Sudut Antara Dua Bidang Disusun Oleh X MIA

Sudut Antara Dua Bidang

Disusun Oleh: ( X MIA 3 ) • Reyhan Ibrahim • Rizki Ramanda • Shila Rahmafia Putri • Suci Ramadanti • Syifa Ananda • Aditya Rizki Auli Dwibangga • Tika Nurhayati • Yola Syafera

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk oleh dua garis pada masing bidang tadi di mana setiap garis itu tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.

Q R γ α m (α, β) P n β S • Garis ( α, β ) = Perpotongan bidang α dan β • Garis m pada α dan m ﬩ (α , β) dan n ﬩ ( α , β ) • ∠ SPQ = Sudut tumpuan • Bidang γ = Bidang tumpuan ( bidang yang memuat sudut tumpuan )

Menggambar dan Menentukan Sudut Antara Dua Bidang

• Tentukan titik T pada garis ( α , β ) • Pada bidang α buat garis m ⊥ ( α , β ) melalui T • Pada bidang β buat garis n ⊥ ( α , β ) melalui T, sehingga didapat < ATB yang merupakan sudut tumpuan antara bidang α dan β A γ α m (α, β) T n β B

Soal dan Pembahasan

1. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak √ 3 cm. Nilai tangen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD adalah. . . A. 1/ √ 2 cm 4 B. 1/ √ 2 cm 2 C. 2/ √ 2 cm 3 D. √ 2 cm E. 2√ 2 cm

2. Diketahui bidang empat beraturan A. BCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah. . . A. ⅓ B. ½ C. ⅓√ 3 D. ⅔ E. ½√ 3

= = • Sudut CED adalah sudut antara bidang ABC dan bidang ABD. • Garis CE dan DE masing-masing merupakan garis tinggi segitiga ABC dan ABD.

Perhatikan Segitiga BCE berikut! B E Segitiga BCE adalah segitiga siku-siku di F, maka: C

Perhatikan segitiga ADE Segitiga ADE adalah segitiga siku-sku di E, maka A E D

E α C Untuk menentukan cosinus sudut CED, perhatikan gambar segitiga berikut Dengan menggunakan aturan cosinus, maka: D

3. Diberikan bidang empat T. ABCD dengan bidang TAB, TAC, dan ABC saling tegak lurus. Jika TA = 5 cm, AB = AC = √ 5 dan α adalah sudut antara bidang TBC dan ABC, maka sin α adalah. . . A D B E C

T A B √ 5 √ 5 α D C Bidang TAB ⊥ TAC ⊥ ABC, maka: TAB tegak lurus di A TAC tegak lurus di A ABC tegak lurus di A

4. Limas T. ABCD adalah limas segiempat dengan alas persegi ABCD dengan pnjang sisi 2 cm serta panjang TC = 6 cm. Α adalah sudut yang dibentuk oleh bidang TAD dan TBC. Nilai cos α adalah. . . A. 0 B. ⅔ C. 1 D. ½√ 2 E. √ 6

TC = 6 cm EC = 2 cm T α α D C E F A B

5. Pada kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 4 cm. P dan Q masing-masing pertengahan CD dan BC. Tangen sudut antara bidang PQG dan bidang ABCD sama dengan. . . A. ¼ √ 2 B. ½ √ 2 C. √ 2 D. 2 √ 2 E. 4 √ 2

6. Diketahui kubus ABCD. EFGH a. b. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD! H E G F D A C B 22

H G E F D A C P B Pembahasan a. (BDG, ABCD) • garis potong BDG dan ABCD BD • garis pada ABCD yang BD AC • garis pada BDG yang BD GP Jadi (BDG, ABCD) = (GP, PC) = GPC 23

Pembahasan H G E F D A = sin GPC C P B b. sin (BDG, ABCD) = = = ⅓√ 6 Jadi, sin (BDG, ABCD) = ⅓√ 6 24

7. Limas beraturan T. ABC Panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah…. 25

T 9 cm A P 3 B m c 6 Pembahasan sin (TAB, ABC) = sin (TP, PC) = sin TPC • TC = 9 cm, BP = 3 cm C • PC = = • PT = = 26

• Lihat ∆ TPC PT = 6√ 2, PC = 3√ 3 T 9 Aturan cosinus cm 6 √ 2 TC 2 = TP 2 + PC 2 – 2 TP. TC. cos TPC 81 = 72 + 27 – 2. 6√ 2. 3√ 3. cos TPC A 3√ 3 P C 236√ 6. cos TPC = 99 – 181 36√ 6. cos TPC = 18 cos TPC = B = 27

• Lihat ∆ TPC cos P = 12 Maka diperoleh Sin P = √ 6 P Jadi sinus (TAB, ABC) = 28

8. Diketahui kubus ABCD. EFGH Panjang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. 4 cm H E A G F QD C P B Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah . Nilai cos =… 29

Pembahasan H K 4 cm G E F AK = ½a√ 6 = 2√ 6 D Q A C M L (FHQP, AFH) = (KL, KA) = AKL = P B AL = LM = ¼ AC = ¼ a√ 2 = √ 2 KL = = = 3√ 2 30

Pembahasan K A L M AK = 2√ 6 , AL = √ 2 KL = 3√ 2 Aturan Cosinus: AL 2 = AK 2 + KL 2 – 2 AK. KLcos 2 = 24 + 18 – 2. 2√ 6. 3√ 2. cos 24√ 3. cos = 42 – 2 24√ 3. cos = 40 cos = Jadi nilai cos = 31

9. T. ABCD adalah limas segi-4 beraturan AB = 6 cm, tinggi limas = 6 cm. T Tentukan tan ∠(TBC, ABCD) ! D A C B

T Pembahasan Sudut tumpuan antara bidang TBC dan ABCD adalah ∠PQT, D P A B C M tan ∠PQT = = =2 Jadi, tan ∠(TBC, ABCD) = 2.

10. Dari limas segi empat beraturan T. ABCD, titik T₁ adalah proyeksi titik puncak T pada bidang alas. AB = 12 cm dan TT₁ = 6 cm. Berapakah sudut anatar bidang ACT dan bidang ABCD?

T D E A C F T₁ B Besar sudut antara bidang ACT dan bidang ABCD adalah 90˚

11. Limas T. ABCD dengan alas persegipanjang ditunjukkan gambar berikut. Tentukan kosinus sudut yang terbentuk oleh bidang TBC dan bidang ABCD!

12. Tiga rusuk yang bertemu di titik A dari bidang empat D. ABC adalah salin tegak lurus. AB = AC = 4√ 2 cm dan AD = 4√ 3 cm. Hitunglah besar sudut antara bidang BCD dan bidang ABD!

D F 4√ 3 A C E 4√ 2 B