STATSTK II rnekleme Dallar Tahminleyicilerin zellikleri 1 statistiksel

İSTATİSTİK II Örnekleme Dağılışları & Tahminleyicilerin Özellikleri 1

İstatistiksel Yöntemler 2

Yorumlayıcı İstatistikler • 1. İçeriği: – Tahminleme – Hipotez Testleri • 2. Anakütle? Amaç – Anakütlenin karakteristiği hakkında yorumlamalar (genellemeler) yapmak. 3

Yorumlama (Çıkarım) Süreci 4

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle 5

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle Örnek 6

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Anakütle Örnek istatistiği (X ) Örnek 7

Yorumlama (Çıkarım) Süreci Tahminler & testler Örnek istatistiği (X ) Anakütle Örnek 8

Tesadüfi Örnekleme • Eğer bir anakütleden n birimi tesadüfi (rastgele) olarak çekersek, anakütleden çekilecek her n birimlik örnek, aynı olasılıkla çekilmiş olacaktır ve bu çekime tesadüfi örnekleme denir. • Bir anakütleden tesadüfi çekim iadeli veya iadesiz olarak yapılabilir. • Örneklemede iadesiz çekim en iyisidir. 9

Tanım Ortalamanın Örnekleme Dağılışı Her biri n hacimli örneklerin örnek ortalamalarının olasılık dağılışıdır. 10

Örnekleme Dağılışı • 1. Teorik olasılık dağılışı. • 2. Şans değişkeni Örnek İstatistiğidir. – Örnek ortalaması, örnek oranı vs. • 3. Sabit bir hacimli tüm olası örneklerin alındığını varsayalım. • 4. Tüm olası [ X, P( X) ] ikilileri – Ortalamanın Örnekleme Dağılışı 11

Otomobilin Kat Ettiği Mesafe Örnek Olayı Yeni bir otomobil modelinden 6 adet deneme üretimi yapılmış ve tüketim değerleri (mpg) için aşağıdaki veriler elde edilmiş olsun. 12

Örnek Ortalamalarının Dağılışı n = 2 otomobillik örnekler alınsın ve bunların ortalamasının dağılışını bulalım. 13

14

Örnek • Bir anakütle varsayalım. . • Anakütle hacmi, N = 4 • Şans değişkeni, X, kişilerin bir işteki hata sayısı olsun. • x’in değerleri: 1, 2, 3, 4 • Her değerin olasılığı eşit olsun. • İki kişilik örnekler ile gerçek ortalama m’yü tahmin edelim. © 1984 -1994 T/Maker Co. 15

Anakütle Karakteristikleri Anakütle dağılışı 16

n = 2 hacimli tüm olası örnekler 16 Örnek Yerine koyularak örnekleme 17

n = 2 hacimli tüm olası örnekler 16 Örnek Ortalaması Yerine koyularak örnekleme 18

Tüm Örnek Ortalamalarının Örnekleme Dağılışı 16 Örneğin Ortalaması Örnekleme Dağılışı 19

Karşılaştırma Anakütle Örnekleme Dağılışı 20

Ortalamanın Standart Hatası • 1. Tüm olası örnek ortalamaları X’ların standart sapması • 2. Anakütle standart sapmasından küçüktür. 21

Ortalamanın Standart Hatası • 1. Tüm olası örnek ortalamaları X’ların standart sapması • 2. Anakütle standart sapmasından küçüktür. • 3. Formülü (İadeli Örnekleme) 22

Yerine koymadan örnekleme n > 0. 05 N ise x = n N-1 Sonlu anakütle Düzeltme faktörü 23

X-bar’ın Beklenen Değeri • • • “Hatırlatma” E(X+Y) = E(X) + E(Y) Buradan 24

X-bar’ın Varyansı • “Hatırlatma” Bağımsız X ve Y için – Var(X + Y) = Var(X) + Var (Y) • • • Buradan “Hatırlatma” Buradan 25

Tahminleyiciler • 1. Bir anakütle parametresini tahminlemek için kullanılan şans değişkenleridir. – Örnek ortalaması, örnek oranı, örnek standart sapması • 2. Örnek: Örnek ortalaması X , anakütle ortalaması ’nün bir tahminleyicisidir. – Eğer X = 3 ise; 3, ’nün tahminidir. 26

Tahminleyicilerin Özellikleri - 1. Sapmasızlık (Yansızlık) 2. Minimum Varyans (Etkinlik) - Örnek ortalaması bu iki özelliği de sağlamaktadır. 27

{ Sapmasız ve Sapmalı Tahminleyiciler Sapmasız tahminleyici Sapmalı tahminleyici 28

Etkinlik Etkin tahminleyici Etkin olmayan tahminleyici 29

Ortalamanın Örnekleme Dağılışının Özellikleri • 1. Sapmasızlık (Yansızlık) – Örnekleme dağılışının beklenen değeri gerçek ortalamaya eşittir. • 2. Etkinlik (minimum varyans) – Örnek ortalamasının varyansı diğer bir sapmasız tahminleyicinin varyansından küçüktür. 30

Sapmasızlık (Yansızlık) Sapmasız Sapmalı 31

Etkinlik Ortalamanın örnekleme dağılışı Medyanın örnekleme dağılışı 32

Örnek Hacmi büyüdükçe tahminleyicinin varyansı küçülür. Büyük örnek hacimli durum Küçük örnek hacimli durum 33

Normal dağılış gösteren bir anakütleden örnekleme • Merkezi eğilim Anakütle dağılışı • Yayılma Örnekleme dağılışı n=4 X = 5 n =16 X = 2. 5 34

Örnek • Telekom’da çalışan bir uzman, uzun zaman yaptığı gözlemlerden, telefon konuşma sürelerinin = 8 dk. ve = 2 dk. olan normal dağılış gösterdiğini belirlemiştir. 25 görüşme rasgele seçilirse, örnek ortalamasının 7. 8 ile 8. 2 dakika arasında çıkması olasılığı nedir? © 1984 -1994 T/Maker Co. 35

Çözüm Örnekleme dağılışı Standart Normal Dağılış . 3830. 1915 36

Normal olmayan dağılışlardan örnekleme • Merkezi eğilim Anakütle dağılışı • Yayılma Örnekleme dağılışı – Yerine koyarak örnekleme n=4 X = 5 n =30 X = 1. 8 37

Merkezi limit teoremi Örnek hacmi yeterince büyükse (n 30). . . 38

Merkezi limit teoremi Örnek hacmi yeterince büyükse (n 30). . . Örnekleme dağılışı hemen normal olur. 39

Merkezi limit teoremi Örnek hacmi yeterince büyükse (n 30). . . Örnekleme dağılışı hemen normal olur. 40

Merkezi limit teoremi 1. x şans değişkeninin, ortalaması µ ve standart sapması olan bir dağılışı olsun. 2. n hacimli örnekler şans örneği olsun. 41

Merkezi limit teoremi 1. Örnek ortalaması x ‘ın dağılışı, örnek hacmi arttıkça bir normal dağılışa yaklaşır. 2. Örnek ortalamalarının ortalaması, anakütle ortalaması µ’ye eşit olur. 3. Örnek ortalamalarının standart sapması / olur. 42

Otomobilin Kat Ettiği Mesafe Örnek Olayı – Tüm Üretim Süreci • Otomobillerin seri üretime geçtiğini varsayalım. • Üretim devamlı olacağı için anakütlenin hacmi sonsuz kabul edilebilir. • Gerçek ortalama tüketimin 31. 6 olduğunu kabul edelim (Not: Gerçekte bu değer bilinmez ve tahmin edilmek istenir. ) • Kat edilen mesafelerin standart sapması σ = 0. 8 olsun. 43

44

45

46

47

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? 48

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? 150 x = 143 x = 29 = 4. 83333 36 49

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı nedir? z = 150 -143 = 1. 45 29 36 0. 4265 x = 143 x = 4. 83333 0 150 1. 45 50

Örnek: Kadınlardan oluşan bir anakütlede ortalama ağırlık 143 lb ve standart sapma 29 lb’dir. Eğer 36 değişik kadın rasgele seçilirse, bunların ortalamasının 150 lb’den büyük olması olasılığı 0. 0735 dir. P(x > 150) = 0. 0735 z = 150 -143 = 1. 45 29 36 0. 5 - 0. 4265 = 0. 0735 0. 4265 x = 143 x = 4. 83333 0 150 1. 45 51

Örnek Oranının Örnekleme Dağılışı • 52

Örnek Oranının Standartlaştırılması 53

ÖRNEK 54

ÖRNEK 55

ÖRNEK 56

Krem Peynir Örnek Olayı • Bir gıda işleme firması, «kolay akıtan» bir ağızlığa sahip plastik ambalaj içinde krem peynir pazarlamaktadır. • Yeni ve ucuz bir ağızlık kullanılmak istenmektedir. • Bundan dolayı kaybedilecek müşteri oranı yüzde 10’dan az olursa, karın artacağı düşünülmektedir. • Tesadüfi olarak seçilen 1000 müşteriden (yeni ağızlıklı ürünü denedikten sonra) 63’ü bu yeni ağızlıklı ürünü almayacağını belirtmiştir. • Oranın yüzde 10’dan az olduğuna dair şu an elimizde delil var. Delilin güvenilirliğini belirlemek için örnek oranının örnekleme dağılışını bilmeye gereksinimimiz var. 57