Arifin

Suku Banyak Dan Teorema Sisa Oleh Sujinal Arifin 1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan hasilbagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat 2

Pengertian Sukubanyak (P o l i n o m) Bentuk: anxn + an-1 xn-1 + …+ a 1 x + a 0 dinamakan sukubanyak dalam x yang berderajat n ak adalah koefisien xk, a 0 disebut suku tetap 3

Contoh Tentukan derajat dan koefisien: x 4 dan x 2 dari suku banyak x 5 - x 4 + x 3 – 7 x + 10 Jawab: derajat suku banyak = 5 koefisien x 4 = -1 koefisien x 2 = 0 4

Nilai Sukubanyak polinum anxn + an-1 xn-1 + …+ a 1 x + a 0 dapat dinyatakan dengan P(x). Nilai sukubanyak P(x) untuk x = a adalah P(a) 5

Contoh Tentukan nilai suku banyak 2 x 3 + x 2 - 7 x – 5 untuk x = -2 Jawab: Nilainya adalah P(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 - 7(-2) – 5 = -18 + 4 + 14 – 5 = -5 6

Pembagian Sukubanyak dan Teorema Sisa 7

Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan P(x) = (x – a)H(x) + S Keterangan: P(x) sukubanyak yang dibagi, (x – a) adalah pembagi, H(x) adalah hasil pembagian, dan S adalah sisa pembagian 8

Teorema Sisa Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi (x + a) sisanya P(-a) dibagi (ax – b) sisanya P(b/a) 9

Contoh 1: Tentukan sisanya jika 2 x 3 – x 2 + 7 x + 6 dibagi x + 1 atau dibagi x – (-1) Jawab: sisanya adalah P(-1) = 2. (-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6 =-2– 1– 7 +6 = -4 10

Contoh 2: Tentukan sisa dan hasil baginya jika x 3 + 4 x 2 - 5 x – 8 dibagi x - 2 Jawab: Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya, yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8 =6 11

tapi untuk menentukan hasilbaginya kita gunakan: Pembagian Horner: dengan menggunakan bagan seperti berikut: 12

x 3 + 4 x 2 - 5 x – 8 dibagi x - 2 1 4 2 6 -5 -8 12 14 + 7 6 koefisien Polinum Sisanya 6 Koefisien hsl bagi Jadi hasil baginya: x 2 + 6 x + 7 artinya dikali 2 13

Contoh 3: Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2 x 3 - 7 x 2 + 11 x + 5 dibagi 2 x - 1 14

2 x 3 - 7 x 2 + 11 x + 5 dibagi 2 x – 1 Dapat ditulis: 2 x 3 – 7 x 2 + 11 x + 5 =(2 x -1)H(x) + S Pembagi : 2 x - 1 Hasil bagi : H(x) Sisa : S Kita gunakan pembagian horner 16

2 x 3 - 7 x 2 + 11 x + 5 dibagi 2 x – 1 →x = ½ 2 -7 1 -6 11 5 -3 4 8 9 + koefisien Polinum Sisanya 9 Koefisien hasil bagi Sehingga dapat ditulis : artinya dikali ½ 17

2 x 3 - 7 x 2 + 11 x + 5 dibagi 2 x – 1 Dapat ditulis: 2 x 3 – 7 x 2 + 11 x + 5 =(x - ½)(2 x 2 – 6 x + 8) + 9 =(2 x – 1)(x 2 – 3 x + 4) + 9 Pembagi : 2 x - 1 Hasil bagi : x 2 – 3 x + 4 Sisa : 9 18

Contoh 4: Nilai m supaya 4 x 4 – 12 x 3 + mx 2 + 2 habis dibagi 2 x – 1 adalah…. Jawab: habis dibagi → S = 0 P(½) = 0 4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0 19

Pembagian Dengan (x –a)(x – b) Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) berarti: P(a) = S(a) dan P(b) = S(b) Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q 21

Contoh 1: Suku banyak (x 4 – 3 x 3 – 5 x 2 + x – 6) dibagi (x 2 – x – 2), sisanya sama dengan…. 22

Jawab: Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x 2 – x – 2)H(x) + S(x) Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1 misal: sisanya px + q 23

sehingga • bentuk pembagian ditulis: x 4 – 3 x 3 – 5 x 2 + x – 6 = (x 2 – x – 2)H(x) + px + q x 4 – 3 x 3 – 5 x 2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q • Dibagi (x + 1) bersisa P(-1) dibagi (x – 2) bersisa P(2) 24

p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8 q = -16 Sisa: px + q = -8 x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8 x -16 26

Contoh 2: Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x 2 – x - 6 bersisa…. 27

Jawab: Misal sisanya: S(x) = ax + b P(x): (x + 2) S(-2) = -13 -2 a + b = -13 P(x): (x – 3) S(3) = 7 3 a + b = 7 -5 a = -20 a = 4 28

a = 4 disubstitusi ke -2 a + b = -13 -8 + b = -13 b = -5 Jadi sisanya adalah: ax + b 4 x - 5 29

Contoh 3: Jika suku banyak P(x) = 2 x 4 + ax 3 - 3 x 2 + 5 x + b dibagi oleh (x 2 – 1) memberi sisa 6 x + 5, maka a. b=…. 30

Jawab : P(x) = 2 x 4 + ax 3 - 3 x 2 + 5 x + b P(x) : (x 2 – 1) sisa = 6 x + 5 Pembagi : (x 2 -1) = (x + 1)(x – 1) Maka: P(x): (x + 1) sisa =P(-1) 2 - a - 3 - 5 + b = 6(-1) + 5 -a + b – 6 = – 6 + 5 -a + b = 5…. (1) 31

P(x) = 2 x 4 + ax 3 - 3 x 2 + 5 x + b P(x) : x 2 - 1 sisa = 6 x + 5 Pembagi : x 2 -1 = (x+1) (x-1) Maka: P(x): (x – 1) sisa =P(1) 2 + a – 3 + 5 + b = 6(1) + 5 a+b+4=6+3– 2 a + b = 7…. (2) 32

-a + b = 5. …(1) a + b = 7…. (2) + 2 b = 12 b=6 b = 6 disubstitusi ke a + b = 7 a+6=7 a=1 Jadi a. b = 1. 6 = 6 33

Contoh 4: Jika suku banyak 2 x 3 – x 2 + px + 7 dan sukubanyak 2 x 3 + 3 x 2 - 4 x – 1 dibagi (x + 1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan…. 34

Jawab: 2 x 3 – x 2 + px + 7 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -1 -1 – a + 7 = 5 - pa 35

2 x 3 + 3 x 2 - 4 x – 1 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 =4 Karena sisanya sama, Berarti 5 – p = 4 -p=4– 5 Jadi p = 1 36

Contoh 5: Jika suku banyak x 3 – 7 x + 6 dan sukubanyak x 3 – x 2 – 4 x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan…. 37

Jawab: x 3 – 7 x + 6 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a 3 – 7 a + 6 x 3 – x 2 – 4 x + 24 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a 3 – a 2 – 4 a + 24 Sisanya sama berarti: a 3 – 7 a + 6 = a 3 – a 2 – 4 a + 24 38

a 3 – 7 a + 6 = a 3 – a 2 – 4 a + 24 a 2 – 7 a + 4 a + 6 – 24 = 0 a 2 – 3 a – 18 = 0 (a + 3)(a – 6) = 0 a = -3 atau a = 6 Jadi nilai a = - 3 atau a = 6 39

Contoh 6: Jika suku banyak P(x) = 2 x 3 + ax 2 - bx + 3 dibagi oleh (x 2 – 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=…. 40

Jawab : P(x) = 2 x 3 + ax 2 - bx + 3 P(x) : (x 2 – 4) sisa = x + 23 Pembagi : (x 2 – 4) = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x): (x + 2) sisa =P(-2) -16 + 4 a + 2 b + 3 = (-2) + 23 4 a + 2 b = 21 + 13 4 a + 2 b = 34…. (1) 41

P(x) = 2 x 3 + ax 2 - bx + 3 P(x) : x 2 - 4 sisa = x + 23 Pembagi : x 2 -1 = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x): (x – 2) sisa =P(2) 16 + 4 a – 2 b + 3 = 2 + 23 4 a – 2 b + 19 = 25 4 a – 2 b = 25 – 19 4 a – 2 b = 6…. (2) 42

4 a + 2 b = 34. …(1) 4 a – 2 b = 6…. (2) + 8 a = 40 a=5 a = 5 disubstitusi ke 4 a – 2 b = 6 20 – 2 b = 6 - 2 b = -14 b = 7 Jadi a + b = 5 + 7 = 12 43