Statistika Statistick soubor jednotka znak Statistick soubor a

Statistika Statistický soubor, jednotka, znak.

Statistický soubor a znak • Pro statistiku je charakteristické zkoumání jevů na dostatečně rozsáhlém souboru případů a hledá ty vlastnosti jevů, které se projevují v souboru případů. • Výchozím pojmem je statistický soubor a jeho prvky se nazývají statistické jednotky. • Statistické jednotky vyšetřujeme z hlediska zvoleného znaku. • Znak, jehož hodnoty se liší číselnou velikostí se nazývá kvantitativní znak. • Znak, jehož hodnoty se liší kvalitou, se nazývá kvalitativní znak. Příklad kvantitativného znaku: výška postavy, hrubý roční příjem Příklad kvalitativního znaku: národnost, pohlaví, povolání. Kvalitativní znak, který může nabývat pouze dvou variant, nazýváme alternativní znak. (pohlaví)

Jméno ◄Statistický znak Statistická jednotka▼ Statistický soubor 170 188 176 ◄Hodnota znaku

Rozdělení četností a jeho grafické znázornění •

Příklad 1. • • Při 20 ti hodech kostkou padla čísla 2, 4, 5, 6, 5, 2, 5, 2, 6, 4, 5, 5, 3 , 4, 2, 6 Sestavte četnosti a relativní četnosti do tabulky. • Mimo matematiku se relativní četnosti udávají v procentech. 1 2 3 4 5 6 0 5 1 4 6 4 0, 00 0, 25 0, 05 0, 2 0, 3 0, 2

Příklad 2 • Ve vzorku 500 diváků je znakem sledovaný televizní program v neděli večer ČT 1, ČT 2, TV NOVA, PRIMA Program ČT 1 ČT 2 TV NOVA PRIMA Četnost 130 80 110 0, 16 0, 36 0, 22 Relativní 0, 26 četnost

Sloupkový diagram neboli histogram

Kruhový diagram

Spojnicový diagram neboli polygon

U skupiny 12 dětí bylo sledováno, kterým barvám hraček dávají přednost. Získaná data byla graficky znázorněna. Výsledek pozorování: červená, žlutá, zelená, žlutá, červená, zelená, červená, modrá, zelená, žlutá, červená. barva Absolutní četnost Relativní četnost červená 5 42 žlutá 3 25 zelená 3 25 modrá 1 8 celkem 12 1 100

Charakteristiky polohy (úrovně) a variability(proměnlivosti) charakteristika polohy (úrovně) znaku je číslo, kolem kterého jsou naměřené hodnoty rozloženy • znak v dalších úvahách bude znamenat vždy kvantitativní znak • nejčastěji užívanou charakteristikou polohy znaku x je aritmetický průměr tj. součet hodnot znaku, zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru • Počítáme-li aritmetický průměr z tabulky rozdělení četností, musíme ovšem každou hodnotu násobit její četností. Hovoříme pak o váženém aritmetickém průměru.

Pomocí aritmetického průměru lze charakterizovat soubor tehdy, pokud všechny hodnoty mají stejnou důležitost – váhu a mezi hodnotami znaku se nevyskytují extrémně nízké nebo extrémně vysoké hodnoty. Příklady, kdy obvykle používáme aritmetický průměr: - průměrný počet zameškaných hodin na žáka v průběhu školního roku - průměrná denní spotřeba pohonných hmot u podnikových aut Příklady, kdy není vhodné používat aritmetický průměr - hodnocení nárůstu, výnosu… Výsledek získaný AP by měl mít praktický smysl nebo výpovědní hodnotu. Např. můžeme sice vypočítat průměrnou roční teplotu na Borneu a v Grónsku, ale číslo nebude mít výpovědní hodnotu, protože se jedná o teplotně výrazně odlišné oblasti.

Aritmetický průměr • Máme čtyři třídy, označené A, B, C, D, počty žáků a průměrné známky z matematiky. Určete průměrnou známku z matematiky ve všech třídách. třída A B C D Průměrná známka z matematiky 2, 21 1, 82 2, 33 2, 11 Počet žáků 28 24 32 30

Aritmetický průměr • V souboru 200 lidí se zkoumala průměrná výška postavy. Údaje jsou zachyceny v první tabulce. Druhá tabulka nám ukazuje hodnoty téhož intervalu zaokrouhleného na střed. Vysvětlení: Mění-li se hodnoty kvantitativního znaku po příliš pomalých krocích nebo je hodnot příliš mnoho, sdružujeme je do intervalů. Každý interval je určen horní a dolní hranicí, intervaly mají stejnou délku a střed je pokud možno celé číslo. • Výška 158 -162 163 -167 168 -172 173 -177 178 -182 183 -187 188 -192 v cm četnost 9 20 36 82 35 14 4 Výška v 160 cm 165 170 175 180 185 190 četnost 20 36 82 35 14 4 9

Aritmetický průměr • Podle údajů z předchozího příkladu, vypočítejte průměrnou výšku postavy. Výpočty jsou provedeny s hodnotami zaokrouhlenými na střed intervalů.

Nejčastěji se setkáváme s případy, kde je váhou hodnot jejich (absolutní) četnost. Příklad: Chovatel andulek si zaznamenal počty snesených vajíček u samiček andulek ve svém chovu. Údaje jsou zaznamenány v tabulce: Počet vajíček 4 5 6 7 8 9 10 Počet andulek 5 6 2 3 2 1 1

Geometrický průměr Příklad: V průběhu let proběhlo několikrát zdražení využívané služby. Poprvé na dvojnásobek, poté na trojnásobek a nakonec na čtyřnásobek. Jaké bylo celkové zdražení? Jaké bylo průměrné zdražení? Úvaha: Je celkové zdražení možno vypočítat následovně? Tedy 2+3+4 =9? Je celkové zdražení 9 ti násobek původní ceny? Pak by ovšem průměrné zdražení muselo být 3.

Pokračování příkladu Pokud naše cena byla např. 100, - Kč, pak po prvním zdražení by vzrostla na 200, - Kč (2. 100), po druhém zdražení by vzrostla na 600, - Kč (3. 200), a po třetím zdražení by vzrostla na 2400, - Kč (4. 600). Tedy celkové zdražení je 24 násobek původní ceny.

Geometrický průměr • Tam, kde jsou individuální odchylky systematické například v časových řadách, kde data vyjadřují určitý trend, (vývoj v čase) je zajímavější ukazatel průměrný přírůstek (úbytek) nebo průměrné tempo růstu. • Jednotlivá období, která sledujeme očíslujeme 0, 1, 2…, n. Jim odpovídající hodnoty znaků jsou x 0, , x 1, x 2…, xn. Pak přírůstky za jednotlivá období označíme: • Průměrný přírůstek, je • Průměrným tempem růstu je myšlen průměr podílů za dvě po sobě následující období, tedy podílů

Příklad k průměrnému přírůstku •

Geometrický průměr – průměrné tempo růstu • Za průměr volíme geometrický průměr • Hodnoty růstu se obvykle udávají v procentech. Jsou-li např. v pěti po sobě jdoucích letech rovny hodnotám: 101, 3; 108, 5; 100, 6; 104, 2; 102, 1 • pak je průměrné roční tempo růstu vyjádřeno:

Vývoj kurzu eura vůči české koruně ve dnech 14. – 17. dubna 2015 je zaznamenán v tabulce (údaje jsou v Kč). Jaký byl průměrný denní procentuální nárůst ceny eura v daném období? 14. dubna 15. dubna 16. dubna 17. dubna 27, 345 27, 415 27, 485

Další důležité pojmy • Mod(x)= modus znaku x – hodnota x s největší četností • Med(x)= medián znaku x – prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty x 1, x 2, …xn uspořádány podle velikosti • Med(x) = , je-li n liché • Med(x) = , je-li n sudé např. máme-li hodnoty znaku x: 1, 3, 5, 8, 4, musíme je nejprve seřadit - 1, 3, 4, 5, 8 med(x) = tj. hodnota 4 • jsou-li hodnoty znaku x: 1, 2, 5, 7, 9, 10 med(x) = tj. sečteme třetí a čtvrtý člen a vydělíme dvěma, tedy (5+7) : 2 = 6

Modus značíme Mod (x). Medián značíme Med(x) Příklad. Tabulka zachycuje věkové složení členů turistického oddílu. Věk 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Počet členů 6 6 0 10 18 15 15 7 2 0 1 Jaký je modus věku členů turistického oddílu? Mod(x) = 64

Směrodatná odchylka • Směrodatná odchylka: = 0, 03

Procento- procentní bod Příklad: Každého závodu se účastní 100 lidí. První závod dokončilo 10 % lidí v čase pod 40 minut. Druhý závod dokončilo v čase pod 40 minut 15 % lidí. O kolik procent více lidí dokončilo druhý závod pod 40 minut? Svadí to říct o 5 %. Ale… První závod dokončilo pod 40 minut 10 lidí (10 % ze 100). Druhý závod 15 lidí (15 % ze 100). Nárůst je tedy o 5 lidí; a 5 lidí je o polovinu více, než v prvním závodě. Druhý závod tedy dokončilo v čase pod 40 minut o 50 % více lidí (50 % = polovina). Podle zadání příkladů je nárůst doběhnuvších pod 40 minut 50%. A pokud se nám nechce ani trochu počítat, můžeme říct, že nárůst je 5 procentních bodů. Pozor však, aby to nesvádělo k tomu, že procentních bodů je vždy desetkrát méně (v příkladu máme 50% nárůst a rozdíl 5 procentních bodů). Pokud bychom počty změnili na 20 % v prvním závodě a na 30 % ve druhém závodě, nárůst bude pořád 50%, ale rozdíl bude 10 procentních bodů.