Stochastische Prozesse Jan Wosnitza Vorbereitungen fr das Faktormodell

Stochastische Prozesse Jan Wosnitza Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Portfoliomodelle Faktormodelle 1

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells 2 Quelle: Wehn, C. S. : „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken. . . “, Siegen 2006

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Erwartungswert und Varianz: Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Credit Event = Ereigniss Default = Ausfall Downgrading = Bonitätsverschlechterung Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1, 2, … rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt. 3

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells 4 Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und – d („down“) annehmen kann:

http: //de. wikipedia. org/wiki/Zufall sbewegung, 31. 05. 2008 5

Stochastische Prozesse Satz 1 Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend: Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt: Wiederholung: 6

Stochastische Prozesse Satz 2 Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells 7 Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:

Stochastische Prozesse Beweis 1 Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse: Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Wiederholung: 10

Stochastische Prozesse Beweis 1 Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Wiederholung: 11

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z. B. Aktienkurse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert: 12

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt: Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Dabei gilt: Wiederholung: 13

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk): Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt. 14

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden, Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen: Wenn der Startwert X 0 gleich Null ist, folgt: Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse: 15

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft: Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig. Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft: 16

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Ein stochastischer Prozess {X(t), t 0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt: a) X(0)=1 b) Für 0<s t sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig c) Für 0<s t sind die logarithmierten Quotienten der Zufallsvariablen normalverteilt: d) Die Pfade sind stetig 21

Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form: Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells 22 ?

http: //de. wikipedia. org/wiki/Geom etrische_brownsche_Bewegung, 31. 05. 2008 23

https: //www. cortalconsors. de/ euro. Web. De/-, 31. 05. 2008 24 Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Bilanz Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Aktiva Vermögen = A Passiva Eigenkapital = S Fremdkapital = K Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 25 Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden: a) AT K Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit • Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt Barwert einer Nullkuponanleihe • Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt AT-K 0 Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor b) AT<K • Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des Unternehmens. D. h. , dass die Schuld nicht vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten • Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die Aktien sind wertlos Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 26

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt. Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 27 Put- und Calloption

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Annahmen im Modell von Black-Scholes: Standardnormalverteilung a) Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit b) Keine Dividenden Barwert einer Nullkuponanleihe c) Zinssatz r bekannt und fest Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit d) Volatilität des Underlyings bekannt und fest e) Keine Transaktionskosten Mehrdimensionaler Zufallsvektor f) Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit g) Beliebig kleine Stückelung des Underlyings Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient h) Leerverkauf des Underlyings möglich Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation i) Geldleihe Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 28 j) Lognormalverteilung des Aktienkurses

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 29 Lognormalverteilung des Aktienkurses

Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für Optionen“) 30

Stochastische Prozesse Satz 3 Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 31 Erwartungswert der Lognormalverteilung:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist. Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 33 Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 34 Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N( , 2)-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrücken:

Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen: Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to Default –d 2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell 35

Satz 4 Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d 2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an 37

Stochastische Prozesse Satz 5 Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 43 Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K(K-AT)+ zum Zeitpunkt t [0; T] ist:

Stochastische Prozesse Beweis 5 Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit t T damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente: Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 44 Wiederholung: ?

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 48

https: //www. cortalconsors. de/, 31. 05. 2008 Blau: Bear Stearns Cos. Inc. 49

https: //www. cortalconsors. de/, 31. 05. 2008 Grün: DAX Blau: Deutsche Bank 50

https: //www. cortalconsors. de/, 31. 05. 2008 Grün: SMI Blau: Novartis 51

https: //www. cortalconsors. de/, 31. 05. 2008 Grün: Dow Jones Industrial Average Blau: General Electrics 52

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir: Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 53 Wiederholung:

Stochastische Prozesse Satz 6 Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 55 Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 57 Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p {0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil von F bezeichnet

http: //de. wikipedia. org/wiki/Qu antil, 31. 05. 2008 58

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung: Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 59 Wiederholung:

Stochastische Prozesse Satz 7 Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist: Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 60 Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 62 Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein: Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab. Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 63 Wiederholung:

Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert: Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung: Für den Fall, dass X 1 und X 2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung: 66

http: //de. wikipedia. org/wiki/Stand ardnormalverteilung, 31. 05. 2008 67

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit: Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 68 Da ci und cj über ci= -1(pi) und cj= -1(pj) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (k m) hergeleitet werden.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1 Di, 1 Dj): Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 74 Wiederholung:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells 75 Wiederholung:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern: Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle: 76

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn wir annehmen, dass pi=pj für alle i, j {1, 2, …, m} Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von Y) 77

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ 78 Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma Ri unter den Schwellenwert c sinkt, unter der Bedingung, dass Y=y ist.

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ 79

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m ) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle darstellt. Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Somit kommen wir zu: Wir haben y so gewählt, dass p(-y )=x und p(y) x für y>y 80

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Wiederholung: 81

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Wiederholung: 82

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende Faktoren Yj der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht nj. n nennt man den Gewichtsvektor der n-ten Firma. Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert unter die kritische Schranke cn. 83

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu modellieren. Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) Rn, wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl unterschreiten. ckl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse l. Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe) den Wert (Ln=Exposure=Höhe des Kredits) kl·Ln: 90

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ 92 Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n angeben:

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an: Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation 94

Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von Credit. Metrics mit Credit. Risk+ Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist: 95

VIELEN DANK UND VIEL ERFOLG! 101