STATISTIKA 1 5 Pengolahan Deskriptif Ukuran Penyebaran MATERI

STATISTIKA 1 5. Pengolahan Deskriptif: Ukuran Penyebaran MATERI KULIAH STATISTIKA DESKRIPTIF UNIVERSITAS GUNADARMA 2017 1 OLEH: RISKAYANTO

UKURAN PENYEBARAN Adalah sekelompok indikator dengan nilai yang menggambarkan bagaimana pola-pola sebaran dari suatu gugusan data. Dapat berupa nilai pengukur sederhana seperti jarak pengamatan hingga yang kompleks seperti ragam dan simpangan baku. 2

JARAK PENGAMATAN PENGERTIAN Adalah pengukur sebaran data yang paling sederhana yang biasa juga disebut dengan range. Diperoleh hanya dengan mengurangkan nilai pengamatan terbesar denga nilai pengamatan terkecil. r = xmax – xmin di mana: xmax = nilai pengamatan terbesar xmin = nilai pengamatan terkecil 3

JARAK PENGAMATAN Contoh 1: Dari data di pertemuan 3 yang ditampilkan ulang sbb: Nilai Statistika 40 orang mahasiswa Gunadarma 78 67 74 77 82 62 55 53 61 79 34 75 72 78 63 57 73 88 70 58 89 56 69 62 48 76 50 58 67 80 69 64 66 60 54 63 81 73 71 76 Hitunglah range (jarak pengamatan) sebarannya! 4

JARAK PENGAMATAN Jawab: Data terbesar → xmax = 89 Data terkecil → xmin = 34 Jarak pengamatan r = xmax – xmin = 89 – 34 = 55 5

JARAK ANTAR KUARTIL Adalah indikator pengukur sebaran statistik atau variabilitas yang menggambarkan lebar (selisih) antara kuartil pertama (Q 1) dan kuartil ketiga (Q 3). Jarak antar kuartil (IQR – Inter Quartile Range) juga disebut dengan sebaran tengah atau secara teknis sering disebut dengan H-spread. IQR = Q 1 – Q 3 di mana, Q 1 = Kuartil ke-1 Q 3 = Kuartil ke-3 6

JARAK ANTAR KUARTIL Gambar IQR 7

JARAK ANTAR KUARTIL Contoh 2: Data hipotetik sebuah TDF dari Contoh 4 di Pertemuan 4 ditulis ulang sbb: Hitung IQR sebaran data tersebut! 8

JARAK ANTAR KUARTIL Jawab: Dari Contoh 4 di Pertemuan ke-4 diperoleh Q 3 = 42, 3 Selanjutnya, untuk mencari nilai Q 1, ditentukan terlebih dahulu letak Q 1: Letak Q 1 = n/4 = 50/4 = 12½ Dari frekuensi kumulatif dapat diketahui bahwa data ke 12, 5 berada di kelas 24 – 31 (kelas ini memuat data ke-11 sampai data ke-27). Dengan demikian, Kelas Q 1 adalah kelas 24 – 31. TBB Kelas Q 1 = (23 + 24) / 2 = 23½ TBA Kelas Q 1 = (31 + 32) / 2 = 31½ Lebar Kelas, i = 31½ – 23½ = 8 9

JARAK ANTAR KUARTIL Jawab (lanjutan…) 14, 5 Frek. Kum. sblm Kelas Q 1 = 10 → s = 12, 5 – 10 = 2, 5 Frek. Kum. sampai Kelas Q 1 = 27 → s’ = 27 – 12, 5 = Frekuensi Kelas Kuartil = 17 Jadi, atau Dengan demikian, IQR = Q 3 – Q 1 = 42, 3 – 24, 7 = 17, 6 10

RAGAM & SIMPANGAN BAKU PENGERTIAN Ragam (varians) adalah rata-rata selisih kuadrat antara nilai-nilai individual terhadap rata-rata hitungnya. Simpangan baku (standar deviasi) adalah akar kuadrat dari ragam. Merupakan pengukur sebaran data yang stabil karena didasarkan pada rata-rata hitungnya. Harus benar-benar membedakan obyeknya antara sampel atau populasi 11

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Untuk data yang belum dikelompokkan: Ragam populasi: atau Ragam sampel: atau Simpangan baku untuk populasi dan sampelnya: dan 12

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Rumus sebelah kiri memnjelaskan pengertian ragam secara matematis. Rumus sebelah kanan merupakan rumus hitung yang biasa digunakan untuk menghitung ragam secara lebih praktis. 13 keterangan rumus: σ2 = ragam populasi s 2 = ragam sampel N = ukuran populasi n = ukuran sampel μ = rata-rata populasi = rata-rata sampel

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Contoh 3: Jika diketahui data usia 5 mahasiswa (dalam tahun) sbb: 18 19 20 21 22 Dari data tersebut, hitunglah: a) μ, σ2, dan σ (asumsi data sebagai populasi) b) , s 2, dan s (asumsi data sebagai sampel) 14

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Jawab: Untuk menyelesaikan soal, disiapkan tabel kerja terlebih dahulu sebagai berikut: 15

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Jawab (lanjutan…): a) Sebagai sebuah populasi dengan N=5, maka: → atau Simpangan bakunya: 16

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Jawab (lanjutan…): b) Sebagai sebuah sampel dengan n=5, maka: → atau Simpangan bakunya: 17

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Untuk data yang sudah dikelompokkan dalam TDF: Ragam atau populasi: Ragam atau sampel: Simpangan baku untuk populasi dan sampelnya: dan 18

RAGAM & SIMPANGAN BAKU keterangan rumus: σ2 = ragam populasi s 2 = ragam sampel N = ukuran populasi n = ukuran sampel μ = rata-rata populasi = rata-rata sampel xi = titik tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i k = jumlah kelas 19

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Contoh 4: Dari data-data yang sama dengan soal contoh 5 pada materi pertemuan ke-3 yang sudah dilengkapi sbb: TTK (xi) 16 - 23 19, 5 10 195, 0 33, 58 -14, 08 198, 246 1982, 464 24 - 31 27, 5 17 467, 5 33, 58 -6, 08 36, 966 628, 429 32 - 39 35, 5 7 248, 5 33, 58 1, 92 3, 686 25, 805 40 - 47 43, 5 10 435, 0 33, 58 9, 92 98, 406 984, 064 48 - 55 51, 5 3 154, 5 33, 58 17, 92 321, 126 963, 379 56 - 63 59, 5 3 178, 5 33, 58 25, 92 671, 846 2015, 539 ----- 50 1679, 0 Frek. (fi) fi. xi atau Kelas ---- (xi- ) atau (xi- ) ----- (xi- )² atau (xi- )² ----- Hitunglah ragam dan simpangan bakunya! 20 fi. (xi- )² atau fi. (xi- )² 6599, 680

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Jawab: Rata-rata sebaran (μ atau ) Jika sebaran dianggap sebagai populasi dengan N=50, maka: dan 21

RAGAM & SIMPANGAN BAKU Jawab (lanjutan…): Jika sebaran dianggap sebagai sampel dengan n=50, maka: dan 22

KOEFISIEN RAGAM PENGERTIAN Adalah indikator pengukur ragam (varians) dalam satuan rata-rata. Semakin besar nilai koefisien ragamnya (cv), maka keragaman datanya semakin tinggi. Untuk populasi: Untuk sampel: 23

KOEFISIEN RAGAM Contoh 5: Dari soal contoh 4 yang memandang sebaran datanya sebagai sebuah sampel, hitunglah koefisien ragamnya! Jawab: Telah diketahui sebelumnya = 33, 58 dan s = 11, 6054 Jadi, koefisien ragamnya adalah: 24

KEGUNAAN STD DEVIASI Ukuran penyebaran menghitung seberapa besar data yang ada menyebar dalam distribusinya. Acuan yang digunakan biasanya adalah nilai pusatnya, sehingga ukuran penyebaran umumnya mengukur seberapa besar data yang ada menyebar dari nilai-nilai pusatnya. Bandingkan dua sebaran A dan B berikut: 25

KEGUNAAN STD DEVIASI Persebaran data dapat bersifat simetris atau tidak simetris, yang ditunjukkan dengan ukuran kemencengan (skewness). Ukuran kemencengan digunakan untuk menunjukkan simetris tidaknya bentuk kurva yang diberikan oleh sebuah sebaran data. Ketidaksimetrisan terjadi karena frekuensi teramati terkonsentrasi hanya pada nilai-nilai rendah atau hanya pada nilai-nilai tinggi. Frekuensi tersebut tidak terdistribusi secara merata. 26

KEMENCENGAN (SKEWNESS) Ukuran kemencengan suatu kurva sebaran data diberikan oleh Pearson, sehingga disebut koefisien kemiringan (kemencengan) Pearson atau J. di mana, J = koefisien kemencengan (skewness) = rata-rata (mean) Me = Median s = simpangan baku 27

KEMENCENGAN (SKEWNESS) Perbandingan antara 2 kurva sebaran data yang melenceng (skewed): 28

KERUNCINGAN (KURTOSIS) Ukuran keruncingan adalah ukuran yang digunakan untuk menentukan runcing tidaknya suatu distribusi data, sehingga dapat diketahui apakah kumpulan data terkonsentrasi di sekitar rata-ratanya atau tersebar. Terdapat tiga bentuk keruncingan dustribusi data, yaitu: v. Leptokurtik, frekuensi menumpuk pada interval tertentu 29 sekitar mean dan sedikit yang tersebar lebih jauh dari mean. v. Mesokurtik, di mana distribusinya dapat dianggap simetris. v. Platikurtik, di mana frekuensi tersebar ke seluruh daerah kurva.

KERUNCINGAN (KURTOSIS) Ukuran keruncingan suatu kurva sebaran data diberikan oleh Fisher, sehingga disebut ukuran kurtosis Fisher. di mana, γ 2 = koefisien keruncingan (kurtosis) s = simpangan baku m 4 = momen sentral ke-4 → 30

KERUNCINGAN (KURTOSIS) Bentuk-bentuk keruncingan kurva sebaran data: 31

TEOREMA LIMIT PUSAT Hubungan antara simpangan baku dengan persentase pengamatan data pada sebuah sebaran yang simetris berbentuk genta (bell-shaped curve) dinyatakan dalam sebuah teorema yang disebut teorema limit pusat. Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem): v. Kurang lebih 68% pengamatan akan berada pada range 1 32 standar deviasi (+ 1 SD) dari nilai rata-ratanya. v. Kurang lebih 95% pengamatan akan berada pada range 2 standar deviasi (+ 2 SD) dari nilai rata-ratanya. v. Kurang lebih 99, 7% pengamatan akan berada pada range 3 standar deviasi (+ 3 SD) dari nilai rata-ratanya.

TEOREMA LIMIT PUSAT Kurva persebaran data simetris berbentuk genta (bell- shaped curve): 33

ANGKA BAKU PENGERTIAN Adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi dalam satuan simpangan bakunya. Disimbolkan dengan huruf z. z nol → data bernilai sama dengan ratanya z positif → data bernilai di atas rata-ratanya z negatif → data bernilai di bawah rata-ratanya 34

ANGKA BAKU Untuk populasi: Untuk sampel: keterangan rumus: z = nilai baku (normal atau standar) μ = rata-rata populasi = rata-rata sampel σ = simpangan baku populasi s = simpangan baku sampel 35

ANGKA BAKU Contoh 6: Rata-rata kecepatan lari atlet nasional adalah 20 km/jam dengan simpangan baku 2½ km/jam. Hitunglah angka baku untuk kecepatan lari dari: a. Ali, yang memiliki kecepatan lari 25 km/jam b. Didi, yang memiliki kecepatan lari 18 km/jam Jawab: 36