STATISTIKA MATEMATIKA Pertemuan 10 Ekspektasi Dua Peubah Acak

STATISTIKA MATEMATIKA Pertemuan 10 Ekspektasi Dua Peubah Acak Kontinu

A. Nilai Ekspektasi Gabungan Kontinu Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, f(x, y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari (X, Y) di (x, y), dan v(X, Y) adalah fungsi dari peubah acak X dan Y; maka nilai ekspektasi gabungan dari v(X, Y), dinotasikan dengan E[v(x, Y)], dirumuskan sebagai: Contoh : Misalkan fungsi densitas gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk: f(x, y) =x + y ; 0 < x < 1, 0 < y <1 Hitung E(2 XY 2 – 1)

B. Ekspektasi Bersyarat Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x|y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan h(y|x)) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka nilai ekspektasi bersyarat dari u(X) diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: Dan ekspektasi bersyarat dari v(Y) diberikan X=x dirumuskan sebagai berikut: Contoh: Misalkan fungsi densitas gabungan dari peubah acak X dan Y berbentuk: f(x, y) = (3/4) xy 2 ; 0 < x < 2 dan 1 < y < 2 Hitung E(3 X|y= 1) dan E(2 Y 2| x = 1)

C. Rataan Bersyarat Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x|y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan h(y|x)) adalah nilai fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka nilai rataan bersyarat dari X diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: dan rataan bersyarat dari Y diberikan X=x dirumuskan sebagai berikut:

D. Perkalian Dua Momen Definisi : Perkalian Dua Momen Kontinu Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, f(x, y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari (X, Y) di (x, y), µx adalah rataan dari X dan µy adalah rataan dari Y; maka perkalian dua momen sekitar pusat ke-r dan ke-s dari X, dan Y (dinotasikan dengan µ’r, s) dirumuskan sebagai berikut: Dan perkalian momen sekitar rataan ke-r dan ke-s dari X dan Y (dinotasikan dengan µr, s) dirumuskan sebagai berikut:

E. Kovarians Definisi : Kovarians Kontinu: Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, f(x, y) adalah fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: F. Varians Bersyarat Definisi : Varians Bersyarat Kontinu Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, g(x|y) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari X diberikan Y=y di x, dan h(y|x) adalah nilai fungsi densitas bersyarat dari Y diberikan X=x di y, maka varians bersyarat dari X diberikam Y=y dirumuskan sebagai berikut: Dan varians bersyarat dari Y diberikan X=x dirumuskan sebagai:

G. Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Definisi 1: Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Kontinu Jika X dan Y adalah dua peubah acak kontinu dengan f(x, y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari X dan Y di (x, y), maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai: H. Koefisien Korelasi Definisi: Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka koefisien korelasi (dinotasikan dengan ρ) didefinisikan sebagai:

I. Akibat Kebebasan Stokastik Telah dijelaskan sebelumnya bahwa dua peubah acak dikatakan saling bebas, jika distribusi gabungannya sama dengan perkalian dari distribusi marginal masing-masing peubah acaknya. Beberapa akibat kebebasan stokastik, jika X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas: 1. E(XY) = E(X). E(Y) 2. E[u(X). v(Y)] = E[u(X)]. E[v(Y)] 3. M(t 1 t 2) = MX(t 1). MY(t 2) 4. Kov(X, Y) = 0 5. ρ = 0 6. µrs’ = µr’. µs’