STATSTK II Hipotez Testleri 2 1 Hipotez Testleri

İSTATİSTİK II Hipotez Testleri - 2 1

Hipotez Testleri - 2 1 İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Bağımsız ve Büyük Örnekler 2 İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Bağımsız ve Küçük Örnekler 3 İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Eşleştirilmiş Örnekler 4 İki Anakütle Oranı Arasındaki Farkın Testi 2

İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Bağımsız ve Büyük Örnekler 3

Tanımlar Bağımsız İki Örnek Bir anakütleden seçilen örnek değerleri, diğer bir anakütleden seçilen örnek değerleri ile ilişkisizdir veya bir şekilde eşleşmemiştir. Bir örnekteki değerler, diğer bir örnekteki değerler ile ilişkili ise, bu tür örnekler bağımlıdır. Böyle örneklere eşleştirilmiş örnekler denir. 4

Varsayımlar 1. İki örnek bağımsızdır. 2. İki örnek de büyüktür. Yani, n 1 >= 30 ve n 2 >= 30. Bu varsayım sağlanmadığında s 1 ve s biliniyor ve her iki anakütlenin dağılışı da normal olmalıdır. 3. Her iki örnek basit şans örneği olmalıdır. 5

Örnekleme Dağılışı 6

Hipotezler • H 0: m 1 – m 2 = 0 • H 1: m 1 – m 2 ≠ 0 (Çift Taraflı Test) • H 0: m 1 – m 2 = 0 • H 1: m 1 – m 2 > 0 (Tek Taraflı Test) • H 0: m 1 – m 2 = 0 • H 1: m 1 – m 2 < 0 (Tek Taraflı Test) 7

Test İstatistiği z = (x 1 - x 2) 2. 1 n 1 2 2 + n 2 s 1, s 2 bilinmediğinde, n 1 >= 30 ve n 2 >= 30 ise, 8

Coca Cola Pepsi’ye Karşı İki kola markası Coca Cola ve Pepsinin kutulu ürünlerinin içerik ağırlıklarını (pound) karşılaştırmak için her iki üründen şans örnekleri alınmış ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. 0. 01 önem seviyesinde, Coca Cola’ların ortalama ağırlıklarının, Pepsi’lerin ortalama ağırlıklarından farklı olup olmadığını araştırınız. Coca Cola Pepsi n 36 36 x 0. 81682 0. 82410 s 0. 007507 0. 005701 9

Coca Cola Pepsi’ye Karşı İddia: 1 2 Ho : 1 = 2 H 1 : 1 2 = 0. 01 H 0 ret Z = - 2. 575 H 0 reddedilemez 1 - = 0 H 0 ret Z = 2. 575 or Z = 0 10

Coca Cola Pepsi’ye Karşı z = (0. 81682 - 0. 82410) 0. 0075707 2 36 + 0. 005701 2 36 = - 4. 63 11

Coca Cola Pepsi’ye Karşı İddia: 1 2 Ho : 1 = 2 H 1 : 1 2 = 0. 01 H 0 ret Örnek verisi: z = - 4. 63 Z = - 2. 575 H 0 reddedilemez 1 - = 0 H 0 ret Z = 2. 575 or Z = 0 12

Coca Cola Pepsi’ye Karşı İddia: 1 2 Ho : 1 = 2 H 1 : 1 2 Coca Cola’nın ortalama kutu içerik ağırlıkları, Pepsi’nin ortalama kutu içerik ağırlıklarından anlamlı derecede farklıdır. = 0. 01 H 0 ret Örnek verisi: z = - 4. 63 Z = - 2. 575 H 0 reddedilemez 1 - = 0 H 0 ret Z = 2. 575 or Z = 0 13

İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Bağımsız ve Küçük Örnekler 14

Varsayımlar 1. 2. 3. 4. İki örnek de basit şans örneğidir ve bağımsızdır. Anakütlelerin dağılışı normaldir ve örneklerin en az biri 30’un altındadır. s 1 ve s 2 bilinmemektedir. s 1 = s 2. 15

Örnekleme Dağılışı serbestlik derecesi = n 1 + n 2 – 2 16

Örnek • Bir aracı kurumda çalışan bir finansal analistten, iki hisse senedinin ortalama fiyatlarının aynı olup olmadığını araştırması istenmiştir. Kapanış fiyatlarından, aşağıdaki veriler elde edilmiştir. A Hisse S. • Gün 21 • Ortalama 3. 27 • Std Sapma 1. 30 B Hisse S. 25 2. 53 1. 16 • Aynı standart sapmalı, normal dağılış varsayımıyla, ortalama kapanış fiyatları aynı kabul edilebilir mi? ( =. 05) © 1984 -1994 T/Maker Co. 17

Çözüm • H 0: 1 - 2 = 0 ( 1 = 2) • H 1: 1 - 2 0 ( 1 2) . 05 • df 21 + 25 - 2 = 44 • Kritik Değerler Test İstatistiği: Karar: Sonuç: 18

Çözüm • H 0: 1 - 2 = 0 ( 1 = 2) • H 1: 1 - 2 0 ( 1 2) . 05 • df 21 + 25 - 2 = 44 • Kritik Değerler Test İstatistiği: Karar: Sonuç: 19

Çözüm 20

Çözüm • H 0: 1 - 2 = 0 ( 1 = 2) • H 1: 1 - 2 0 ( 1 2) . 05 • df 21 + 25 - 2 = 44 • Kritik Değerler Test İstatistiği: Karar: 2. 0154 < 2. 03 H 0 ret Sonuç: Ortalamalar arasında anlamlı bir fark vardır. 21

İki Anakütle Ortalaması Arasındaki Farkın Testi: Eşleştirilmiş Örnekler 22

Varsayımlar 1. Örnek verileri eşleştirilmiştir. 2. Örnekler, basit şans örnekleridir. 3. Eşleştirilmiş veri sayısı küçük ise (n < 30 ise), eşleşmiş verilerin farklarının dağılışı normal olmak zorundadır. 23

Notasyon µd = eşleştirilmiş verilerin farklarının (d’ler) anakütlesi için ortalama değer. d = eşleştirilmiş örnek verilerinin farkları d’lerin ortalaması. (x - y değerlerinin ortalamasına eşittir) sd = eşleştirilmiş örnek verilerinin farkları d’ler için standart sapma. n = eşleştirilmiş veri sayısı. 24

Kritik Değerler n < 30 ise, kritik değerler t dağılışından bulunur. n >= 30 ise, kritik değerler normal dağılıştan bulunur. 25

Örnek • Bir Pazar araştırmaları uzmanı • (1) (2) müşterisinin bir ürününün Mağaza Müşteri Rakip d satışları ile rakibinin aynı ürününün satışlarını 10 11 -1 karşılaştırmak istemektedir. • 1 • 2 8 11 -3 Bunun için rastgele 8 perakende satış mağazası seçilmiş ve 3 7 10 -3 yandaki veriler elde edilmiştir. 4 9 12 -3 • müşterinin ortalama satışları, 5 11 11 0 rakip firma ortalama 10 13 -3 satışlarından daha az mıdır? a = 6 0. 01 için araştırınız. 7 9 12 -3 8 8 10 -2 26

Çözüm • H 0: D = 0 ( D = 1 - 2) • Ha: D < 0 =. 01 t • sd = 8 - 1 = 7 • Kritik değer t , n-1 = t 0. 01, 7 = 2. 998 Reject . 01 -2. 998 0 t Test İstatistiği: d 2. 25 0 5. 486 SD 1. 16 n. D 8 Karar: Ho Ret Sonuç: Müşterinin satışları rakibinden azdır. 27

İki Anakütle Oranı Arasındaki Farkın Testi 28

Varsayımlar 1. İki bağımsız basit şans örneğinden elde edilmiş oranlara sahibiz. 2. Her iki örnek için, np 5 ve nq 5 koşulları sağlanmıştır. 29

Notasyon Anakütle 1 için: π1 = anakütle oranı n 1 = örnek büyüklüğü x 1 = örnekteki başarı sayısı p 1 = x 1/n 1 (örnek oranı) q 1 = 1 - p 1 Anakütle 2 için aynı tanımlamalar sırasıyla π2, n 2 , x 2 , p 2. and q 2 , için de geçerlidir. 30

Oranlar Arasındaki Farkın Örnekleme Dağılışı 31

Hipotezler H 0 π1 - π 2 = 0 π 1 - π 2 0 H 1 π 1 - π 2 0 π 1 - π 2 < 0 π 1 - π 2 > 0 32

Test İstatistiği 33

Örnek • Bir firmanın personel müdürü, firmada kullanılmış olan iki ayrı performans değerlendirme yönteminin ne kadar adil olduğu ile ilgili olarak çalışanların algılamalarını ölçmüştür. Yöntem 1’i değerlendiren 78 çalışandan 63’ü bu yöntemi adil bulmuştur. Yöntem 2’yi değerlendiren 82 çalışandan 49’u bu yöntemi adil bulmuştur. 0. 01 önem düzeyinde, çalışanların algılamaları arasında fark olup olmadığını test ediniz. 34

Çözüm • H 0: π1 - π2 = 0 • H 1: π1 - π2 0 =. 01 • n 1 = 78 n 2 = 82 • Kritik değerler Test İstatistiği: Karar: Sonuç: 35

Çözüm 36

Çözüm • H 0: π1 - π 2 = 0 • H 1: π 1 - π 2 0 =. 01 • n 1 = 78 n 1 = 82 • Kritik Değerler: Test İstatistiği: Karar: H 0 Ret Sonuç: İki performans değerlendirme yönteminin adilliğine dair algılamaların oranları farklıdır. 37