STEREOMETRIE Odchylky pmek Mgr Jakub Nmec VY32INOVACEM 3

STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M 3 r 0114

ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny. V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla: Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami. Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.

Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.

Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.

Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém. Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.

Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod – jsou mimoběžné. Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou. Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH. Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH – byla by to přímka AH.

Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.

Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.

Přímky AT a SH jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.

Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.

Výpočet úsečky |SG| je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle.

V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm, |BC|= 3 cm a |AE|= 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.

Přímky AD a CE jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE. Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.

Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.

Výpočet úsečky |CH| je uveden zde.

ÚKOL ZÁVĚREM 1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG. 2) V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG.

ZDROJE Literatura: � POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80 -7196 -004 -7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.