STATISTIKA Pertemuan 6 Deret Berkala dan Peramalan Dosen

STATISTIKA Pertemuan 6: Deret Berkala dan Peramalan Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S. Si, M. Si

Materi Hari Ini n Pendahuluan n Metode analisis trend n n Metode semi rata-rata Metode kuadrat terkecil

Pendahuluan [1] n Deret berkala – Time series n n Sekumpulan data yang dicatat dalam beberapa periode waktu Digunakan untuk meramalkan kondisi masa mendatang Dalam jangka pendek (kurang dari 1 tahun ) atau jangka panjang (lebih dari 3 tahun) Berguna untuk penyusunan recana (perusahaan dan negara)

Pendahuluan [2] n Deret berkala mempunyai empat komponen : n n Tren – kecenderungan (T) Variasi musim (S) Variasi siklus (C) Variasi yang tidak tetap – irregular variation (I) Deret Berkala Biasa Dinyatakan Y=Tx. Sx. Cx. I

Tren - Kecenderungan n n Tren n Merupakan suatu gerakan kecenderungan naik atau turun dalam jangka panjang yang diperoleh dari rata-rata perubahan dari waktu ke waktu dan nilainya cukup rata atau mulus Bentuk tren n Tren positif = tren meningkat Y = a + b. X n Tren negatif = tren menurun Y = a – b. X

Bentuk Tren positif Tren negatif

Metode Analisa Tren n n Metode semi rata – rata ( Semi average method) Metode kuadrat terkecil ( Least square method) Metode tren kuadratis ( Quadratic trend method) Metode tren eksponensial ( Exponential trend method)

Metode Semi Rata - rata n n Dengan cara mencari rata – rata kelompok data Langkah : n n n Kelompokan data menjadi dua kelompok Hitung rata – rata hitung dan letakkan di tengah kelompok ( K 1 dan K 2). Nilai yang dihasilkan menjadi nilai konstanta (a) dan letak tahun merupakan tahun dasar Hitung selisih K 2 – K 1 n n K 2 – K 1 > 0 = Tren positif K 2 – K 1 < 0 = Tren negatif

n Tentukan nilai perubah tren (b) dengan cara : b= n n Y 2 – Y 1 th dasar 2 – th dasar 1 Persamaan tren ; Y’ = a + b. X Untuk mengetahui besarnya tren, masukan nilai (X) pada persamaan Untuk data ganjil, data (tahun) tengah dapat dihilangkan atau dihitung dua kali

Contoh: Data Ganjil Tahun Produksi budidaya Rata 2 Nilai X tahun dasar 2002 2006 2000 150 -2 -6 2001 140 -1 -5 2002 125 0 -4 2003 110 1 -3 2004 130 2 -2 2005 150 3 -1 2006 156 4 0 2007 160 5 1 2008 168 6 2 131. 0 152. 8 Untuk Nilai (a) -2002 = 131. 0 -2006 = 152. 8 Untuk Nilai (b) = (152. 8 – 131. 0)/ (2006 – 2002) = 5. 45

n Maka persamaan tren n Tahun dasar 2002 Y’ = 131+ 5. 45 X Tahun dasar 2006 Y’ = 152. 8 + 5. 45 X Peramalan tahun 2009 n n Y’ 2002 = 131+ 5. 45 (7) = 169. 15 Y’ 2006= 152. 8 + 5. 45 (3) = 169. 15

Contoh: Data Genap Tahun Pelanggan 1996 4, 2 K 1 1997 5, 0 1998 Ratarata Nilai X th dasar 1997 Nilai X th dasar 2000 -1 -4 0 -3 5, 6 1 -2 1999 6, 1 2 -1 K 2 2000 6, 7 3 0 2001 7, 2 4 1 4, 93 6, 67 Y’ 1997 = 4, 93 + 0, 58 X b = (6, 67 – 4, 93)/2000 -1997 Y‘ 2000 = 6, 67 + 0, 58 X b = 0, 58

Metode Kuadrat Terkecil (OLS) n n n Dengan menentukan garis tren yang mempunyai jumlah terkecil dari kuadrat selisih data asli dengan data pada garis tren Persamaan ; Y’ = a + b. X Mencari nilai koefisien - utk tahun ganjil, koding X =. . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . - utk tahun genap, koding X=. . . . -5, - 3, -1, 1 , 3, 5, . .

Contoh Kasus Tahun Produksi budidaya (Y) 2000 150 2001 XY X² -4 (-4 x 150)= -600 (-4)2=16 140 -3 -420 9 2002 125 -2 -250 4 2003 110 -1 -110 1 2004 130 0 2005 150 1 2006 156 2 312 4 2007 160 3 480 9 2008 168 4 672 16 1289 0 234 60 Total Kode X (tahun) Persamaan tren Y’ = a + b. X Y’ = 143. 22+ 3. 9 X Peramalan tahun 2009 : X= 5 Maka : Y’ = 143. 22+ 3. 9 (5) =162. 72

Metode Tren Kuadratis n n n Digunakan untuk tren jangka panjang yang polanya tidak linier Maka digunakan metode tren kuadratis, persamaan : Y ‘= a + b. X + c. X 2 Nilai koefisien :

Metode Tren Kuadratis n Nilai koefisien :

Contoh Kasus Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Total produksi budidaya Y 150 140 125 110 130 156 160 168 1289 Kode X (tahun) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 XY (-4 x 150)= -600 -420 -250 -110 0 150 312 480 672 234 X² (-4)2=16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 X 2 Y X 4 (16 x 150)=2 400 (-4)4=256 1260 81 500 16 110 1 0 0 150 1 624 16 1440 81 2688 256 9172 708

n n Persamaan tren kuadratis Y’ = 130. 697 + 3. 9 X + 1. 88 X 2 Jadi Peramalan produksi budidaya untuk tahun 2009 (X = 5) adalah : Y’ = 130. 697 + 3. 9(5) + 1. 88(5)2 Y’=197. 2

Metode tren eksponensial n n n Suatu tren yang mempunyai pangkat atau eksponen dari waktu Bentuk persamaan : Y’ = a(1 + b)x Koefisien :

Contoh kasus Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Tota l produksi budidaya Y 150 140 125 110 130 156 160 168 1289 Kode X (tahun) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 X² ln Y X ln Y (-4)2=16 Ln(150)=5. 01 (-4)*5. 01=-20. 04 4. 94 -14. 82 9 4. 83 -9. 66 4 4. 70 -4. 70 1 4. 87 0. 00 0 5. 01 1 5. 05 10. 10 4 5. 08 15. 23 9 5. 12 20. 50 16 60 44. 61 1. 61

n n Persamaan tren eksponensial Y’ = a(1 + b)x Y’ = 142. 12 (1 + 0. 027)x Peramalan produksi budidaya tahun 2009 ( X =5 ), sebesar : Y’ = 142. 12 (1 + 0. 027)5 Y’= 162. 37

Memilih Persamaan Tren Terbaik n n n Dalam memilih metode tren yang terbaik dapat digunakan ukuran ketepatan Ukuran ketepatan adalah seberapa tepat sebuah alat peramalan tersebut menduga kejadian yang sebenarnya Kriteria yang digunakan yaitu ∑(Y – Y’)2 paling kecil atau SSE (Sum Square Error) terkecil

Memilih Tren yang baik Metode semi rata –rata ; Y‘ = 131 + 5. 45 X Tahun produksi budiday a Y X Y' Y - Y' (Y -Y')² 2000 150 -2 120 30 900. 00 2001 140 -1 126 14 196. 00 2002 125 0 131 -6 36. 00 2003 110 1 136 -26 676. 00 2004 130 2 142 -12 144. 00 2005 150 3 147 3 9. 00 2006 156 4 153 3 9. 00 2007 160 5 158 2 4. 00 2008 168 6 164 4 16. 00

Memilih Tren yang baik Metode kuadrat terkecil ; Y’ = 143. 22 + 3. 9 X Tahun Y X Y’ Y-Y’ (Y-Y’)2 2000 150 -4 127. 62 22. 38 500. 86 2001 140 -3 131. 52 8. 48 71. 91 2002 125 -2 135. 42 -10. 42 108. 58 2003 110 -1 139. 32 -29. 32 859. 66 2004 130 0 143. 22 -13. 22 174. 77 2005 150 1 147. 12 2. 88 8. 29 2006 156 2 151. 02 4. 98 24. 80 2007 160 3 154. 92 5. 08 25. 81 2008 168 4 158. 82 9. 18 84. 27 1289 0 Total 1858. 96

Memilih Tren yang baik Metode kuadratis ; Y’ = 130. 697 + 3. 9 X + 1. 88 X 2 Tahun Y X Y’ Y-Y’ (Y-Y’)2 2000 150 -4 145. 177 4. 823 23. 26 2001 140 -3 135. 917 4. 083 16. 67 2002 125 -2 130. 417 -5. 417 29. 34 2003 110 -1 128. 677 -18. 677 348. 83 2004 130 0 130. 697 -0. 697 0. 49 2005 150 1 136. 477 13. 523 182. 87 2006 156 2 146. 017 9. 983 99. 66 2007 160 3 159. 317 0. 683 0. 47 2008 168 4 176. 377 -8. 377 70. 17 1289 0 Total 771. 76

Memilih Tren yang baik Metode Eksponensial : Y’ = 142. 12 (1 + 0. 027)x Tahun Y X Y’ Y-Y’ (Y-Y’)2 2000 150 -4 127. 754 22. 24632 494. 90 2001 140 -3 131. 203 8. 796969 77. 39 2002 125 -2 134. 746 -9. 74551 94. 98 2003 110 -1 138. 384 -28. 3836 805. 63 2004 130 0 142. 120 -12. 12 146. 89 2005 150 1 145. 957 4. 04276 16. 34 2006 156 2 149. 898 6. 101915 37. 23 2007 160 3 153. 945 6. 054666 36. 66 2008 168 4 158. 102 9. 898142 97. 97 1289 0 Total 1808. 00

Memilih Tren yang baik n Kesimpulan : n n Tren semi rata – rata Tren Kuadrat terkecil Tren kuadratis Tren Eksponensial : 1990. 00 : 1858. 96 : 771. 76 : 1808. 00 Metode kuadratis yang lebih kecil, Jadi metode yang cocok untuk meramalkan produksi budidaya adalah metode kuadratis

Variasi Musiman n n Variasi musiman berhubungan dengan perubahan atau fluktuasi dalam musim-musim tertentu atau tahunan Fluktuasi dalam satuan n n Bulanan Triwulan/kuartal (per 3 bulan) Caturwulan (per 4 bulan) Semester (per 6 bulan) Jadi perubahan < 1 tahun

Metode Perhitungan Variasi Musim n n n Metode rata – rata sederhana Metode rata – rata dengan tren Metode rata – rata bergerak

Metode rata – rata sederhana n n Asumsi bahwa pengaruh tren dan siklus yang tidak beraturan tidak besar dan dapat dianggap tidak ada Indeks musim = [Rata-rata selama p x 100] / Rata-rata total n n Bila data dalam tahunan, maka p menunjukkan periode musiman. Misal, bulanan (p=12), triwulan (p=4), caturwulan(p=3), semester(p=2), dsb. Lihat contoh

Contoh kasus data tingkat produksi dalam caturwulan (p=3) Produksi Caturwulan Tahun ikan (ton) I II III 2009 63 25 20 18 2010 77 32 25 20 2011 75 23 32 20 2012 82 28 30 24 2013 89 31 33 25 2014 90 32 35 23 Total Rata-rata 476 171 175 130 79. 33 28. 50 29. 17 21. 67 Rata-rata total 26. 44 = 79. 33 / 3 Rata-rata caturwulan

Contoh kasus data tingkat produksi dalam 3 kuartal n n Menentukan indek musim n I = ( 28. 50 x 100 ) / 26. 44 = 107. 79 n II = ( 29. 17 x 100 ) / 26. 44 = 110. 32 n II = ( 21. 67 x 100 ) / 26. 44 = 81. 96 Jika direncanakan panen ikan tahun 2015 sebesar 120 ton, maka : n Rata-rata total setiap caturwulan = 120 / 3 = 40 ton n Maka untuk mencari target per caturwulan : = ( Indek musim x rata-rata total ) / 100

Contoh kasus data tingkat produksi dalam 3 caturwulan n Ramalan produksi per caturwulan tahun 2015 n n n I = ( 107. 79 x 40 ) / 100 = 43. 116 ton II = ( 110. 32 x 40 ) / 100 = 44. 128 ton III = ( 81. 96 x 40 ) / 100 = 32. 784 ton Perkiraan produksi ikan Setiap triwulan

Metode rata – rata dengan tren n Suatu metode rata – rata yang disesuaikan dengan tren Perbandingan antara nilai data asli dengan nilai tren Rumusan : Indeks musim = Nilai data asli x 100 Nilai tren

Persamaan Metode Rata – rata dengan Tren n Persamaan tren Y = a + b. X Koefisien a a = ∑Y / n Koefisien b b = ∑XY / ∑ X²

Contoh kasus : Y (Produksi Ikan) n Mula-mula, dapatkan persamaan trend untuk rata-rata cawu per tahun Tahun 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Total Rata 2 Y per cawu 21. 00 25. 67 25. 00 27. 33 29. 67 30. 00 158. 67 X -2. 5 -1. 5 -0. 5 1. 5 2. 5 Persamaan Y’ = 26. 445 + 1. 695 X 0 XY -52. 5 -38. 5 -12. 5 13. 67 44. 5 75 X 2 6. 25 2. 25 0. 25 2. 25 6. 25 29. 67 17. 5 Y’ 22. 21 23. 90 25. 60 27. 29 28. 99 30. 68 Nilai b menunjukkan kenaikan produksi setiap tahun, sehingga kenaikan setiap caturwulan adalah 1. 695/3=0. 565 ton. Ambil 2009 sebagai tahun dasar. Nilai ini menunjukkan rata-rata tren produksi pada pertengahan tahun 2009 (cawu 2 thn 2009), sehingga untuk menentukan tren produksi pada -cawu 1 2009=22. 21 -0. 565=21. 645 -cawu 3 2009=22. 21+0. 565=22. 775

n Nilai tren produksi setiap cawu Tren Caturwulan Data Asli (25/21. 645)*100 Indeks Musiman Tahun I II III 2009 21. 645 22. 21 22. 775 25 20 18 115. 50 90. 05 79. 03 2010 23. 335 23. 9 24. 465 32 25 20 137. 13 104. 60 81. 75 2011 25. 035 25. 6 26. 165 23 32 20 91. 87 125. 00 76. 44 2012 26. 725 27. 29 27. 855 28 30 24 104. 77 109. 93 86. 16 2013 28. 425 28. 99 29. 555 31 33 25 109. 06 113. 83 84. 59 2014 30. 115 30. 68 31. 245 32 35 23 106. 26 114. 08 73. 61 110. 77 109. 58 80. 26 Rata 2 Indeks musiman terkoreksi 110. 55 109. 36 80. 099 (110. 77)*0. 998 Total rata 2=110. 77+109. 58+80. 26=300. 61 Faktor Koreksi = (3 x 100)/300. 61=0. 998

Contoh kasus data tingkat produksi dalam 3 caturwulan n n Jika pada tahun 2015 ditargetkan produksi sebesar 120 ton, maka target per caturwulan adalah 120/3=40 ton Ramalan produksi per caturwulan tahun 2015 n n n I = ( 110. 55 x 40 ) / 100 = 44. 22 ton II = ( 109. 36 x 40 ) / 100 = 43. 744 ton III= ( 80. 099 x 40 ) / 100 = 32. 04 ton

Metode Rasio Rata – rata Bergerak n n Suatu metode yang dilakukan dengan cara membuat rata – rata bergerak Indeks musim rasio rata-rata bergerak : Indeks musim = Nilai ratio x faktor koreksi = Data asli / data rata-rata bergerak = (100 x p ) / jumlah rata-rata selama n

25 + 20 + 18 = 63 Tahun 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Cawu I II III I II III Total Rata 2 Y 25 20 18 32 25 20 23 32 20 28 30 24 31 33 25 32 35 23 476 26. 44 20+18+32=70 Total bergerak 3 Rata 2 bergerak 3 Cawu cawu 63 70 75 77 68 75 75 80 78 82 85 88 89 90 92 90 Indeks ratio 21. 00 23. 33 25. 00 25. 67 22. 67 25. 00 26. 67 26. 00 27. 33 28. 33 29. 67 30. 00 30. 67 30. 00 95. 24 77. 14 128. 00 97. 40 88. 24 92. 00 128. 00 75. 00 107. 69 109. 76 84. 71 105. 68 111. 24 83. 33 104. 35 116. 67 1277 425. 67 1604. 44 79. 81 26. 60 100. 28 (20 / 21) x 100

Contoh Kasus Tahun I 2009 2010 128 2011 92 2012 107. 69 2013 105. 68 2014 104. 35 Rata-rata 107. 54 Total rata-rata Faktor koreksi Caturwulan II III 95. 24 77. 14 97. 40 88. 24 128 75 109. 67 84. 71 111. 24 83. 33 116. 67 109. 70 298. 92 81. 68 1. 004 = (100 x 3 ) / 298. 92 Indeks musim : Caturwulan I = 107. 54 x 1. 004 = 107. 97 Caturwulan II = 109. 7 x 1. 004 = 110. 14 Caturwulan III = 81. 68 x 1. 004 = 82. 01

Contoh kasus data tingkat produksi dalam 3 caturwulan n n Jika pada tahun 2015 ditargetkan produksi sebesar 120 ton, maka target per caturwulan adalah 120/3=40 ton Ramalan produksi per caturwulan tahun 2015 n n n I = (107. 97 x 40 ) / 100 = 43. 188 ton II = ( 110. 14 x 40 ) / 100 = 44. 056 ton II = ( 82. 01 x 40 ) / 100 = 32. 804 ton

Contoh penentuan rata-rata bergerak Y (Data Asli) 25 20 18 32 25 20 23 32 20 28 30 24 31 33 25 32 35 23 Rata-rata bergerak per P=3 P=4 P=5 21. 00 23. 33 25. 00 25. 67 22. 67 25. 00 26. 67 26. 00 27. 33 28. 33 29. 67 30. 00 30. 67 30. 00 23. 75 25. 75 27. 50 25. 50 28. 25 29. 50 28. 25 30. 25 31. 25 28. 75 24. 0 23. 6 26. 4 24. 0 24. 6 26. 8 26. 6 29. 2 28. 6 29. 0 31. 2 29. 6 (25+20+18) / 3 (25+20+18+32) / 4 (25+20+18+32+25) / 5

TUGAS 1. Diketahui data deret waktu pendapatan suatu rumah tangga nelayan sbb (jutaan rupiah) Tahun 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 n Pendapatan (X) 6 7 7. 5 7. 3 6. 9 9. 2 11. 5 12. 1 Hitung ramalan pendapatan nelayan tahun 2013 dengan a. b. Metode semi rata-rata Metode kuadrat terkecil

2. Diketahui data laba PT. ABC sebagai berikut (satuan dalam milyar rupiah) Tahun a. b. Kuartal III Kuartal IV 2010 30 40 36 34 2011 34 52 50 44 2012 40 58 54 48 2013 54 76 68 62 2014 80 92 86 82 Tentukan indeks musiman data tersebut dengan metode rata sederhana Jika ditargetkan laba pada 2015 adalah 400 milyar rupiah, hitung ramalan laba per kuartal tahun 2015