Stichprobenverfahren zur Qualittssicherung Hilfestellung der Statistik in der
Stichprobenverfahren zur Qualitätssicherung Hilfestellung der Statistik in der Wirtschaftsprüfung 1
Rahmenbedingungen und Anwendungsvoraussetzungen • Zeitliche Begrenzung des zulässigen Prüfaufwandes • Unmöglichkeit sämtliche Belege zu prüfen • Grosse Transaktionsmengen • Viele ähnliche Transaktionen • Ähnliche Sachverhalte in den Transaktionen 2
Anwendungsziele • Qualitätssicherung der Revision bei grossen Datenmengen • Hoher Wirkungsgrad des Prüfaufwandes • Aussagen über die Qualität geprüfter und nicht geprüfter Bereiche mit einer bestimmten Sicherheit machen können • Den Geprüften Gewissheit über die Erreichung von im voraus bestimmten Qualitätsstandards vermitteln 3
Anwendungsbeispiele • • • Zahlungsverkehr der Staatskasse Spesenabrechnungen Einschätzung von Steuerpflichtigen Beiträge an bedürftige Berner Stipendienempfänger 4
Die Stichprobenziehung aus der Grundgesamtheit So. . oder so? 5
Erfordernisse an eine Stichprobe • Unverzerrtheit: jedes Element der Grundgesamtheit besitzt dieselbe Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe aufgenommen zu werden: Zufallszahlengenerator • Ausreichender Umfang • Homogene Grundgesamtheit bezogen auf das untersuchte Risiko • Risikorelevante Messgrössen • Zusammenhängende Elemente ziehen, wenn bestimmte Risiken nur so identifiziert werden können 6
Annahmen über die Fehlerhäufigkeit • Der genaue Anteil von Fehlern in der Grundgesamtheit ist unbekannt • Es muss eine Bandbreite festgelegt werden, innerhalb derer die tatsächliche Fehlerhäufigkeit mit grosser Wahrscheinlichkeit liegt, bzw. liegen muss • Die Qualität der Stichprobe erlaubt Rückschlüsse über diejenige der Grundgesamtheit 7
Häufigkeit der Beobachtungen Streuung der Qualität eines Prozesses gut kritisch ungenügend gut <= Qualität => ungenügend 8
Checkliste für homogene Grundgesamtheit • Grösster tolerierter Fehleranteil a • Kleinster zu akzeptierender Fehleranteil b • Umfang der Grundgesamtheit ausreichend, um eine Stichprobenziehung zu rechtfertigen 9
Häufigkeiten Normalverteilung der Qualität in der Grundgesamtheit Mittelwert 0, Standardabweichung 1, Vertrauensintervall für Fehleranteil 0. 40 0. 35 Dichtefunktion 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 05 0. 00 -4. 00 -3. 00 -2. 00 -1. 00 0. 00 1. 00 a 2. 00 b 3. 00 10 4. 00 z
Berechnung des Stichprobenumfangs 0. 40 0. 35 Häufigkeiten 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 05 0. 00 -4. 00 -3. 00 -2. 00 -1. 00 0. 00 1. 00 2. 00 3. 00 4. 00 Z 11
Der benötigte Stichprobenumfang ist. . . • unabhängig von der Grösse der Grundgesamtheit • positiv und quadratisch abhängig von der Breite des Vertrauensintervalls auf der ZAchse • negativ und quadratisch abhängig von der Anzahl Realisierungen, die im Vertrauensintervall liegen (Fläche unter der Normalverteilung) • positiv abhängig von p 1 (Anteil der kritischen und fehlerhaften Realisierungen) • negativ abhängig von (1 -p 1) Anteil der guten Realisierungen) 12
Kritischer Wert einer Stichprobe • Der kritische Wert einer Stichprobe besagt, wieviele fehlerbehaftete Beobachtungen in der Stichprobe entdeckt werden dürfen, ohne die Annahme zu widerlegen, dass die Grundgesamtheit einen bestimmten Qualitätsstandard einhält. • Der kritische Wert wird als Prozentanteil der Stichprobe ermittelt. 13
Kritischer Wert in einer Stichprobe Zulässiger Fehleranteil in der Stichprobe 0. 40 0. 35 Häufigkeiten 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 05 0. 00 -4. 00 -3. 00 -2. 00 -1. 00 0. 00 1. 00 2. 00 3. 00 4. 00 14 z
Der kritische Wert ist. . . • positiv abhängig vom zulässigen Fehleranteil b (p 0) • positiv abhängig vom z-Wert (Quantil) für den Anteil der guten Realisierungen • positiv abhängig von p 0 (Anteil der fehlerhaften Realisierungen) • negativ abhängig von (1 -P 0) (Anteil der guten und kritischen Realisierungen) • negativ abhängig von der Grösse der Stichprobe 15
Normalverteilung Mittelwert 0, Standardabweichung 1, Verschiedene Wahrscheinlichkeiten 0. 40 0. 35 Häufigkeiten 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 05 0. 00 -4. 00 -3. 00 -2. 00 -1. 00 0. 00 1. 00 a 2. 00 b 3. 00 4. 00 z 16
Planung einer Qualitätsprüfung Je schmaler das Vertrauensintervall. . • desto grösser die Stichprobe • desto niedriger der kritische Wert der Stichprobe Je breiter das Vertrauensintervall. . . • desto kleiner die Stichprobe • desto höher der kritische Wert der Stichprobe è Eine mittlere Vertrauensintervallbreite ist für die Prüfung optimal 17
Vertrauensintervall, Stichprobenumfang und kritischer Wert 1200 3. 9% Optimaler Bereich 3. 7% 800 3. 5% Stichprobenumfang Kritscher Wert für Stichprobe 3. 3% 600 3. 1% 400 2. 9% 200 2. 7% 0 0% 5% 10% 15% Breite Vertrauensintervall (Abstand zwischen alpha und beta) 2. 5% 20% 18 Kritischer Wert in Stichprobe Grösse erforderliche Stichprobe 1000
Zufallszahlen für einen bestimmten Bereich 19
Checkliste bei heterogener Grundgesamtheit • Gibt es mehr als ein wesentliches Risiko? – Anzahl Steuerpflichtige, Steueraufkommen • Richtige Risikofaktoren identifiziert? – Falscheinschätzung, fehlerhafter Steuerbetrag • Sollten geschichtete Stichproben gezogen werden? – 2 Schichten, die je gleichviel zum Steueraufkommen beitragen – 3 bis 4 Schichten, die je gleichviel zum Steueraufkommen beitragen 20
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