Studio di funzioni Guida base Insieme di Definizione

Studio di funzioni Guida base

Insieme di Definizione (Dominio) • Funzioni polinomiali, radici di indice dispari ed esponenziali sono definite in tutto R • Sono presenti denominatori? Porre: denominatori<>0 • Sono presenti radici con indice Pari? Porre: Radicando>=0 • Sono presenti logaritmi? Porre: argomento del logaritmo>0 • Ricorda che: la base del log è >0 e <>1, la funzione f(x)^g(x) è definita per f(x)>0 Risolvere la disequazione (o il sistema) e rappresentare sul piano cartesiano il Dominio ottenuto evidenziando gli intervalli sull’asse x

Intersezioni con gli assi • Lo 0 appartiene al dominio? Si: allora f(0) è l’ordinata del punto di intersezione con l’asse y. Calcola f(0) [sostituisci zero al posto della x] No: il grafico non interseca l’asse y • Risolvere l’equazione f(x)=0. Ha soluzioni? Si: Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione con l’asse x. No: se non ha soluzioni il grafico non interseca l’asse x Rappresentare gli eventuali punti di intersezione sul grafico

Segno • Studiare il segno della funzione se non è difficile Rappresentare le zone del piano in cui la funzione assume valori positivi e quelli in cui assume valori negativi

Asintoti Orizzontali • La funzione è illimitata superiormente? Si: studiare il lim per x +infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo R allora la retta y=R è asintoto orizzontale a destra -Se R è infinito può esistere l’asintoto obliquo -Se il limite non esiste la f può essere periodica No: andare avanti • La funzione è illimitata inferiormente? Si: studiare il lim per x -infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo L allora la retta y=L è asintoto orizzontale a sinistr -Se L è infinito può esistere l’asintoto obliquo -Se il limite non esiste la f può essere periodica No: andare avanti Se esistono asintoti tracciare le rette sul grafico

Asintoti Obliqui • Studiare il limite di f(x)/x per x +infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo m, studiare il limite per x +infinito di (f(x)-mx)=q. Allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo a destra -Se è infinito non esiste asintoto obliquo a destra • Studiare il limite di f(x)/x per x -infinito -Se il limite esiste finito, chiamiamolo m, studiare il limite per x -infinito di (f(x)-mx)=q. Allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo a sinistra -Se L è infinito non esiste asintoto obliquo a sx Tracciare sul grafico le rette (parallele all’asse x)

Asintoti Verticali • Esiste un punto o più punti che non appartengono al Dominio della funzione ma sono di accumulazione per il Dominio? Si: studiare il limite destro e sinistro per x tendente a questo/i punto/i No: non esistono asintoti verticali Se esistono asintoti tracciare le rette sul grafico

Monotonìa • Calcolare la derivata prima f’(x) e studiare il segno per x che varia nel dominio della f • Negli intervalli in cui f’(x)>0 la f cresce • Negli intervalli in cui f’(x)<0 la f decresce • I punti in cui f’(x)=0 sono punti stazionari: -di minimo se … -di massimo se … -di flesso a tangente orizzontale se … Rappresenta i punti sul grafico

Dominio della derivata prima • Determinare il dominio della f’(x). Se esiste un punto x 1 che appartiene al dominio della funzione f(x) ma non appartiene al dominio della derivata prima f’(x) allora studiare il limite della derivata per x che tende a x 1 per individuare cuspidi, punti angolosi e flessi a tangente verticale. Può risultare utile calcolare anche i limiti della funzione e del rapporto incrementale relativo al punto x 1

Concavità • Calcolare la derivata seconda f’’(x) e studiare il segno per x che varia nel dominio della f • Negli intervalli in cui f’’(x)>0 f conc. verso l’alto • Negli intervalli in cui f’(x)<0 f conc. verso il basso • I punti in cui f’’(x)=0 sono punti: -di flesso se x appartiene all’intersezione di D D’ e D’’ -di flesso a tangente verticale se … Rappresenta i punti sul grafico

GRAFICO • Disegnare il grafico verificando l’accordo tra le caratteristiche studiate (intersezioni con gli assi, segno, asintoti, monotonia). Se necessario tracciare qualche punto o allegare anche un grafico in scala ridotta • Se la f(x) è definita in un intervallo [a, b] con a e b finiti stabilire se i punti estremi del grafico (a; f(a)) e (b; f(b)) sono punti di massimo o di minimo assoluto

Altro. . • Punti di discontinuità: I II e III specie • Punti di non derivabilità: punti angolosi e punti cuspididali • Flessi a tangente orizzontale, a tangente verticale e obliqui