STATISTIK II Pertemuan 3 Distribusi Probabilitas Kontinu Metode

STATISTIK II Pertemuan 3: Distribusi Probabilitas Kontinu, Metode dan Distribusi Sampling Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S. Si, M. Si

Materi hari ini n n n Distribusi Probabilitas Kontinu: Distribusi Normal Metode Sampling Distribusi Sampling

Distribusi Probabilitas Kontinu: Distribusi Normal (N) ‘berbentuk genta/lonceng n simetris n mean=median=modus n f(X) σ X μ Mean = Median = Modus

Fungsi Densitas Probabilitas Normal Where e = 2. 71828 π = 3. 14159 μ = rata-rata populasi σ = standar deviasi populasi

Distribusi Normal Standar (Z) n n Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai mean dan standar deviasi) dapat dijadikan distribusi normal standar (Z) Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar deviasi=1

Transformasi Normal Standar (X Z) Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 and standar deviasi = 1

Contoh: Transformasi Normal Standar n n Misal, X=pengeluaran untuk pulsa sebulan Jika X berdistribusi normal dengan mean=Rp 100 ribu dan standar deviasi=Rp 50 ribu, nilai Z untuk X = Rp 200 ribu yaitu Nilai tsb menyatakan bahwa untuk X=Rp 200 ribu berjarak 2 standar deviasi dari mean/rata 2 Lakukan perhitungan nilai Z untuk X=Rp 30 ribu dan X=Rp 150 ribu.

Menentukan Probabilitas Normal Probabilitas dihitung berdasarkan luas area di bawah kurva f(X) P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X < b) (Catatan: P(X=x) untuk berbagai nilai x selalu nol. P(X=x)=0) a b X

Tabel Normal Standar Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan tabel yang berupa daftar probabilitas kurang dari (kumulatif—P(Z≤z)). n 0. 9772 Contoh: P(Z < 2. 00) = 0. 9772 0 2. 00 Z

Tabel Normal Standar Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z Z 0. 00 0. 0 Baris menunjukkan nilai Z sampai desimal pertama 0. 1. . . 2. 0 P(Z < 2. 00) = 0. 9772 2. 0 . 9772 0. 01 0. 02 …

Prosedur Menentukan Nilai Probabilitas Normal Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika X berdistribusi normal: Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan n n Transformasi X ke Z n Gunakan tabel normal standar

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal n n X menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mendownload sebuah video dari internet (dalam detik). Jika X berdistribusi normal dengan rata-rata 18. 0 detik dan standar deviasi 5 detik. Hitung P(X < 18. 6) a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang ditanyakan 18. 0 18. 6 X

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal b) Transformasi X Z μ = 18 σ=5 18 18. 6 P(X < 18. 6) μ=0 σ=1 X 0 0. 12 P(Z < 0. 12) Z

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal P(X < 18. 6) b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal Z . 00 . 01 = P(Z < 0. 12) . 02 0. 5478 0. 0. 5000. 5040. 5080 0. 1. 5398. 5438. 5478 0. 2. 5793. 5832. 5871 0. 3. 6179. 6217. 6255 0. 00 0. 12 Z

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal n Tentukan P(X > 18. 6) 18. 0 X 18. 6 Chap 6 -15

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) n Tentukan P(X > 18. 6)… P(X > 18. 6) = P(Z > 0. 12) = 1. 0 - P(Z ≤ 0. 12) = 1. 0 - 0. 5478 = 0. 4522 0. 5478 1. 000 1. 0 - 0. 5478 = 0. 4522 Z 0 0. 12 Chap 6 -16

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal n Tentukan P(18 < X < 18. 6) Hitung nilai Z 18 18. 6 X 0 0. 12 Z P(18 < X < 18. 6) = P(0 < Z < 0. 12) Chap 6 -17

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal P(18 < X < 18. 6) = P(0 < Z < 0. 12) = P(Z < 0. 12) – P(Z ≤ 0) Z . 00 . 01 . 02 0. 0. 5000. 5040. 5080 = 0. 5478 - 0. 5000 = 0. 0478 0. 5000 0. 1. 5398. 5438. 5478 0. 2. 5793. 5832. 5871 0. 3. 6179. 6217. 6255 0. 00 Z 0. 12 Chap 6 -18

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal n Tentukan P(17. 4 < X < 18) 18. 0 17. 4 X

Contoh: Menghitung Probabilitas Normal (continued) Tentukan P(17. 4 < X < 18)… P(17. 4 < X < 18) = P(-0. 12 < Z < 0) 0. 0478 = P(Z < 0) – P(Z ≤ -0. 12) = 0. 5000 - 0. 4522 = 0. 0478 0. 4522 Distribusi normal bersifat simetris, sehingga nilai probabilitasnya sama dengan P(0 < Z < 0. 12) 17. 4 18. 0 -0. 12 0 X Z

Menentukan Nilai X Jika Diketahui Probabilitas 1. Tentukan nilai Z dari probabilitas yang diketahui 2. Konversi nilai Z ke nilai X dengan rumus

Menentukan Nilai X Jika Diketahui Probabilitas Contoh n n n X menunjukkan waktu yang dibutuhkan untuk mendownload video dari internet (detik) X berdistribusi normal dengan mean=18 detik dan standar deviasi=5 detik Tentukan nilai X sedemikian rupa sehingga 20% dari waktu download kurang dari X 0. 2000 ? ? 18. 0 0 X Z

Menentukan Nilai X Jika Diketahui Probabilitas 1. Tentukan nilai Z dari probabilitas yang diketahui n Z -0. 9 … . 03 . 04 . 05 Luasan area 20% area bersesuaian dnegan Z=-0. 84 …. 1762. 1736. 1711 0. 2000 -0. 8 …. 2033. 2005. 1977 -0. 7 …. 2327. 2296. 2266 ? 18. 0 -0. 84 0 X Z

Menentukan Nilai X Jika Diketahui Probabilitas 2. Konversi Z ke nilai X : Sdengan demikian, 20% nilai 2 dari distribusi normal =18 dan standar deviasi=5 bernilai kurang dari 13. 8

Metode Sampling Sampel Non-probability Judgment Convenience Probability Simple Random Stratified Systematic Cluster

Nonprobability Sampling n Dalam sampling non-probability, objek yang dijadikan sampel dipilih tanpa memperhatikan nilai probabilitasnya n n Convenience sampling objek dipilih karena alasan kemudahan seperti hemat biaya dan mudah diperoleh Judgment sampling objek dipilih berdasarkan opini para ahli/expert

Probability Sampling n Dalam probability sampling, objek dipilih sebagai sampel dengan mempertimbangkan nilai probabilitas Probability Samples Simple Random Chap 7 -27 Systematic Stratified Cluster

Simple Random Sampling n n Chap 7 -28 Setiap individu dalam populasi memiliki kesempatan yg sama untuk terpilih sbg sampel Sampel diperoleh secara acak/random dengan bantuan tabel bilangan acak atau pembangkit bilangan acak

Systematic Sampling n n Tentukan ukuran sampel: n Bagi kerangka sampel yg terdiri atas N individu menjadi k grup: k=N/n n Pilih satu individu secara acak dari grup 1 n Lalu pilih setiap individu ke-k N = 40 n=4 k = 10 Chap 7 -29 First Group

Stratified Sampling n Bagi populasi menjadi dua atau lebih subgrup (disebut strata) dengan karaketristik tertentu n Lakukan simple random sampling untuk setiap strata secara proporsional n Kombinasikan sampel yg diperoleh dari setiap strata Populasi dibagi menjadi 4 strata Chap 7 -30

Cluster Sampling n n Populasi dibagi menjadi beberapa cluster yg merepresentasikan populasi Lakukan simple random sampling untuk cluster yang terbentuk Populasi dibagi manjedi 16 cluster Chap 7 -31 Sampel diplih secara random

Distribusi Sampling n n Distribusi sampling adalah distribusi dari smeua kemungkinan hasil statistik suatu sampel yang dipilih dari populasi asal Sebagai contoh, misalkan dipilih sampel 50 mahasiswa dari suatu universitas berdasarkan IPK. Jika diperoleh 50 sampel yang berbeda, maka rata-rata IPK masing 2 sampel akan berbeda. Yang menjadi pusat perhatian adalah distribusi rata-rata IPK dari semua kemungkinan sampel yang ada.

Membangun Distribusi Sampling n Diasumsikan terdapat populasi… n Ukuran populasi N=4 n Variabel random, X=usia n A B C D Nilai dari X: 18, 20, 22, 24 (tahun) Chap 7 -33

Membangun Distribusi Sampling Ringkasan parameter populasi P(x). 3. 2. 1 0 18 A 20 B 22 C D Distribusi Uniform 24 x

Membangun Distribusi Sampling Misalkan diambil sampel berukuran 2 atau n=2, sehingga kemungkinan kombinasi sampel yang mungkin yaitu 1 st Obs 2 nd Observation 18 20 22 24 18 18, 20 18, 22 18, 24 20 20, 18 20, 20 20, 22 20, 24 22 22, 18 22, 20 22, 22 22, 24 24 24, 18 24, 20 24, 22 24, 24 16 rata-rata sampel 16 kemungkinan sampel Chap 7 -35

Membangun Distribusi Sampling Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel Distribusi Rata 2 Sampel 16 rata 2 sampel _ P(X). 3. 2. 1 0 18 19 20 21 22 23 (tidak lagi uniform) 24 _ X

Membangun Distribusi Sampling Ringkasan statistik distribusi sampling: Note: bilangan pembagi adalah 16, karena terdapat 16 sampel berbeda yang berukuran 2 Chap 7 -37

Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling Distribusi rata 2 sampel n=2 Populasi N=4 _ P(X). 3 . 2 . 1 0 18 A 20 B 22 C 24 D X 0 18 19 20 21 22 23 24 _ X Chap 7 -38

Distribusi Sampling Rata-rata: Standar Error Rata-rata n n n Sampel yang berbeda dengan ukuran yg sama akan menghasilkan rata-rata sampel yg berbeda Ukuran keragaman/variabilitas rata 2 sampel yang ada disebut Standard Error Rata-rata: Note: standar error rata-rata akan semakin kecil seiring pertambahan ukuran sampel

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika Populasi Normal n Jika populasi asal berdistribusi normal dengan mean μ and standar deviasi σ, maka distribusi sampling rata-rata juga berdistribusi normal dengan dan

Nilai Z Distribusi Sampling Rata-rata n Nilai Z dari distribusi sampling Di mana: = rata-rata sampel = rata-rata populasi = standar deviasi populasi n = ukuran sampel :

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal n Terapkan Teori Limit pusat : n n Apabila populasi asal tidak normal, Maka rata-rata sampel akan berdistribusi mendekati (approximately normal) selama ukuran sampel cukup besaras long as the sample size is large enough. dan

Distribusi Sampling Rata-rata: Jika populasi tidak normal Karakteristik distribusi: Distribusi populasi Ukuran pemusatan Variasi Distribusi sampling (menjadi normal seiring pertambahan n) Larger Smaller sample size

Berapa nilai ukuran sampel dikatakan besar/cukup besar? n Berdasarkan teori limit pusat, suatu sampel dikatakan cukup besar apabila ukuran sampel tersebut lebih dari 30 atau n ≥ 30

Contoh n n Misalkan suatu populasi memiliki mean μ = 8 dan standar deviasi σ = 3. Dari populasi tsb diambil sampel secara acak berukuran n = 36 Berapa probabilitas rata-rata sampel yang terpilih terletak diantara 7. 8 dan 8. 2?

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Solusi: n n Bahkan jika populasi tidak berdistribusi normal, teorema limit pusat dapa digunakan (n ≥ 30) … sehingga distribusi sampling rata-rata mendekati normal n … dengan rata-rata n …dan standar deviasi = 8

Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata Distribusi Populasi ? ? ? ? Distribusi Sampling ? ? ? ? ? Distribusi Normal Standar Sampel ? X Standardize 7. 8 8. 2 -0. 4 Z

Proporsi Populasi π =proporsi populasi yang memiliki karaketeristik teramati n Proporsi smapel (p) estimasi dari of π: n 0≤ p≤ 1 n p mendekati distribusi normal jika n besar Chap 7 -48

Distribusi Sampling p n Mendekati distribusi normal jika: P( ps). 3. 2. 1 0 n 0 Distribusi sampling . 2 . 4 dimana dan (dimana π = proporsi populasi) . 6 8 1 p

Nilai Z untuk Proporsi Standarisasi p Z value dengan rumus:

Contoh: Dist. Sampling Proporsi n n Jika proporsi sebenarnya pemilih yang mendukung calon A adalah π = 0. 4, berapa peluang bahwa dari sampel berukuran 200 pemilih, peluang proporsi sampen antara 0. 40 dan 0. 45? i. e. : jika π = 0. 4 dan n = 200, berapa P(0. 40 ≤ p ≤ 0. 45) ?

Contoh jika π = 0. 4 dan n = 200, berapa P(0. 40 ≤ p ≤ 0. 45) ? n Tentukan : Konversi ke Normal standar

Contoh n jika π = 0. 4 dan n = 200, berapa P(0. 40 ≤ p ≤ 0. 45) ? Dari tabel normal: P(0 ≤ Z ≤ 1. 44) = 0. 9251 – 0. 5000 = 0. 4251 Distribusi normal standar Distribusi sampling 0. 4251 Standarisasi 0. 40 0. 45 p 0 1. 44 Z

TUGAS INDIVIDU 1. Variabel random X berdistribusi normal dengan men=12. 2 dan standar deviasi=2. 5. hitung a) b) c) Nilai Z untuk X=14. 3 Probabilitas 12. 2<X<14. 3 Probabilitas X<10

2. Sebuah pabrik printer melaporkan bahwa rata 2 jumlah halaman yg dapat dicetak oleh sebuah printer sebelum rusak adalah 12200 hal. Banyaknya halaman yg tercetak berdistribusi normal dengan standar deviasi 820 hal. a) b) c) Berapa persen printer yang mampu mencetak lebih dari 15000 hal. ? Berapa persen printer yang mampu mencetak jumlah halaman antara 8200 sampai 16400 hal. ? Pihak pabrik ingin mencantumkan banyaknya halaman yang dapat dicetak printer sebelum printer rusak pada buku panduan pengguna. Berapa nilai halaman yang harus dituliskan pabrik, jika diharapkan ketepatannya sebesar 99%?

3. PT Arung memiliki 7 karyawan produksi (anggap sbg populasi). Pendapatan karyawan 2 tsb sbg berikut a) b) c) Karyawan Pendapatan (Rp juta) A 7 E 7 B 7 F 8 C 8 G 9 D 8 Hitung mean populasi. Hitung masing 2 mean sampel untuk setiap sampel berukuran 2. Berapa nilai rata 2/mean dari distribusi sampling?

4. Biaya kontrak sebuah rumah di daerah Lowokwaru secara umum berdistribusi normal dengan mean=15 juta rupiah/th dan standar deviasi=3 juta rupiah/th. 1. 2. Berapa probabilitas mendapatkan rumah dengan biaya kontrak kurang dari 10 juta rupiah/th bila terdapat 50 unit rumah yang siap dikontrakkan? Diketahui persentase rumah yg dikontrakkan di Lowokwaru mencapai 35% dr total rumah yg ada. Salah satu perumahan yg ada di Lowokwaru adalah perum. Joyogrand. Jika di perum. tsb terdapat sekitar 350 unit rumah, berapa probabilitas bahwa persentase rumah yg dikontrakkan di perum tsb lebih dari 50%?

TUGAS KELOMPOK n Lakukan survey/pengamatan dengan menggunakan kuisioner (lihat contoh), dengan ketentuan n Kuisioner memuat pertanyaan-pertanyaan yg akan menghasilkan variabel kuantitatif (min. 2 var) dan variabel kualitatif (min. 3 var). Lakukan analisis deskriptif untuk masing-masing variabel yang diperoleh (grafik+deskripsi). Ambil 2 pasang variabel kualitatif, buatlah tabel kontingensi yang memuat nilai probabilitas untuk setiap kategori dan diagram pohonnya.

n n Gunakan metode convenience sampling dengan ukuran sampel minimal n=30. Format laporan tugas (diketik rapi). n n Laporan tugas harus dilengkapi/dilampiri dengan n n Pendahuluan: Latar Belakang, Maksud dan Tujuan Metode Penelitian: Deskripsi Populasi dan Metode Hasil dan Pembahasan Dokumentasi kegiatan Rekapitulasi hasil kuisioner dan kuisioner yang digunakan Jurnal kerja kelompok Foto dari masing-masing anggota kelompok Waktu: 3 minggu