Sub Ruang DEFINISI Teorema Heru Tri Wibowo Dabi

Sub Ruang DEFINISI Teorema Heru Tri Wibowo Dabi Tri Kurniawan (14144100091) (14144100149) Nur Laily Mahanani (15144100104) Osi Erinda Isna Wardani (15144100118) Dwi Mila Sari (15144100129) CONTOH SOAL

DEFINISI Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub ruang dari V, jika, W sendiri adalah suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar, yang didefinisikan pada V.

Teorema 1 Jika W adalah suatu himpunan satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah suatu sub ruang dari V jika dan hanya jika syarat berikut terpenuhi : 1. Jika u dan v adalah vektor dalam W, maka u + v ada di dalam W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam. W, maka ku ada dalam W

Bukti Jika W adalah suatu subruang dari V, maka semua aksioma ruang vector terpenuhi, khususnya aksioma 1 dan 6. Tetapi aksioma-aksioma ini secara tepat adalah syarat 1 dan 2 (teorema 1) Suatu himpunan W yang terdiri dari satu atau lebih vector dari suatu subruang v disebut tertutup terhadap penjumlahan (close under addition) jika syarat a pada teorema 1 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian scalar (close under scalar multiplication) jika syarat b berlaku. Jadi teorema 1 menyatakan bahwa W adalah subruang dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian scalar.

Contoh Soal Contoh 1 : Tentukan apakah himpunan vektor V berbentuk (a, 0, 0) merupakan sub ruang dari R 3 Jawab Andaikan vektor u =(u 1, 0, 0) dan v = (v 1, 0, 0), maka : u + v = (u 1+v 1, 0, 0) berada dalam V Jika k adalah sebarang skalar, maka ku = k(u 1, 0, 0)=(ku 1, 0, 0) berada dalam V Karena kedua sifat terpenuhi, maka dapat dikatakan himpunan vektor V merupakan sub ruang dari R 3

Contoh 2 Tentukan apakah himpunan vektor V berbentuk (a, 1, 1) merupakan sub ruang dari R 3 Jawab Andaikan vektor u =(u 1, 1, 1) dan v = (v 1, 1, 1), maka : a. u + v = (u 1+v 1, 1+1)= (u 1+v 1, 2, 2) tidak berada dalam V Karena sifat yang pertama tidak terpenuhi, maka dapat dikatakan himpunan vektor V berbentuk (a, 1, 1) bukan merupakan sub ruang dari R 3

TERIMA KASIH