Statisztikai folyamatszablyozs DR TTH ZSUZSANNA ESZTER MENEDZSMENT S

Statisztikai folyamatszabályozás DR. TÓTH ZSUZSANNA ESZTER MENEDZSMENT ÉS VÁLLALATGAZDASÁGTAN TANSZÉK ÜZLETI TUDOMÁNYOK INTÉZET GAZDASÁG- ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM FORRÁS: ERDEI J. , MINŐSÉGMENEDZSMENT MÓDSZEREK (SPC) 1

Mai menetrend • Szabályozás ellenőrzőkártyákkal – Rövid ismétlés – Tipikus mintázatok – Mintavételi megfontolások – Átlagos sorozathossz – Tipikus méréses kártyák – Tipikus minősítéses kártyák 2

Szabályozottság vs. szabályozatlanság Szabályozatlan Szabályozott rendszer 3

Ellenőrzőkártyás szabályozás Döntés a beavatkozásról A szabályozott jellemző és a beavatkozási határok egybevetése Szabályozott jellemző képzése Technológiai-és termékjellemzők mérése Beavatkozás a technológiai folyamat belső törvényszerűségeinek ismeretében 4

Példa Személetesebb, ha nem a próbastatisztikára, hanem az átlagra adjuk meg az elfogadási tartományt: Alsó beavatkozási határ Felső beavatkozási határ (LCL) (UCL) Ha az átlagérték az elfogadási tartományon kívülre esik, elutasítjuk a nullhipotézist! 5

Kártyák működésének elvi alapjai FTH FBH ATH 6

Beavatkozási határok tervezése FTH FBH ATH 7

Beavatkozási határok számolása A számítás gyakorlati menete Szükséges alapadatok: Számolandó: 3σ-ás modell - a célállapot statisztikai jellemzői - ABH, FBH 0 0 0 FABH (x), M=( középérték ), D ( ) …. - 3·szórás beavatkozási - elsőfajú hiba, határok FBH = középérték + 3·szórás - mintaszám, n - a ß-hoz kapcsolódó alternatív - ß, másodfajú hiba „Kényelmes”, de vigyázzunk a -ra!!! (zavar) állapot statisztikai jellemzői F 1(x), M 1( ), D 1( ) …. 8

OC görbe 9

Kártyák használatának előnyei • Növeli a termelékenységet • Segít a folyamatot szabályozott állapotban tartani • Megakadályozza a felesleges folyamat (gép) állítgatásokat • Információt ad a folyamat (gép) állapotáról • Információt ad a folyamatképességelemzésekhez 10

Ellenőrzőkártya vázlata FBH UCL LCL ABH 11

Ellenőrzőkártyák fajtái • Minősítéses kártyák – np-kártya (selejtszám) – c-kártya (hibaszám) – p-kártya (selejtarány) – u-kártya (fajlagos hibaszám) • Méréses kártyák – egyedi érték kártya – mozgó terjedelem kártya – átlag, medián kártya – szórás, szórásnégyzet, terjedelem kártya • Egyéb speciális kártyák 12

Kártyák használata • A mérendő változó meghatározása • Mintaelemszám meghatározása • Előzetes mintavétel a paraméterek becslésére • Határok számolása, ábrázolás • Kártya alkalmazása 13

„Mintázatok” • Egy pont az A zónán kívül • 9 egymás utáni pont a középső vonal egyik oldalán helyezkedik el. • 6 egymás utáni pont egyirányú menetet mutat. • 14 egymás utáni pont le-föl ingadozik. • 3 egymás utáni pont közül 2 az A zónában vagy azon kívül van. 14

„Mintázatok” folyt. • 5 egymás utáni pont közül 4 a B zónába vagy azon kívülre esik • 15 egymást követő pont a C zónában van. • 8 egymást követő pont a C zónán kívül. 15

Mintavétel Általános szabály: az alcsoport homogén legyen, ne legyen benne középértéket befolyásoló hatás. 16

Mintavétel helye* *: Forrás: QS 9000 Statistical Process Control (SPC) kézikönyv 17

Még mindig a mintavételről* *: Forrás: QS 9000 Statistical Process Control (SPC) kézikönyv 18

ARL meghatározása ARL = Average Run Length, várható sorozathossz Szabályozott állapotban: ARL= 1/α Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1 -ß) 19

ARL számolása α = 0, 0527 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 18, 97 ß = 0, 6289 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1 -ß) = 2, 69 3σ-ás modell α = 0, 0046 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 217, 39 ß = 0, 8894 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1 -ß) = 9, 04 20

μ=250 g σ=1 g Δ=μ 1 -μ 0=A·σ n A μ 1 5 -2 248 5 5 5 10 10 ß ARL 1 7, 472 1 0, 9295 0, 0705 1, 076 -1, 5 248, 5 6, 354 -0, 354 1 0, 6383 0, 367 1, 566 5, 236 -0, 764 1 0, 2224 0, 7776 4, 496 4, 118 -1, 882 0, 999998 0, 02992 0, 97 33, 44 9, 324 3, 324 1 0, 999556 0, 0012 1, 001 7, 743 1 0, 959333 0, 0407 1, 042 6, 162 0, 162 1 0, 564347 0, 4364 1, 776 4, 581 -1, 418 1 0, 078095 0, 9208 12, 63 -1 249 -0, 5 249, 5 -2 248 -1, 5 248, 5 -1 249 -0, 5 249, 5 21

MÉRÉSES ELLENŐRZŐKÁRTYÁK

Méréses ellenőrzőkártyák alkalmazása • • • A legtöbb folyamat és ezek végterméke rendelkezik mérhető jellemzőkkel; egy mennyiségi érték (pl. „az átmérő 16, 45 mm”) több információt tartalmaz, mint egyszerű igen-nem minősítés (pl. „az átmérő a tűrésen belül van”); kevesebb darabot kell ellenőrizni, hogy több információhoz jussunk a folyamatról, így egyes esetekben a teljes mérési költség alacsonyabb lehet; a darabok gyártása és a javító beavatkozás közötti idő gyakran lerövidíthető; a fejlődés mennyiségileg meghatározható. 23

Méréses ellenőrzőkártyák szerkesztése • Előzetes adatfelvétel – Az eloszlás paramétereinek a becslése • Gyártásközi ellenőrzés – A folyamat azonos-e azzal a folyamattal, amit az előzetes adatfelvétellel rögzítettünk • Külső előírások 24

Egyedi érték kártya (Mozgó terjedelem kártya) • • • Szakaszos technológia „Lassú” gyártás Automatikus (100%-os) ellenőrzés Drága a mérés Termékjellemző 25

Egyedi érték kártya Ingadozás mérése a mozgó terjedelmekkel történik. n=2 26

Mozgó terjedelem kártya A kártya paraméterei: 27

Egyedi érték – mozgó terjedelem kártya i 1 2 2 3 4 X 1 5 6 7 8 0 1 2 MRi i Mozgó terjedelem kártya 3 4 5 248, 49 - 249, 84 1, 35 250, 39 0, 55 249, 96 0, 43 250, 08 0, 12 250, 04 250, 50 0, 46 6249, 95 7 8 9 10 11 12 130, 55 14 15 16 17 18 19 20 9 MR 249, 57 10 250, 09 0, 52 11 251, 86 1, 77 12 251, 32 0, 54 13 250, 94 0, 38 14 250, 63 0, 31 15 252, 21 1, 58 16 250, 83 1, 38 17 250, 61 0, 22 18 250, 64 0, 03 19 250, 64 0, 00 20 249, 88 0, 76 CL UCL 0, 38 LCL 28

i Xi 248, 49 Egyedi 1 2 252. 5 3 4 MRi érték- kártya 249, 84 1, 35 251. 5 250, 39 0, 55 251 249, 96 0, 43 250, 08 0, 12 6 249. 5 250, 04 7 248. 5 250, 50 0, 46 8 248 5 9 252 250. 5 249 1 2 3 249, 95 4 5 249, 57 6 7 8 Egyedi értékek 0, 55 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0, 38 CL 10 250, 09 0, 52 11 251, 86 1, 77 12 251, 32 0, 54 13 250, 94 0, 38 14 250, 63 0, 31 15 252, 21 1, 58 16 250, 83 1, 38 17 250, 61 0, 22 18 250, 64 0, 03 19 250, 64 0, 00 20 249, 88 0, 76 UCL LCL 29

Átlag-kártya használata • Több elemű mintát tudunk venni. • Ha viszonylag nagyobb eltérések várhatók. • Kis eltérések nem okoznak nagy gondot. • Mintavételi költség viszonylag alacsony. • A folyamat nem trend v. ciklikus jellegű. 30

Átlag-kártya lépései 1. A mérendő változó meghatározása 2. A minta elemszám meghatározása 3. A folyamateloszlás paramétereinek előzetes becslése a minta elemszám meghatározásához 4. Előzetes adatfelvétel az eloszlás paramétereinek becslésére, ehhez megfelelő kártya kombináció választása 5. Adatok ábrázolása, középvonal, beavatkozási határok számítása, instabilitás vizsgálata 6. Gyártásközi ellenőrzés, ha az előzetes adatfelvétel alapján stabilnak bizonyult. 7. A gyártásközi ellenőrzésnek a gyártással egy időben kell folynia 31

Variancia becslése terjedelemből Terjedelem-kártya (R-bar chart) 32

átlag medián terjedelem 1 250, 118 250, 15 1, 95 2 249, 632 249, 84 3 250, 452 250, 23 4 249, 954 249, 77 5 249, 546 249, 09 6 250, 158 250, 06 7 250, 078 249, 61 8 249, 026 249, 16 9 249, 74 249, 59 10 249, 19 249, 08 2, 76 11 250, 18 250, 08 1, 96 0, 6990 0, 4886 12 249, 768 249, 46 2, 73 1, 0676 1, 1399 13 250, 256 250, 36 2, 9 1, 0311 1, 0631 14 250, 268 250, 26 1, 25 0, 5110 0, 2611 15 251, 008 250, 75 2, 45 0, 9514 0, 9051 16 249, 97 249, 93 1, 56 0, 5879 0, 3456 17 249, 718 249, 65 3, 4 1, 3549 1, 8357 18 250, 284 250, 38 0, 93 0, 4132 0, 1707 19 250, 248 250, 11 1, 09 0, 4790 0, 2294 20 249, 51 249, 43 2, 03 0, 7347 0, 5397 átlag 249, 955 249, 850 2, 333 5 4 3 2 1 33 szórásnégyzet 0, 7353 0, 5407 1, 4 0, 5806 0, 3371 1, 63 0, 7087 0, 5022 2, 95 1, 3671 1, 8688 3, 96 1, 6910 2, 8596 2, 16 0, 8974 0, 8053 2, 21 0, 8196 0, 6717 Terjedelem-kártya 1, 2968 1, 6818 3, 48 6 0 szórás 1 2 3 3, 85 4 5 6 7 8 9 1, 4082 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Terjedelem 1, 0285 0, 9181 1, 9830 Rátl UCL 1, 0578 0, 9643 LCL

Átlag-kártya (x-bar chart) 34

átlag medián terjedelem szórásnégyzet 1 250, 118 250, 15 1, 95 0, 7353 0, 5407 2 249, 632 249, 84 3, 48 1, 2968 1, 6818 3 250, 452 250, 23 1, 4 0, 5806 0, 3371 4 249, 954 249, 77 1, 63 0, 7087 0, 5022 5 249, 546 249, 09 2, 95 1, 3671 1, 8688 6 250, 158 250, 06 3, 96 1, 6910 2, 8596 7 250, 078 249, 61 2, 16 0, 8974 0, 8053 8 249, 026 249, 16 2, 21 0, 8196 0, 6717 9 249, 74 249, 59 3, 85 1, 4082 1, 9830 10 249, 19 249, 08 2, 76 1, 0285 1, 0578 11 250, 18 250, 08 1, 96 0, 6990 0, 4886 12 249, 768 249, 46 2, 73 1, 0676 1, 1399 13 250, 256 250, 36 14 250, 268 15 251, 008 16 249, 97 17 249, 718 18 250, 284 19 250, 248 20 249, 51 átlag 249, 955 252 250, 26 251. 5 251 250, 75 250 249, 93 249. 5 249, 65 249 248. 5 250, 38 247. 5 250, 11 247 1 2 249, 43 249, 850 Átlag-kártya 2, 9 1, 0311 3 4 5 1, 25 0, 5110 0, 2611 2, 45 0, 9514 0, 9051 1, 56 0, 5879 0, 3456 3, 4 1, 3549 1, 8357 0, 93 0, 4132 0, 1707 1, 09 0, 4790 0, 2294 6 7 2, 03 2, 333 Átlag 35 1, 0631 8 9 10 110, 7347 12 13 14 15 16 17 180, 5397 19 20 UCL 0, 9181 LCL CL 0, 9643

Medián kártya Mediánok átlaga 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 átlag Medián kártya 252 251. 5 251 250. 5 250 249. 5 249 248. 5 248 247. 5 247 1 2 3 4 5 6 Medián 7 átlag 250, 118 249, 632 250, 452 249, 954 249, 546 250, 158 250, 078 249, 026 249, 74 249, 19 250, 18 249, 768 250, 256 250, 268 251, 008 249, 97 249, 718 250, 284 250, 248 249, 51 249, 955 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 CL UCL LCL 36 medián 250, 15 249, 84 250, 23 249, 77 249, 09 250, 06 249, 61 249, 16 249, 59 249, 08 250, 08 249, 46 250, 36 250, 26 250, 75 249, 93 249, 65 250, 38 250, 11 249, 43 249, 850 terjedelem 1, 95 3, 48 1, 4 1, 63 2, 95 3, 96 2, 16 2, 21 3, 85 2, 76 1, 96 2, 73 2, 9 1, 25 2, 45 1, 56 3, 4 0, 93 1, 09 2, 03 2, 333

átlag szórásnégyzet 1 250, 118 0, 5407 2 249, 632 1, 6818 3 250, 452 0, 3371 4 249, 954 0, 5022 5 249, 546 1, 8688 6 250, 158 2, 8596 7 250, 078 0, 8053 8 249, 026 0, 6717 9 249, 74 1, 9830 10 249, 19 1, 0578 11 250, 18 0, 4886 12 249, 768 1, 1399 13 250, 256 1, 0631 14 250, 268 0, 2611 15 251, 008 0, 9051 16 249, 97 0, 3456 17 249, 718 1, 8357 18 250, 284 0, 1707 19 250, 248 0, 2294 20 249, 51 0, 5397 átlag 249, 955 0, 9643 Átlag-szórásnégyzet kártya átlagkártya szórásnégyzet kártya 37

átlag szórásnégyzet 1 250, 118 0, 5407 2 249, 632 1, 6818 3 250, 452 0, 3371 4 249, 954 0, 5022 5 249, 546 1, 8688 6 250, 158 2, 8596 7 250, 078 0, 8053 8 249, 026 0, 6717 9 249, 74 1, 9830 10 249, 19 1, 0578 11 250, 18 0, 4886 12 249, 768 1, 1399 13 250, 256 1, 0631 14 250, 268 0, 2611 15 251, 008 0, 9051 16 249, 97 0, 3456 17 249, 718 1, 8357 18 250, 284 0, 1707 19 250, 248 0, 2294 20 249, 51 0, 5397 átlag 249, 955 0, 9643 Átlag-szórásnégyzet kártya Szórásnégyzet kártya 5. 00 4. 50 4. 00 3. 50 3. 00 2. 50 2. 00 1. 50 1. 00 0. 50 0. 00 1 2 3 4 5 6 7 8 Szórásnégyzet 38 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 UCL CL LCL

átlag szórásnégyzet 1 250, 118 0, 5407 2 249, 632 1, 6818 3 250, 452 0, 3371 4 249, 954 0, 5022 5 249, 546 1, 8688 6 250, 158 2, 8596 7 250, 078 0, 8053 8 249, 026 0, 6717 9 249, 74 1, 9830 10 249, 19 1, 0578 11 250, 18 0, 4886 12 249, 768 1, 1399 13 250, 256 1, 0631 14 250, 268 0, 2611 15 251, 008 0, 9051 16 249, 97 0, 3456 17 249, 718 1, 8357 18 250, 284 0, 1707 19 250, 248 0, 2294 20 249, 51 0, 5397 átlag 249, 955 0, 9643 Átlag-szórásnégyzet kártya Átlag-kártya 251. 5 251 250. 5 250 249. 5 249 248. 5 248 1 2 39 3 4 5 6 átlag 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 CL UCL LCL

Homogén a folyamat, ill. nem lehet csoportot képezni I X-MR „Könnyen”lehet N Me az átlagot számolni? n>9 N Átl. -R N „Könnyen”lehet I a szórást számolni? 40 Átl. -s

CUSUM kártya • Shewhart kártyák csak az utolsó pont információját használják, s nem veszik figyelembe a pontok sorozatát. • Ezért „mintázatokat” figyelünk, de túl sok „mintát” kell egyszerre vizsgálni. • Kis elmozdulás (<1, 5 ) észlelésére használjuk a CUSUM v. az EWMA kártyákat. 41

CUSUM A CUSUM kártyán az eltérések összegét ábrázoljuk a mintaszám függvényében. 42

CUSUM 43

CUSUM: számolási mód Táblázatos v. grafikus eljárás (A táblázatost is lehet grafikusan ábrázolni. ld. pl. Minitab ) Egyoldali v. kétoldali próbát végzünk. 44

CUSUM: táblázatos Valójában két egyoldali próbát végzünk minden egyes pontban. Kiszámítjuk az 45

CUSUM: táblázatos Beavatkozási határok: ABH(LCL) = -h / n FBH(UCL) = h / n h értéke általában 4 v. 5 Számolási példa 46

CUSUM grafikus Kétoldali próbát végzünk. A minták T-től való eltéréseit összegezzük, s ezt ábrázoljuk a sorszám függvényében. A beavatkozási határokat az ún. V-maszkkal adjuk meg. 47

CUSUM: V-maszk paraméterei Qi d i 48

CUSUM használata • • • kis eltérések kimutatására drága a mintavétel hosszantartó folyamat, variancia állandó ha a változás viszonylag hosszan fennáll ha tudni akarjuk, hogy mikor következett be a változás 49

Sávos ellenőrzőkártya Egyesíti az átlag és a cusum kártya előnyeit. 50

51

52

MINŐSÍTÉSES ELLENŐRZŐKÁRTYÁK

Minősítéses ellenőrzőkártyák • A folyamat bonyolult, a termék minőségét azzal lehet jellemezni, hogy vannak-e hibaféleségek, működik vagy nem működik • A folyamatot szabályozni kell, de nincs mérési lehetőség • A vezetésnek képet kell alkotnia, kevésbé költséges, mint a méréses ellenőrzés 54

np-kártya • • • A vizsgált jellemző: p selejtarány, a hibás darabok száma az egész sokaság elemeinek a számához viszonyítva p becslése a mintabeli selejtarány: Azt, hogy egy n elemű mintában véletlen kiválasztással hány selejteset találunk, a binomiális eloszlás írja le. 55

np-kártya Egy gépen gyártott csapágygolyókból félóránként 50 np-kártya elemű mintát veszünk. A selejtes darabok száma (np): 12 Időpont 8: 00 8: 30 9: 00 9: 30 np 0 5 3 7 10 8 6 10: 00 10: 30 11: 00 11: 30 5 5 4 8 4 Időpont 12: 00 12: 30 13: 00 13: 302 14: 00 14: 30 15: 00 np 0 5 3 7 0 5 1 2 3 5 4 5 Átlagos selejtszám: 4, 625 (=74/16) = CL 56 np 6 4 7 8 LCL 15: 30 9 8 10 UCL 11 12 13 CL 14 15 16

p-kártya selejtarány a selejtszámhoz hasonlóan binomiális eloszlást követ. 57

p-kártya 0. 25 0. 2 0. 15 Egy gépen gyártott csapágygolyókból félóránként 50 elemű mintát veszünk. A selejtes darabok száma: 0. 1 0. 05 Időpont 8: 00 8: 30 9: 00 9: 30 np 0 5 3 7 5 Időpont 12: 00 12: 30 13: 00 13: 30 14: 00 14: 30 15: 00 15: 30 np 0 5 3 7 5 8 58 0 10: 00 1 2 10: 30 4 5 3 5 5 p 6 11: 00 7 8 4 CL 4 9 11: 30 10 11 8 UCL 12 LCL 13 14 15 16

Mintaszám meghatározása Ha a mintavételezés nem 100%-os: • Ha p kicsi n-nek elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy nagy valószínűséggel a nemmegfelelő termékek száma>1. • n-nek elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy legalább 50% valószínűséggel kimutasson egy adott mértékű eltolódást a folyamatban • Ha p kicsi n-nek olyan nagynak kell lennie, hogy LCL>1 59

c-kártya Poisson eloszlás! A folyamat λ paraméterének becslésére a minta átlagos hibaszámát kapjuk. 60

Példa Egy autógyárban gyártott ajtókon átlagosan 2 festési hiba van. Hány ajtó tartozzék egy mintába, hogy az alsó beavatkozási határ pozitív érték legyen? Számítsuk ki a kártya paramétereit! r- egy mintába tartozó ajtók száma, a mintánkénti átlagos hibaszám 2 r, az alsó beavatkozási határ: 61

C-kártya 25 Példa 20 15 Minta hiba 10 1 17 5 2 14 0 3 10 4 13 5 7 6 12 7 17 8 12 9 16 10 2 1 2 3 4 Hiba átlag 62 5 CL 6 7 UCL 8 LCL 9 10

u-kártya 63

u-kártya Előzetes adatfelvételnél 5, egyenként 1, 1 m 2 -es ajtó festési hibáit számolták le, ez egy minta. 20 ilyen mintából becsülték a folyamat λ paraméterét. A mintánkénti hibaszámot átlagosan 7, 2 -nek találták. A gyártásközi ellenőrzést különböző felületű ajtókon kell végezni, minden egyes ajtót megvizsgálva. 64

Nem egyenlő mintaszám • Minden mintához saját beavatkozási határt számolunk. • A határokat az átlagos mintaszámmal számoljuk ki. • Több határt használunk egy kártyán. • Standardizáljuk a valószínűségi változót. 65

Egyedi határok 66

Több határ n=50 n=150 n= 250 67

Standardizálás (p-kártya) 68

Vége! Ennek a tárgynak. . . 69

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET! TÓTH ZSUZSANNA ESZTER MENEDZSMENT ÉS VÁLLALATGAZDASÁGTAN TANSZÉK ÜZLETI TUDOMÁNYOK INTÉZET GAZDASÁG- ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM tothzs@mvt. bme. hu