Strumentazione per bioimmagini Introduzione alle immagini digitali Introduzione

Strumentazione per bioimmagini Introduzione alle immagini digitali

Introduzione • Immagini: risultato di un sistema di acquisizione/elaborazione/visualizzazione della radiazione EM visibile (400 -700 nm) per riprodurre stimoli visivi “realistici” • Piu’ generale: analisi di dati/proprieta’ attraverso la loro visualizzazione temperatura 2 pressione densita’

Introduzione Immagine “ideale” continua: le variabili x, y, c e sono continue Immagine numerica: le variabili x, y, c e sono discrete (quantizzate) 3

Acquisizione di immagini • Ci si aspetta che un sistema di acquisizione/visualizzazione “ideale” sia in grado di distinguere dettagli a qualsiasi scala (risoluzione “infinita”) • Ma: – Limiti fisici (diffrazione, apertura …) – Campionamento – Distorsione 4 S(x, y) ? ? I(x, y) Scena da acquisire Sistema di acquisizione Immagine (misura)

Acquisizione di immagini • Risposta impulsiva del sistema di acquisizione si chiama Point Spread Function (PSF), • Impulso bidimensionale = punto ideale 5 S(x, y) PSF(x, y) I(x, y) Scena da acquisire Sistema di acquisizione Immagine (misura)

Point Spread Function • Al diminuire della scala i dettagli tendono a “sfocare” fino a “svanire” • La Point Spread Foint (PSF) può modellare questo fenomeno Convoluzione Point Spread Function 6

Rumore Il rumore nelle immagini puo’ essere generato in qualsiasi punto della catena del segnale: • Rumore gaussiano (termico): • Speckle noise (elettrico): il rumore e’ proporzionale (correlato) all’immagine “sottostante” • Rumore “salt&pepper”: pixel “difettosi” nella camera, transienti anomali immagine originale 7 Gaussiano Speckle Salt & pepper

Quantizzazione • Immagine numerica: le variabili x, y, c e sono discrete (quantizzate) • Quantizzazione delle coordinate spaziali x, y – Risoluzione: numero di pixel per mm 2 di immagine. All’aumentare della risoluzione aumenta la qualita’, ma anche la memoria richiesta ed i tempi di elaborazione – Nelle applicazioni biomediche la risoluzione minima e’ determinata dal livello di dettaglio richiesto dalla diagnosi • Quantizzazione del colore/livelli di grigio – La quantizzazione del colore comporta perdita di dettagli (variazioni). Una quantizzazione uniforme non e’ sempre la scelta ottimale! 8

Qualita’ delle immagini: quantizzazione Meno livelli di grigio Meno pixels quantizzazione 9

Elaborazione numerica delle immagini • Immagini come segnali discreti bidimensionali • Estensione finita: Le immagini digitali vengono “naturalmente” rappresentate da matrici I=f(n, m) m 10 n 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 matrice Mx. N n [0…N-1] m [0…M-1]

Convoluzione/filtraggio • Come per i segnali 1 D e’ possibile definire un prodotto di convoluzione • E’ possibile applicare i concetti della teoria dei sistemi (deterministici e stocastici) con i dovuti accorgimenti matematici • modello ingresso-uscita risposta impulsiva del sistema filtraggio • energia dell’immagine • autocorrelazione dell’immagine e cross-correlazione con l’uscita: descrizione statistica delle immagini 11

Convoluzione/filtraggio • Filtraggio: risposta impulsiva finita (FIR) maschera di convoluzione n m r s filtro h = FIR 7 x 7 12 immagine f

La Trasformata Discreta di Fourier (DFT) • La 2 D DFT e’ definita come Tempo Continuo 13 Tempo Discreto Frequenze Continuo Trasformata di Fourier Discreta di Fourier Frequenze Discrete Serie di Fourier Trasformata Finita di Fourier

Linearità e convoluzione (DFT) • Linearità della DFT: • Teorema della convoluzione: 14

Basi della DFT • Queste immagini mostrano la parte reale di B(n, m) al crescere delle frequenze l, k l crescente • Le Mx. N basi rappresentano livelli crescenti di dinamica spaziale della scala dei grigi livelli progressivi dettaglio • Al variare del rapporto relativo tra l e k: orientazione della base k crescente 15

Fast Fourier Transform (FFT) • Ulteriore motivo di “popolarita’” della DFT: algoritmo veloce di calcolo (FFT). La convoluzione viene calcolata nel dominio della frequenza invece che nel dominio del tempo. Con la stessa facilita’ si realizza la trasformazione inversa (IFFT) I 1 FFT I 2 FFT convoluzione 16 I 3

Fast Fourier Transform (FFT) • Quando si applica la FFT occorre considerare l’effetto “finestra”: l’immagine è il risultato di un “ritaglio” di una scena che si estende indefinitamente nelle due dimensioni S I A=rect(x 0, y 0, lx, ly) 17

Windowing (1) a(x, y) A(u, v) Comparsa di alte frequenze

Windowing (2) • Un metodo per risolvere questo problema è “finestrare” l’immagine con una finestra che abbia bordi smooth: funzioni a decrescenza rapida i(x, y)a(x, y) FFT 19 F(i(x, y)a(x, y)) a(x, y) i(x, y) FFT F(i(x, y))

Risoluzione in frequenza • Se abbiamo N campioni di un segnale x(0), x(t), x(2 t), … x((N-1)t): • La risoluzione in frequenza è tanto maggiore quanto più elevato è il numero di campioni N! 20

Filtraggio nel dominio della DFT • Le frequenze basse sono associate alle transizioni “lente” blu: stop-band del filtro low-pass DFT filtraggio IDFT band-pass high-pass • Le frequenze alte sono associate alle transizioni “rapide” (bordi) 21