Stochastik MQE Die Stochastik ist ein Oberbegriff fr

Stochastik MQE Die Stochastik ist ein Oberbegriff für die Teilgebiete • Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik • Statistik in den beiden Ausprägungen: o Beschreibende Statistik o Beurteilende Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung Blaise Pascal MQE Pierre de Fermat Blaise Pascal (1623 – 1662) und Pierre de Fermat (1607/8 – 1665) wollten die Probleme bei Glücksspielen lösen Dabei legten sie in einem Briefwechsel die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bildquelle: http: //de. wikipedia. org/wiki/Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung MQE Allgemeingültige Formeln werden allerdings erst wesentlich später von Jakob Bernoulli und Laplace entwickelt. . Jakob Bernoulli (1655 – 1705) Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) Bildquelle: http: //de. wikipedia. org/wiki/Geschichte_der_Wahrscheinlichkeitsrechnung

Redewendungen im Alltag MQE • „Wahrscheinlich wird es morgen regnen“. oder „Die Regenwahrscheinlichkeit liegt bei 85%. “ • „ Mannschaft A hat größere Chancen zu gewinnen als Mannschaft B“. • „Mit hoher Wahrscheinlichkeit handelt es sich bei Otto X. um den Täter“. • „Es ist unwahrscheinlich, dass bei der diesjährigen Landtagswahl Partei A die absolute Mehrheit erhält. “ • Das Risiko für einen Kernreaktorunfall wird als gering eingeschätzt.

Stochastik MQE Die Stochastik wird in unterschiedlichen Anwendungsbereichen benötigt • empirische Forschung Experimente in Physik, Psychologie, … repräsentative Stichproben / Hochrechnungen • Medizin • Versicherungswesen • Wirtschaft/Bankwesen Abschätzen von Risiken und Heilungschancen Prämienkalkulation / zukünftiges Schadenaufkommen Bewertung von Finanzprodukten, Anagestrategien

MQE … zurück in die Schule

Wahrscheinlichkeitsrechnung MQE Kompetenzerwartungen am Ende der SEK I Quelle: Kernlehrpläne Haupt- und Realschule Hauptschule Schülerinnen und Schüler erheben statistische Daten und werten sie aus. Sie beschreiben und beurteilen zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln. • Sie planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung und Darstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme, Boxplots) und bewerten Darstellungen kritisch. • Sie bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median) und Streumaße (Spannweite, Quartil) und interpretieren diese. • Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Laplace-Regel, Baumdiagrammen und Pfadregeln, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten. • Sie planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung und Darstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme, Boxplots) und bewerten Darstellungen kritisch. • Sie bestimmen relative Häufigkeiten und Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median) und interpretieren diese. • Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Baumdiagrammen und Pfadregeln, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung MQE Inhalt • Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse • Laplace - Experimente, „Urformel“ • Mehrstufige Zufallsexperimente, Baumdiagramme • Wahrscheinlichkeiten für Anzahlen (Binomialverteilung)

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Definition: Ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt, heißt Zufallsexperiment. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnisraum . Beispiele für Zufallsexperimente a) zweimaliger Münzwurf b) Werfen eines Würfels Ø c) Ziehen der ersten Gewinnzahl im Lotto Ø

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Wie viele Ereignisse lassen sich aus einer Ergebnismenge ableiten? Beispiel: Einmaliges Drehen eines Glücksrads mit … ={1; 2} ={1; 2; 3} ={1; 2; 3; 4}

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Wie viele Ereignisse lassen sich aus einer Ergebnismenge ableiten? Beispiel: Einmaliges Drehen eines Glücksrads mit … ={1; 2} ={1; 2; 3} E 1={1} E 2={2} E 3={} E 4={1; 2} 4 Ereignisse ={1; 2; 3; 4}

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Wie viele Ereignisse lassen sich aus einer Ergebnismenge ableiten? Beispiel: Einmaliges Drehen eines Glücksrads mit … ={1; 2} ={1; 2; 3} E 1={1} E 2={2} E 3={4}={} E 4={1; 2} 4 Ereignisse E 1={1} E 2={2} E 3={3} E 4={1; 2} E 5={1; 3} E 6={2; 3} E 7={17}= {} E 8={1; 2; 3} 8 Ereignisse ={1; 2; 3; 4}

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Wie viele Ereignisse lassen sich aus einer Ergebnismenge ableiten? Beispiel: Einmaliges Drehen eines Glücksrads mit … ={1; 2} ={1; 2; 3} E 1={1} E 2={2} E 3={4}={} E 4={1; 2} 4 Ereignisse E 1={1} E 2={2} E 3={3} E 4={1; 2} E 5={1; 3} E 6={2; 3} E 7={17}= {} E 8={1; 2; 3} 8 Ereignisse ={1; 2; 3; 4} E 1={1} E 2={2} E 3={3} E 4={4} E 11={1; 2; 3} E 12={1; 3; 4} E 13={2; 3; 4} E 14={1; 2; 4} E 5={1; 2} E 6={1; 3} E 7={2; 3} E 8={1; 4} E 9={2; 4} E 10={3; 4} E 15={17}= {} E 16={1; 2; 3; 4} 16 Ereignisse

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Wie viele Ereignisse lassen sich aus einer Ergebnismenge ableiten? Beispiel: Einmaliges Drehen eines Glücksrads mit … ={1; 2} ={1; 2; 3; 4} E 1={1} E 2={2} E 3={3} E 4={4} E 5={1; 2} E 6={1; 3} E 7={2; 3} E 8={1; 4} E 9={2; 4} E 10={3; 4}

Warum will man das wissen? MQE

Warum will man das wissen? MQE Der will doch nur spielen!

Laplace-Formel Wenn jedes möglichen Ergebinis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses (E) im Vorhinein mittels der Formel von Laplace berechnet werden. MQE

Aber wann ist Laplace-Formel das Wenn jedes möglichen Ergebnis mit der schon gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt, so? dann kann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses (E) im Vorhinein mittels der Formel von Laplace berechnet werden. MQE

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Elementarereignis

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Beispiel: Werfen eines Würfels Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Mögliche Ereignisse: „Augenzahl ist 7“ E 5 = {} unmögliches Ereignis „Augenzahl ist mindes- E 6 = tens 1 und höchstens 6“ sicheres Ereignis

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse

Zusammenfassung Grundbegriffe* *entnommen aus Didaktik der Stochastik, Dr. Jürgen Roth, Uni Würzburg MQE

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MQE Laplace-Formel Klassiker: Ziehen einer Kugel aus einer Urne Ereignis A: „gerade Zahl“ 1 2 3 4 5 1 2 1 6 3 1 2 Summenregel Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die das Ereignis bilden. P(A) = P(E 1)+P(E 2)+P(E 3)

Laplace-Formel Axiomensystem des Kolmogorov MQE

MQE Zufallsexperimente, Ergebnisse, Ereignisse Beispiel: Werfen eines Würfels oder einfach: Beim Addieren von Wahrscheinlichkeiten müssen Doppelzählungen wieder abgezogen werden.

Weg von Laplace: MQE Nicht-Laplace-Versuche z. B. Wurf einer Reißzwecke Sie fällt vermutlich nicht gleich oft auf den Kopf und auf die Seite. Weitere Zufallsgeräte, die nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse liefern, - „Riemer-Würfel“, - Flaschendeckel, - Legosteine. . . Lernende können dazu eine Versuchsreihe machen, um Hypothesen zu gewinnen und zu vergleichen.