Stereologie 6 Vybran metody pro zjiovn parametr struktury

Stereologie 6. Vybrané metody pro zjišťování parametrů struktury 2 D objektů 2018

Bodová metoda pro určování velikostí plošných obsahů Na počátku třicátých let ukázali Glagolev a Thomsom, že plošné obsahy dvojrozměrných obrazců je možné určit sledováním nula-rozměrných řezů obrazce. Podobná metoda byla nezávisle zavedena v roce 1943 Chalkleyem v biologii. Metodu vysvětlíme na následujícím příkladě: Představme si referenční oblast Ω a v ní obsaženou část objektu B, viz obr. Úkolem je odhadnout velikost plošného obsahu B obsaženého v oblasti Ω pomocí náhodných nula-rozměrných řezů. V dvojrozměrném prostoru se nachází oblast Ω a v ní je obsažena část objektu B, které je vyznačena šrafovaně.

Začněme úvahou o podmíněné pravděpodobnosti p neprázdného průniku rovnoměrně náhodného nula-rozměrného řezu oblasti Ω s objektem B. Pro tuto pravděpodobnost zřejmě platí Plošný obsah oblasti Ω jsme zde označili S(Ω) a plošný obsah části objektu B, která je podmnožinou Ω, jsme označili S(B). Provedeme-li n měření, získáme ihned Veličina I=[n. p] je počet neprázdných průniků nula-rozměrných řezů a části . Celý postup můžeme usnadnit tím, že uvažujeme testovací systém s bodovými sondami, který pokládáme na studovaný objekt vždy tak, že mřížka základních oblastí beze zbytku obsahuje oblast Ω.

Použití testovacího systému s bodovými sondami pro zjišťování plošného obsahu dvojrozměrných objektů ležících uvnitř referenční oblast Ω. Potom n má význam, celkového počtu sond testovacího systému uvnitř oblasti Ω a I má význam počtu sond uvnitř Poměrový odhad lze jednoduchou manipulací odvodit

Buffonova úloha a její důsledky; určování délky křivky v 2 d V tomto odstavci ukážeme, jak lze délku L(B) křivky B odhadovat z počtu jejích průsečíků I se skupinou rovnoběžných ekvidistantně vzdálených přímek. Ukážeme, že platí kde d je vzdálenost rovnoběžek. Ptejme se po pravděpodobnosti p(I), s jakou vybraná úsečka (tzv. Buffonova jehla) j délky L(j) rovnoměrně náhodně orientovaná i umístěná v rovině protne osnovu rovnoběžných přímek. Vzdálenost mezi přímkami je označena d a platí L(j) < d. Pravděpodobnost průniku Právě polovina ekvidistantně testovacího systému rovnoběžek s jehlou j posunutých jehel na obrázku protne osnovu záleží na jejím úhlu natočení Θ. rovnoběžek. V obrázku platí Θ=90 o, L(j)=d/2.

Úlohu začněme řešit tím, že zvolíme nejprve pevnou vzájemnou orientaci přímek a jehly. Nechť je jehla kolmá k přímkám. Pravděpodobnost průniku p, je pak dána hodnotou L(j)/d. To plyne z následujícího: Je-li délka jehly rovna vzdálenosti přímek, L(j) = d, pak hodnota pravděpodobnosti p, = d/d = 1. Je-li L(j) < d, například L(j) = d/2, pak výslednou pravděpodobnost určíme postupem naznačeným v obr. 8. 2. 2. Počet zvolených možností, jak umístit jehly mezi nebližší přímky je úměrný „d“. Sedmá možnost naznačená přerušovanou čarou by již byla opakováním téže situace, jakou představuje nejníže položená jehla. Počet případů, kdy jehla protne přímku na obrázku je 3. Počet těchto případů je úměrný L(j). Hodnota pravděpodobnosti průniku p, (I) je tedy p, (I) = L(j)/d = 3/6.

Pro obecný pevný úhel Θ, který by svírala jehla s přímkami lze předešlou úlohu zopakovat. Místo délky jehly L(j) však v úvaze bude vystupovat projekce její délky x do směru kolmého k přímkám. Pravděpodobnost průniku je pak rovna x/d = L(j) (sin Θ)/d. Třetím a posledním krokem k vyřešení Buffonovy úlohy je uvažovat o všech isotropních orientacích jehly. Z úvah o střední hodnotě vzhledem k rovnoměrně náhodné orientaci jehly plyne Důsledkem řešení Buffonovovy úlohy je možnost zjišťovat délku křivek z počtu průniků s testovacím systémem rovnoběžných čar. Abychom toto mohli blíže vysvětlit, je nutné provést jednu myšlenkovou operaci se studovanou křivkou.

Představme si, že libovolnou křivku můžeme rozdělit na krátké rovné úseky o stejné délce. Délku úseků budeme značit stejně jako délku Buffonovy jehly L(j). Požadujme, aby délka jednotlivých úseků L(j) byla menší než vzdálenost přímek v testovacím systému. Celkový počet rovných úseků, které skládají původní křivku, je n. Tato představa je znázorněna na obrázku

O křivce rozdělené výše uvedeným způsobem můžeme tvrdit, že se skládá z n Buffonových jehel. Proto počet průniků I(B) křivky B s testovacím systémem bude roven n násobku pravděpodobnosti p vystupující v rovnici. Nyní si stačí všimnout, že součin n. L(j) na pravé straně rovnice je roven délce křivky B. Délku jsme předem označili L(B). Odtud úpravou získáme což je vztah uvedený na začátku tohoto odstavce. Vztah platí pro isotropní vlákenný systém nebo pro isotropní orientace testovacího systému osnovy přímek.

Určování počtu izolovaných částí objektu v 2 d Pro odhad počtu izolovaných částí objektu v jednotkové ploše dvojrozměrného prostoru užíváme testovací systém s vylučovací čarou [2]. Sonda A tohoto systému je dvojrozměrná, zpravidla ve tvaru obdélníka. Její plošný obsah označme S(A). Vylučovací čára (linie) je pak nekonečná, spojitá, dvakrát zalomená linie procházející částí hranice sondy A, jmenovitě dvěma sousedními stranami obdélníka, viz obr. Popsanou sondu s vylučovací čarou umístíme translačně symetricky do mříže základních oblastí, tím vznikne testovací systém.

Samotné zjišťování počtu izolovaných částí objektu v jednotkové plošné oblasti NA provádíme podle následujících pravidel: -Sečteme všechny izolované části studovaného dvojrozměrného objektu, které mají neprázdný průnik se sondou a prázdný průnik s vylučovací linií téže sondy. Jejich počet označíme Q. -Postup opakujeme pro každou sondu testovacího systému a pro jeho náhodné polohy. Počet částic v jednotkové ploše NA pak odhadujeme dle relace kde je střední počet izolovaných částí objektu připadajících na sondu testovacího systému.

Popis anizotropie rovinných vlákenných systémů Anizotropie je vlastnost, kterou se označuje závislost určité veličiny na volbě směru. S rovinnými vlákennými systémy se při analýze textilních materiálů střetáváme velmi často. Jsou to například pavučiny, tenká rouna, listy, spleti, tkaniny a pleteniny. Rovinnými vlákennými systémy jsou také projekce tenkých vrstev objemných textilií. Cílem tohoto odstavce je vybudování jednoduché grafické metody pro hodnocení anizotropie rovinných vlákenných systémů. Jakou charakteristiku anizotropie vybrat? To je otázka, na kterou se pokusíme odpovědět nejprve. Poté se budeme věnovat způsobu, jak ji naměřit. Představme si niť o celkové délce L umístěnou v rovině. Anizotropií takovéhoto objektu rozumíme tu skutečnost, že do stejně velkých intervalů úhlu ( ) nesměřují úseky nitě stejné celkové délky.

Charakteristikou anizotropie je úhlová hustota délek nitě f(β). Tato hustota určuje délku úseků nitě L(β, Δβ) směřujících do úhlového rozmezí pomocí relace kde L je celková délka nitě. Funkce f(β) se někdy označuje jako směrová růžice nebo texturní funkce. Levá část obrázku představuje niť o celkové délce L. Do intervalu úhlů (β 1 - Δβ /2, β 1 + Δβ /2), směřují ty úseky nitě, které jsou označeny ---. Do intervalu (β 2 - Δβ /2 , β 2 + Δβ /2 ) směřuje úsek označený. . . Celková délka plných a čárkovaných úseků je obecně různá.

Nyní se budeme zabývat experimentální metodou umožňující odhadnout f(β). Nejjednodušší postup vedoucí k vytčenému cíli se zdá ten, který je zachycen na obr. 8. 4. 2. Nejprve určíme, ve kterém místě má niť největší křivost. Pak ve stejném místě zvolíme malý úsek, který můžeme považovat za natolik rovný, že směr nitě v úseku obsažený se téměř neliší od směru nejkratší spojnice krajních bodů úseku. Na úseky stejné délky, jako je tento, rozdělíme celý čárový systém (niť). U každého úseku musíme určit hodnotu β. Hledanou charakteristiku (například veličinu L(β, Δβ)) zjistíme roztříděním úseků podle hodnoty β a sečtením jejich délek v každém zvoleném intervalu úhlů Určení charakteristik anizotropie rozdělením čárového systému( nitě) na malé rovné úseky.

Popis anizotropie rovinných vlákenných systémů Směrová růžice Snadno nahlédneme, že experimentální realizace výše popsaného postupu je časově velmi náročná. Navíc právě popsaný postup není zcela objektivní vzhledem k procesu výběru nejkratšího téměř rovného úseku. Proto se používá efektivnějšího a objektivnějšího postupu vedoucího ke zjištění tzv. průsečíkové růžice. Účinnost této metody je však zaplacena tím, že získaná charakteristika anizotropie - průsečíková růžice - není v jednoduché relaci k růžici směrové. Průsečíkovou růžici naměříme postupem uvedeným na následujících obrázcích obrazcích. Směrovou růžici z růžice průsečíkové získáme grafickou konstrukcí.

Síť úhlů: Ramena sítě Jsou stejně dlouhá. Průsečíky sítě se Studovaným vlákenným objektem a) Přes studovanou strukturu přeložte síť úhlů β 1, β 2, . . . . β n ; n ≤ 18, narýsovanou na transparentní fólii. Omezení na n ≤ 18 doporučují autoři této metody. Při vyšší hodnotě n než 18 jsou získané výsledky – tj. směrové růžice - velmi citlivé na malé změny vstupních dat. Metoda není pro n > 18 dostatečně stabilní. b) Zjistěte počty průsečíků sítě úhlů se sledovanou strukturou v jednotlivých směrech. Toto měření opakujte v různých místech zkoumaného objektu.

c) Hodnoty počtů průsečíků vynášejte do polárního diagramu. Polární diagram počtu průsečíků přitom pootočte oproti síti úhlů o /2. Tento diagram počtu průsečíků se nazývá průsečíková růžice. d) Vztyčte kolmice v koncových bodech polárního diagramu. Kolmice vymezí v rovině mnohoúhelník. Mnohoúhelník musí být konvexní a středově symetrický. Nazývá se Steinerův kompakt. e) Vzdálenost vrcholů mnohoúhelníka určuje hodnoty texturní funkce pro směry souhlasné se směry odpovídajících stran Steinerova kompaktu. ¨ f) Podle pravidla e) zkonstruujte směrovou růžici. Výsledná konstrukce je znázorněna na obr. :