Stereomeetria lesanne 1 Kerasse on kujundatud silinder mille

Stereomeetria

Ülesanne 1 Kerasse on kujundatud silinder, mille ruumala on 18 p dm 3. Silindri telglõike diagonaal moodustab põhjaga nurga 60°. Leida kera pindala. h R 60° r

Lahendus (I) D C h R R O 60° A Silindri telglõikeks (põhjadega ristuv ja silindri telge sisaldava tasandi osa) on ristkülik ABCD. Tähistame silindri kõrguse ja raadiuse vastavalt sümbolitega h ja r ning Kera raadiuse sümbolig R. Täisnurksest kolmnurgast ABC leiame, et r B (1)

Lahendus (II) Kuna silindri ruumala on ülesande teksti kohaselt 18 p dm 3, siis silindri ruumala valemi kohaselt saame Seose (1) abil järeldame viimasest võrrandist, et Samast kolmnurgast ABC on näha, et millest saame

Lahendus (III) Kera pindala valemi kohaselt leiame Vastus Kera pindala on 48 p dm 2.

Ülesanne 2 Koonuse kõrgus on 8 m ja moodustaja 10 m. Arvutada selle koonuse sisse kujundatud kera ruumala a h m r r r Vastus: 36 p m 3

Lahendus (I) C Joonisel on kujutatud koonuse ja kera telglõiget. a Kuna sirge CB on ringjoonele puutujaks h punktis E, siis peab lõik CB olema risti raadiusega OE. m E r O r A D B Täisnurksest kolmnurgast OEC saame hüpotenuusi OC pikkuseks h – r ning nurk tipu C juures on kaks korda väiksem koonuse tipunurgast a.

Lahendus (II) C Täisnurksest kolmnurgast DBC leiame nurga BCD = a/2 koosinuse: a 2 O A r E h m r D Leiame ka sama nurga siinuse: B Kolmnurgast OEC saame sama nurga siinuse:

Lahendus (III) Kahest viimatisaadud seosest tuleneb võrrand r määramiseks: Kera ruumala valemit kasutades leiameülesande vastuse: Vastus Kera ruumala on 36 p kuupmeetrit.

Ülesanne 3 Kahe kera raadiused on 25 dm ja 29 dm ning keskpunktidevaheline kaugus 36 dm. Leida nende kerade lõikeringi pindala. Lahendus Q R r d r O A Tähistame ühe kera raadiuse sümboliga r, teise raadiuse sümboliga R, keskpunktidevahelise kauguse sümboliga d ja lõikeringi raadiuse sümboliga r. Kolmnurga OQA pindala kõrvaloleval joonisel saame leida Heroni valemi abil:

Lahendus (II) Sama kolmnurga pindala on teisest küljest pool aluse ja kõrguse korrutisest: (1) Heroni valemi abil leiame pindala arvulise väärtuse: Valemi (1) abil on nüüd leitav ringi raadius r: Ringi pinalaks saame

Ülesanne 4 Püramiidi põhjaks on ristkülik, mille pikem külg on a. Püramiidi kaks külgtahku on põhitahuga risti, kaks ülejäänud külgtahku aga moodustavad põhjaga vastavalt nurgad 30° ja 45°. Avaldada püramiidi kõige pikem külgserv. E Lahendus 30° D a C 45° A a B Täisnurksest kolmnurgast CDE saame leida püramiidi kõrguse:

Lahendus (II) E D 30° a 45° A C Täisnurksest kolmnurgast CBE avaldame püramiidi põhjaks oleva ristküliku teise külje BC: B Täisnurksest kolmnurgast ABC saame nüüd Pythagorase teoreemi abil leida ristkülikukujulisepõhja diagonaali AC:

Lahendus (III) E D 30° a 45° A Vastus C Püramiidi pikima külgserva AE saame nüüd leida täisnurksest kolmnurgast AEC: B Püramiidi pikim külgserv on

Ülesanne 5 Silindri ja koonuse põhjapindalad, täispindalad ja ruumalad on vastavalt võrdsed. Leidke silindri ja koonuse külgpindalade suhe. Lahendus Tähistame sümbolitega rk, hk, ja mk koonuse raadiuse, kõrguse ja moodustaja ning sümbolitega rs ja hs silindri raadiuse ja kõrguse. rs mk hs hk rk (1)

Lahendus (II) Võrdsustades põhjapindalad, saame seose millest järeldub, et (2) Võrdsustades ruumalad, saame millest omakorda järeldub seose (2) tõttu, et (3)

Lahendus (III) Võrdsustades täispindalad, saame millest järeldub seose (2) põhjal, et millest omakorda järeldub seose (3) tõttu (4) Võttes viimase võrduse vasakul ja paremalpool võrdusmärki olevad avaldised ruutu, saame

Lahendus (IV) Kuna viimatisaadud võrrandi ja võrrandi (1) vasakud pooled ühtivad, peavad võrdsed olema ka paremad pooled: millest avaldame rk: (5)

Lahendus (V) Nüüd avaldame silindri ja koonuse külgpindalade suhte: Vastus. Silindri ja koonuse külgpindalade suhe on 8/13.

Ülesanne 6 Püströöptahuka põhjaks on rööpkülik, mille üks nurk on 30°. Rööptahuka põhja pindala on 4 dm 2 ja kahe külgtahu pindala vastavalt 6 dm 2 ja 12 dm 2. Leida rööptahuka ruumala. Lahendus Tähistame rööptahuka põhja servad sümbolitega a ja b ning kõrguse tähega h. h 30° a b Põhjaks oleva rööpküliku pindala leidmiseks saame siis kasutada valemit Ülesande tingimuse kohaselt on see 4 dm 2 ja seetõttu saame võrrandi (1)

Lahendus (II) Püströöptahuka on ristkülikud kõrgusega h ja laiusega a või b. Ristküliku pindala valemit rakendades saame veel kaks võrrandit a, b ja h suhtes: (2) (3) Korrutame nende võrrandite vasakud ja paremad pooled ning kasutame seost (1), saame: millest leiame Kuna rööptahuka põhja pindala on teada, siis polegi vaja teisi tundmatuid (a ja b) määrata.

Lahendus (III) Püströöptahuka ruumala valemi kohaselt saame: Vastus. Püströöptahka ruumala on 12 dm 3.