Steigung und lineare Funktionen 1 Der Begriff der

Steigung und lineare Funktionen 1. Der Begriff der Steigung In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn. . . Bestimmen Sie die Steigung der Rampe und der beiden Seilbahnen.

Steigung; Steigungsdreiecke m = 2/10 = 1/5 m = 550 / 2200 = 1/4 - m = 500 / 1000 = 1 / 2 m = -500 / 1000 = -1 / 2

Positive und negative Steigung Bergfahrt n. r. = „nach rechts“, n. o. = „nach oben“, n. u. = „nach unten“ Talfahrt Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler

Definition der Steigung Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler!

Steigungsdreiecke in Anwendungen Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0. 4 = 40%: • gebogen als Serpentinenstrasse • aufgewickelt als Schraubenlinie • sich selbst durchdringend als Kehrtunnel

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen Lösungen: 3/2 = 1. 5 7/5 = 1. 4 -1/7 -1/5 = -0. 2 -3/1 = -3

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Lösungen: A(2 | -1) B(4 | 2) C(1 | 5) D(-4 | 6) E(-3 | 3) F(-4 | -2)

3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate a) Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und b) der y-Koordinate bei folgenden Punkten? (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) b) Tragen Sie diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) Gesetz: y = 2 x + 1 Das Funktionsgesetz y = 2 x + 1 ist gewissermassen der „Member-Code“ für die Mitgliedschaft eines Punktes P(x | y) bei der rosa gezeichneten Geraden g. Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g. Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1) Gesetz: y = 2 x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.

4. Funktionen: Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d. h. das „Gesetz“, das zwischen xund y-Koordinate gelten soll. Beispiel: Funktionsgleichung: a) Erstellen Sie eine Wertetabelle: 1. x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2. ------------------------------3. y | b) 1. Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f. Wie sieht dieser Graph aus?

1. x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2. -------------------------------3. y | 0 2. 6 3. 5 3. 9 4 3. 9 3. 5 2. 6 0 Der Graph stellt einen Halbkreis dar. Bemerkung: Als x-Werte kommen hier nur Werte zwischen -4 und +4 in Frage. Man sagt, die Funktion habe den Definitionsbereich [-4; 4]. Die y-Werte bewegen sich nur zwischen 0 und 4. Man sagt, die Funktion habe den Wertebereich [0; 4].

5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen: Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:

Lösungen

Erkenntnisse: y=mx+q m = Steigungszahl q = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.

Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenen Funktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zu müssen? Beispiel: 1. Schritt: Steigungszahl als Bruch notieren: 2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit der y-Achse, d. h. bei Q(0 | 5): 3. Schritt: Steigungsdreieck zeichnen: 5 nach rechts, 2 nach unten. Gerade g fertig zeichnen.

6. Zusammenfassung Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und der y-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb „gebundene Variable“. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig. Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungszahl m und y-Achsenabschnitt q, d. h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q). Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen („Member-Code“), liegen auf dem Graphen der Funktion. Steigung _____