STATISTIK II Pertemuan 9 Interval Konfidensi Satu Sampel

STATISTIK II Pertemuan 9: Interval Konfidensi Satu Sampel Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S. Si, M. Si

Materi hari ini n n n Estimasi titik dan estimasi interval Interval Konfidensi Bagi Rata 2/Mean Interval Konfidensi Bagi Proporsi

Estimasi Titik dan Interval Konfidensi n n Estimasi titik berupa nilai tunggal Interval konfidensi memberikan informasi tambahan mengenai variabilitas estimasi Batas bawah konfidensi Estimasi titik Batas konfidensi Lebar interval konfidensi Chap 8 -3

Estimasi Titik Estimasi parameter populasi Chap 8 -4 Dengan statistik sampel (estimasi titik) Mean/rata 2 μ X Proporsi π p Chap 8 -4

Interval Konfidensi n Suatu interval berupa range nilai yang n n n Chap 8 -5 Memperhatikan variasi statistik masing 2 sampel berdasarkan informasi dari 1 sampel Memberi informasi kedekatan nilai estimasi dengan nilai parameter sebenarnya Dinyatakan sebagai level konfidensi (tingkat kepercayaan) n Misal, 95% konfidensi atau 99% konfidensi n Tidak pernah 100% konfidensi Chap 8 -5

Proses Estimasi Sampel acak Populasi (mean, μ, tdk diketahui) Mean X = 50 Saya yakin (konfinden) 95% bahwa nilai μ berkisar antara 40 & 60. Sampel Chap 8 -6

Rumus Umum n Rumus umum untuk semua interval konfidensi: Estimasi titik± (titik kritis)(Standar Error) Di mana: • Estimasi titik statistik sampel untuk menduga parameter populasi yg dikehendaki • Titik kritis nilai distribusi sampling dari estimasi titik dengan tingkat konfindensi tertentu • Standard Error standar deviasi dari estimasi titik Chap 8 -7

Interval Konfidensi Mean populasi σ diketahui Chap 8 -8 Proporsi populasi σ tidak diketahui Chap 8 -8

Interval Konfidensi bagi μ (σ diketahui) n n Asumsi-asumsi n Standar deviasi σ diketahui n Populasi berdistribusi normal n Jika populasi tidak normal, gunakan sampel besar (teori limit pusat) Estimasi interval konfidensi: where Zα/2 Chap 8 -9 estimasi titik kritis distribusi normal dengan probabilitas /2 standar error

Menentukan Titik Kritis, Zα/2 n Perhatikan interval konfidensi 95% : Z units: X units: Chap 8 -10 Zα/2 = -1. 96 Batas bawah konfidensi 0 Estimasi titik Zα/2 = 1. 96 Batas konfidensi

Tingkat Konfidensi yg sering dipakai n 90%, 95%, and 99% Tingkat konfidensi 80% 95% 98% 99. 9% Chap 8 -11 Koefisien konfidensi, Zα/2 0. 80 0. 95 0. 98 0. 998 0. 999 1. 28 1. 645 1. 96 2. 33 2. 575 3. 08 3. 27 Chap 8 -11

Interval dan Tingkat Konfidensi Distribusi Sampling Mean/Rata 2 Interval bervariasi antara x x 1 x 2 hingga Sedangkan ( )x 100% tidak. Interval Konfidensi Chap 8 -12 (1 - )x 100% interval yang dibuat akan mengandung nilai μ;

Contoh n Suatu penelitian tertarik untuk mengetahui rata 2 pendapatan manager pemasaran di industri retail. Suatu sampel yang terdiri atas 256 manager menunjukkan bahwa rata 2 pendapatan mereka adalah 454. 2 jt/th. Standar deviasi populasi ini adalah 20. 5 jt/th. Beberapa pertanyaan yg ingin dijawab dr penelitian tsb: n n Chap 8 -13 Berapa kisaran nilai rata 2 populasi bila diinginkan tingkat konfidensi 95%? Bagaimana menginterpretasi hasil tsb? Chap 8 -13

Contoh n n Rata 2 populasi diestimasi sekitar 454. 2 jt/th (estimasi titik) Interpretasi Kisaran rata 2 populasi Dengan tingkat keyakinan 95%, kita dapat menyatakan bahwa rata 2 sebenarnya dari pendapatan manager pemasaran di industri retail berkisar antara 451. 69 – 456. 71 jt/th.

n Interpretasi n Chap 8 -15 Dengan tingkat keyakinan 95%, kita dapat menyatakan bahwa rata 2 sebenarnya dari pendapatan manager pemasaran di industri retail berkisar antara 451. 69 – 456. 71 jt/th. Chap 8 -15

Interval Konfidensi Mean populasi σ diketahui Chap 8 -16 Proporsi populasi σ tidak diketahui Chap 8 -16

Apakah standar deviasi populasi (σ) selalu diketahui? n Tentu saja tidak n Dalam dunia nyata, σ sangat jarang diketahui n n Chap 8 -17 Jika ada situasi dimana σ diketahui, maka µ juga pasti diketahui Jika µ diketahui, maka kita tidak perlu repot untuk mengumpulkan data sampel Copyright © 2012 Pearson Education, Inc. publishing as Chap 8 -17 Prentice Hall

Interval Konfidensi Bagi μ (σ tidak diketahui) DCOVA n n n Chap 8 -18 Jika standar deviasi populasi σ tidak diketahui, kita dapat menggantinya dengan standar deviasi sampel, S. Konsekuensinya, ketidakpastian menjadi meningkat, karena S bervariasi antar sampel Dengan demikian, digunakan distribusi-t bukan distribusi normal

Interval Konfidensi Bagi μ (σ tidak diketahui) n Interval konfidensi: (dimana tα/2, db adalah titik kritis distribusi t dengan derajat bebas (db) = n -1 dan luas area masing 2 α/2 di setiap sisi) Chap 8 -19

Normal standar (t with db= ∞) Distribusi t t (db = 13) t (db = 5) 0 Note: t Chap 8 -20 Z seiring pertambahan n t

Tabel t DCOVA α d. 10. 05. 025 b 1 3. 078 6. 314 12. 706 Misal: n = 3 db= n - 1 = 2 = 0. 10 /2 = 0. 05 2 1. 886 2. 920 4. 303 3 1. 638 2. 353 Nilai yang ada dalam tabel, memuat nilai t (bukan probabilitas) Chap 8 -21 /2 = 0. 05 3. 182 0 2. 920 t Chap 8 -21

Contoh Suatu penelitian bertujuan untuk mengetahui rata pengeluaran untuk paket data internet. Untuk keperluan ini diambil suatu sampel acak berukuran n = 25, dengan rata-rata sampel sebesar 50 ribu/bulan dan standar deviasi sampel adalah 8 ribu/bulan. Buatlah interval konfidensi 99% bagi μ

Contoh n db = n – 1 = 24, sehingga Interval konfidensi 95% 45. 53 ≤ μ ≤ 54. 47 Interpretasi: Dengan tingkat keyakinan 99%, rata-rata sebenarnya pengeluaran untuk paket data internet berkisar antara 45. 53 -54. 47 ribu per bulan

Interval Konfidensi Mean populasi σ diketahui Chap 8 -24 σ tidak diketahui Proporsi populasi

Interval Konfidensi Proporsi Populasi, π n n Chap 8 -25 Distribusi dari proprosi sampel akan mendekati normal jika ukuran sampel cukup besar, dengan standar deviasi Standar deviasi tersebut kemudian diestimasi dengan statistik sampel

Interval Konfidensi Proporsi Populasi, π n Interval konfidensi bagi π n Di mana n n Chap 8 -26 Zα/2 : nilai Z untuk tingkat konfidensi 1 -α p : proporsi sampel n : ukuran sampel Note: nilai X harus memenuhi np > 5 dan n(1 – p) > 5

Contoh n n Chap 8 -27 Suatu sampel acak berukuran 100 orang menunjukkan bahwa 25 diantaranya kidal. Buat interval konfidensi 95% untuk proporsi sebenarnya anggota populasi yang kidal. Chap 8 -27

Contoh n Suatu sampel acak berukuran 100 orang menunjukkan bahwa 25 diantaranya kidal. Buat interval konfidensi 95% untuk proporsi sebenarnya anggota populasi yang kidal. np= 25 > 5 & n(1 -p)=100(75)= 75 > 5 Pastikan ukuran Sampel cukup besar Chap 8 -28

TUGAS 1. Sebuah lembaga penelitian tertarik untuk mengetahui pengeluaran untuk rokok selama seminggu dari para perokok aktif. Sampel acak berukuran 49 orang perokok aktif dipilih dengan rata 2 pengeluaran untuk rokok sebesar 200 ribu/minggu. Dari penelitian sebelumnya diketahui standar deviasi populasi ini adalah 50 rb/minggu. Buatlah interval konfidensi 95% bagi rata 2 sebenarnya pengeluaran untuk rokok para perokok aktif ini dan interpretasikan.

2. Asosiasi industri pertanian bertujuan untuk mengetahui rata 2 konsumsi susu tahunan. Untuk itu dipilih 16 orang secara 130 102 140 143 119 120 139 S=14. 8 acak, di mana rata 2 konsumsi susu Buatlah interval konfidensi 90% bagi rata-rata biaya transportasi staf tahunan ke-16 orang tsb adalah 60 gallon penjualan. dan standar deviasi 20 gallon. Buatlah interval konfidensi 90% bagi rata 2 populasi dan interpretasikan. 2. Seorang direktur keuangan tertarik untuk mengetahui biaya transportasi mingguan staf penjualan di perusahaannya. Untuk keperluan ini, diambil data sampel sebanyak 7 orang staf sbb (dalam ribuan rupiah).

3. Pemilik Minimarket Sardo tertarik untuk mengetahui proporsi pelanggan yg menggunakan kartu kredit/debit untuk pembayaran. Dia melakukan survey thdp 80 pelanggan dan menemukan 20 diantaranya menggunakan kartu kredit/debit. Buatlah interval konfidensi 90% bagi proporsi populasi dan interpretasikan.