STATISTIKA 1 8 Distribusi Peluang Teoritis Diskrit MATERI

STATISTIKA 1 8. Distribusi Peluang Teoritis Diskrit MATERI KULIAH STATISTIKA DESKRIPTIF ILMU EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA 2017 1 OLEH: RISKAYANTO

PEUBAH ACAK (VARIABEL) Titik-titik contoh dalam suatu ruang contoh (sample 2 space) dapat disajikan dalam bentuk numerik (bilangan). Peubah Acak (Variabel Acak/Random Variable) adalah fungsi yang mendefinisikan titik contoh dalam ruang contoh, sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata (beberapa teks ada juga yang menyebutnya dengan stochastic variable). Pada umumnya, peubah acak dinyatakan dengan huruf kapital seperti X atau Y, sedangkan nilai-nilai bagi peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x dan y.

PEUBAH ACAK (VARIABEL) Contoh 1: Sudah diketahui bersama bahwa dari percobaan pelemparan sekeping mata yang setimbang sebanyak 3 (tiga) kali, akan diperoleh ruang contoh yang terdiri dari 23 titik contoh, yaitu S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Apabila X adalah sebuah peubah acak yang didefinisikan sebagai: “banyaknya sisi gambar (G) yang muncul”, maka sebutkanlah nilai-nilai yang mungkin bagi X! 3

PEUBAH ACAK (VARIABEL) Jawab: S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} ↓ ↓ ↓ ↓ x=3 x=2 x=2 x=1 x=1 x=0 Dengan demikian X = {0, 1, 2, 3} Ø x = 0, artinya titik contoh tidak mengandung unsur G. Ø x = 1, artinya titik contoh mengandung 1 unsur G Ø x = 2, artinya titik contoh mengandung 2 unsur G Ø x = 3, artinya titik contoh mengandung 3 unsur G 4

KATEGORI PEUBAH ACAK Peubah acak dapat dibedakan menjadi beberapa kategori: 1. Peubah Acak Diskrit Nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga (finite). Untuk nilai data yang diperoleh dengan cara dicacah. Misal: - banyaknya produk yang rusak =12 buah - banyaknya pegawai yang di. PHK = 5 orang 5

KATEGORI PEUBAH ACAK 2. Peubah Acak Kontinu Nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung dan tak terhingga (infinite). Untuk nilai data yang diperoleh dengan cara diukur. Misal: - Jarak pabrik ke pasar = 35, 57 km - waktu produksi per unit = 15, 07 menit - berat bersih produk = 209, 69 gram - volume kemasan = 100, 00 cc. 6

DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS Adalah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluang bagi masing-masing nilainya. Terkait dengan kategori peubah acak, maka distribusi peluang juga dibedakan menjadi 2 jenis: I. Distribusi Peluang Diskrit, misalnya distribusi seragam, binomial, hipergeometrik, poisson, dll. II. Distribusi Peluang Kontinu, misalnya distribusi normal, student-t, F, χ2, dll. 7

DISTRIBUSI SERAGAM PENGERTIAN: Jika peubah acak X mempunyai nilai x 1, x 2, x 3, …, xk yang berpeluang sama, maka distribusi peluang seragamnya adalah: untuk x = x 1, x 2, x 3, …, xk 8 Contoh 2: Jika Abu, Badu, dan Cici berpeluang sama untuk mendapat beasiswa, bagaimanakah distribusi peluang mereka untuk mendapat beasiswa tersebut?

DISTRIBUSI SERAGAM Jawab: Fungsi sebaran peluangnya: Dengan demikian, sebaran peluang masing-masing adalah: P(Abu) = ⅓ P(Badu) = ⅓ P(Cici) = ⅓ 9

DISTRIBUSI SERAGAM Secara umum, nilai k pada sebaran peluang seragam dapat dipandang sebagai kombinasi n obyek dari N obyek yang berbeda. di mana, N = banyaknya titik contoh dalam ruang contoh n = ukuran sampel acak = banyaknya unsur peubah acak X 10

DISTRIBUSI SERAGAM Contoh 3: Jika kemasan batu baterei terdiri dari 4 batu baterei, maka bagaimana distribusi peluang cara menyusun batu baterei untuk sejumlah 12 batu baterei? Jawab: Jumlah cara yang mungkin: Jadi, peluang seragamnya: 11

DISTRIBUSI BINOMIAL 12 Percobaan Binomial Percobaan binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: 1) Percobaan diulang n kali. 2) Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misalnya: “BERHASIL” atau “GAGAL”; “YA” atau “TIDAK”; “SUCCESS” atau “FAILED”, dsb. 3) Peluang keberhasilan = p, dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah. Sedangkan peluang gagal = q = 1 – p. 4) Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan yang lain.

DISTRIBUSI BINOMIAL DEFINISI Peluang binomial didefinisikan dengan fungsi binomial sbb: untuk x = 0, 1, 2, …, n di mana, n= banyaknya ulangan x = banyaknya output SUKSES dalam peubah X p = peluang SUKSES pada setiap ulangan q = peluang GAGAL pada setiap ulangan = 1 –q 13

DISTRIBUSI BINOMIAL Catatan untuk peluang binomial: Untuk memudahkan membedakan p dengan q, maka kita terlebih dulu harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Kita dapat menetapkan bahwa kejadian yang ditanyakan adalah kejadian SUKSES. Contoh 4: Tentukan peluang mendapatkan “MATA 1” muncul 3 kali pada pelemparan sebuah dadu yang setimbang 5 kali! 14

DISTRIBUSI BINOMIAL Jawab: Kejadian SUKSESnya adalah mendapatkan “MATA 1”. x = 3 → banyaknya SUKSES atau nilai variabel. n = 5 → pelemparan diulang 5 kali p= ; Jadi, 15 q=

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh 5: Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6: 10. Jika terdapat 5 mahasiswa, berapakah peluangnya akan terdapat 2 orang mahasiswa tidak membolos? Jawab Kejadian SUKSES dalam kasus ini: Tidak Membolos. Peluang membolos = q = 6: 10 = 0, 6. Peluang tidak membolos = p = 1 – q = 1 – 0, 6 = 0, 4. x = 2, n = 5. Jadi, b(x=2, n=5, p=0, 4): = 10×(0, 16)×(0, 216) = 16 0, 346

DISTRIBUSI BINOMIAL Tabel Peluang Binomial Soal-soal mengenai peluang binomial dapat pula diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial mengandung unsur -unsur fungsi binomial, yaitu: Ø Baris: memuat n (jumlah trial) dan x (jumlah kejadian SUKSES) Ø Kolom: memuat p (peluang kejadian SUKSES) Contoh tampilan sebagian Tabel Distribusi Peluang 17 Binomial diberikan pada tayangan selanjutnya. Cara pembacaan dan penggunaannya diberikan pada tayangan yang mengikuti.

DISTRIBUSI BINOMIAL 18

DISTRIBUSI BINOMIAL 19 Cara pembacaan Tabel Peluang Binomial: Perhatikan bahwa pada setiap kolom Ʃp =1, 0000 (atau karena pembulatan, jumlahnya tidak persis 1, 0000, tetapi hanya mendekati 1, 0000) Untuk setiap input fungsi binomial, pembacaan nilainya sbb: x=0 n=5 p=0. 10 b(0; 5, 0. 10) = 0, 5905 x=1 n=5 p=0. 10 b(1; 5, 0. 10) = 0, 3280 Jika 0≤x≤ 2, n=5, dan p=0. 10, maka: b(x; n, p) = b(0; 5, 0. 10) + b(1; 5, 0. 10) + b(2; 5, 0. 10) = 0, 5905 + 0, 3280 + 0, 0729 = 0, 9914

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh 6: Suatu perusahaan pengiriman paket terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. Jika peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0, 20 dan bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitasnya: a) Tidak ada paket yang terlambat (x=0) b) Lebih dari 2 paket yang terlambat (x>2) c) Tidak lebih dari 3 paket yang terlambat (x≤ 3) d) Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat (2≤x≤ 4) e) Paling tidak ada 2 paket yang terlambat (x≥ 2) 20

DISTRIBUSI BINOMIAL Jawab: a) x=0 → = b(0; 5, 0. 20) = 0, 3227 b) x>2 → = b(3; 5, 0. 20) + b(4; 5, 0. 20) + b(5; 5, 0. 20) 21 = 0, 0512 + 0, 0064 + 0, 0003 = 0, 0579 atau dapat dicari dengan cara… 1 – b(x≤ 2) = 1 – [b(0; 5, 0. 20) b(1; 5, 0. 20) b(2; 5, 0. 20)] = 1 – (0, 3277 + 0, 4096 + 0, 2048) = 1 – 0, 9421 = 0, 0579 a) x≤ 3 → = b(0; 5, 0. 20) + b(1; 5, 0. 20) + b(2; 5, 0. 20) + b(3; 5, 0. 20) = 0, 3277 + 0, 4096 + 0, 2048 + 0, 0512 = 0, 9933

DISTRIBUSI BINOMIAL Jawab (lanjutan…): atau dapat dicari dengan cara… 1 – b(x>3) = 1 – [b(4; 5, 0. 20) + b(5; 5, 0. 20)] = 1 – (0, 0064 + 0, 0003) = 1 – 0, 0067 = 0, 9933 d) 2≤x≤ 4 → = b(2; 5, 0. 20) + b(3; 5, 0. 20) + b(4; 5, 0. 20) = 0, 2048 + 0, 0512 + 0, 0064 = 0, 2624 22

DISTRIBUSI BINOMIAL Rata-rata dan ragam bagi sebaran peluang binomial adalah (dapat dibuktikan secara matematis): Rata-rata: Ragam: di mana: ulangan 23 μ=n×p σ2 = n × p × q n = ukuran populasi p= peluang BERHASIL pada setiap ulangan q= 1 – p = peluang GAGAL pada setiap

DISTRIBUSI BINOMIAL Contoh 7: Apabila diketahui suatu sebaran fungsi binomial b(5; 5, 0. 20), hitunglah rata-rata, ragam, dan simpangan bakunya! Jawab: Untuk x=5, n=5, dan p=0, 20, maka q=0, 80 Jadi, μ = 5 × 0, 20 = 1, 00 σ2= 5 × 0, 20 × 0, 80 = 0, 80 σ = = 0, 8944… 24

DISTRIBUSI BINOMIAL REVIEW: Di daerah Indonesia bagian Timur, 5% dari panggilan telepon seluler (ponsel) mengalami gangguan (terputus). Berapakah probabilitasnya bahwa dari 6 panggilan ponsel yang dipilih secara acak: a) Tidak ada yang terputus? b) Tepat satu panggilan terputus? c) Tepat lima panggilan terputus? d) Kurang dari empat panggilan terputus? e) Antara empat sampai enam panggilan terputus? 25

DISTRIBUSI POISSON Percobaan Poisson adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1) Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat 26 tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat lain yang terpisah. 2) Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit. 3) Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan.

DISTRIBUSI POISSON Peluang Poisson didefinisikan dengan fungsi Poisson sbb: 27 di mana, e = bilangan alam (natural number) = 2, 71828… x= banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel μ = rata-rata ke. BERHASILan Perhatikan formula yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson dihitung dari rata-rata populasinya

DISTRIBUSI POISSON Tabel Peluang Poisson Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Peluang Poisson. Soal-soal tentang peluang Poisson bahkan terlihat sangat sulit apabila diselesaikan dengan memecahkan fungsi Poissonnya. Cara membaca dan menggunakan Tabel Peluang Poisson tidak jauh berbeda dengan Tabel Peluang Binomial. Cara pembacaan dan penggunaannya diberikan pada tayangan berikutnya. 28

DISTRIBUSI POISSON 29

DISTRIBUSI POISSON Cara pembacaan Tabel Peluang Poisson: Berdasarkan tabel pada tayangan sebelumnya dengan μ = 4, 5, untuk x=2 → = poisson(2; 4. 5) = 0, 1125 untuk x<3 → = poisson(x<3; 4. 5) = poisson(0; 4. 5) + poisson(1; 4. 5) + poisson(2; 4. 5) = 0, 0111 + 0, 0500 + 0, 1125 = 0, 1736 untuk x>2 → = poisson(x>2; 4. 5) = poisson(3; 4. 5) + poisson(4; 4. 5) + …. . + poisson(15; 4. 5) 30

DISTRIBUSI POISSON Cara pembacaan Tabel Peluang Poisson (lanjutan…): atau dapat dicari dengan cara… = 1 – poisson(x≤ 2; 4. 5) = 1 – [poisson(0; 4. 5) + poisson(1; 4. 5) + poisson(2; 4. 5)] = 1 – (0, 0111 + 0, 0500 + 0, 1125) = 1 – 0, 1736 = 0, 8264 31

DISTRIBUSI POISSON Contoh 8: Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikutnya ia membuat: a) Tidak ada kesalahan (x=0)? b) Tidak lebih dari 3 kesalahan (x≤ 3)? c) Lebih dari 3 kesalahan (x>3)? d) Paling tidak ada 3 kesalahan (x≥ 3)? Jawab: Diketahui bahwa μ = 5. Jadi, 32

DISTRIBUSI POISSON Jawab (lanjutan…): a) x=0 → = poisson(0; 5) = 0, 0067 b) x≤ 3 → = poisson(0; 5) + poisson(1; 5) + poisson(2; 5) + poisson(3; 5) = 0, 0067 + 0, 0337 + 0, 0842 + 0, 1404 = 0, 2650 c) x>3 → = poisson(x>3; 5) = poisson(4; 5) + poisson(5; 5) + poisson(6; 5) + poisson(7; 5) + …. . + poisson(15; 5) atau dapat dicari dengan cara… 33

DISTRIBUSI POISSON Jawab (lanjutan…): 34 atau dapat dicari dengan cara… poisson(x>3; 5)= 1 – poisson(x≤ 3; 5) = 1 – [poisson(0; 5) + poisson(1; 5) + poisson(2; 5) + poisson(3; 5)] = 1 – (0, 0067 + 0, 0037 + 0, 0842 + 0, 1404) = 1 – 0, 2650 = 0, 7350 d) x≥ 3 → = 1 – poisson(x≤ 2; 5) = 1 – [poisson(0; 5) + …. . + poisson(2; 5)] = 1 – (0, 0067 + 0, 0037 + 0, 0842)

DISTRIBUSI POISSON Pendekatan Poisson untuk Binomial Pendekatan peluang Poisson untuk masalah peluang binomial dila-kukan jika n sangat besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0, 01). Penyelesaian dengan pendekatan Poisson ini dilakukan dengan terlebih dulu menetapkan p dan kemudian menetapkan μ = n × p. 35 Contoh 9: Dari 1000 orang mahasiswa, 2 orang mengaku selalu telat masuk kuliah tiap hari. Jika pada suatu hari terdapat 5000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang telat?

DISTRIBUSI POISSON Jawab: Kejadian SUKSES: selalu telat masuk kuliah p= = 0, 002; n = 5000; x > 3 36 Jika masalah di atas diselesaikan dengan peluang binomial: b(x>3; 5000, 0, 002) → tidak ada di dalam tabel → tidak praktis diselesaikan manual Dengan pendekatan poisson → hitung μ = n × p = 5000 × 0, 002 = 10 Dengan demikian,

DISTRIBUSI POISSON Jawab (lanjutan…): → poisson(x>3; 10)= 1 – poisson(x≤ 3; 10) = 1 – [poisson(0; 10) + poisson(1; 10) + poisson(2; 10) + poisson(3; 10)] = 1 – (0, 0000 + 0, 0005 + 0, 0023) = 1 – 0, 0028 = 0, 9972 37

DISTRIBUSI POISSON 38 REVIEW Emprit Airlines adalah perusahaan penerbangan yang melayani rute penerbangan musiman dari Surabaya ke berbagai kota di Indonesia Bagian Timur. Akhir-akhir ini Emprit Airlines sedang dihadapkan pada masalah klaim bagasi yang hilang. Marwoto dari Departemen Analitis diminta untuk melakukan studi atas masalah ini. Dia memilih contoh secara acak 500 penerbangan dan menemukan bahwa total 20 bagasi telah hilang dalam penerbangan-penerbangan tersebut. Hitunglah berapa peluang bahwa tidak ada bagasi yang hilang pada suatu penerbangan? Berapa pula peluangnya bahwa setidaknya 1 bagasi hilang?

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Perbandingan dengan distribusi binomial Peluang Binomial ØPerhatian hanya untuk peluang BERHASIL Peluang Hipergeometrik ØUntuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan dengan peluang GAGAL. ØAda penyekatan dan pemilihan/kombinas obyek (BERHA-SIL dan GAGAL) 39

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Percobaan Hipergeometrik Percobaan hipergeometrik adalah perobaan yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1) Contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N 2) k dari N diklasifikasikan sebagai “BERHASIL”, sedangkan N–k diklasifikasikan sebagai “GAGAL” 40

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Peluang hipergeometrik didefinisikan sebagai berikut: Bila dalam populasi dengan N obyek, k benda termasuk ke dalam kelas “BERHASIL” dan N–k (sisanya) termasuk ke dalam kelas “GAGAL”, maka Distribusi Hipergeometrik peubah acak X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah: untuk x = 0, 1, 3, …, k 41

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Contoh 10: Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati? Jawab: Diketahu: N = 52; 3; Jadi, 42 n = 5; k = 13; x=

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Rata-rata dan ragam bagi suatu distribusi peluang hipergeo-metrik h(x; N, n, k) adaalah: Rata-rata: Ragam: di mana, N = total obyek dalam populasi (semesta) n = ukuran sampel (contoh) k = jumlah obyek dalam kategori “BERHASIL” 43

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Distribusi hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas sbb: Perhatikan bahwa: 44 dan di mana, N = ukuran populasi (semesta) n = ukuran contoh acak k = banyaknya penyekatan (kelas) xi = banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh ai = banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Contoh 11: Dari 10 pengemudi sepeda motor, 3 orang mengemudikan motor merk “S”, 4 orang menggunakan motor merk “Y”, dan sisanya menggunakan motor merk “H”. Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk “S”, 2 orang merk “Y”, dan 2 orang merk “H”? Jawab: 45 Diketahui, N = 10, a 1 = 3, x 1 = 1, n=5 a 2 = 4, x 2 = 2, a 3 = 3, x 3 = 2

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Jawab (lanjutan…): Dengan demikian, 46

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Pendekatan Hipergeometrik untuk Binomial Pendekatan hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan binomial. Binomial → digunakan untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian). Hipergeometrik → digunakan untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian). 47

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Contoh 12: Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola putih. Berapakah peluangnya: a) Terambil 2 bola merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan? b) Terambil 2 bola merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan? Jawab: a) Diselesaikan dengan distribusi peluang binomial. 48

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK Jawab (lanjutan…): Diketahui, p = 2/5 = 0, 40; n = 4; Jadi, b(2; 4, 0, 40) = 0, 16 b) Diselesaikan dengan distribusi peluang hipergeometrik Diketahui, N = 5; n = 4; k = 2; N–k = 3 n–x = 2 Jadi, 49 x=2

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK REVIEW Play. Time Toys, Inc. mempekerjakan 50 karyawan di bagian Departemen Perakitan. 40 dari karyawan tersebut ikut serikat buruh, sedangkan 10 sisanya tidak. 5 orang karyawan dipilih secara acak dalam rangka pembentukan komite yang akan menemui manajemen guna membahas masalah waktu pergantian kerja. Berapa peluangnya bahwa 4 dari 5 orang yang terpilih dalam komite merupakan anggota serikat pekerja? 50