statistica le medie di calcolo alessandro polli facolt

statistica le medie di calcolo alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione 12 -16 -18 marzo 2015

Generalità Obiettivo Come ripetiamo spesso, uno degli principali obiettivi dei metodi statistici è la sintesi, intesa come rappresentazione semplificata di un fenomeno rilevato in un collettivo. La sintesi facilita la descrizione del fenomeno da parte dell’osservatore, in quanto consente di coglierne una qualche proprietà essenziale L’operazione di sintesi può essere svolta tramite opportune rappresentazioni grafiche o attraverso il calcolo di parametri distributivi: parametri di posizione, di variabilità, di forma Una prima famiglia di parametri di posizione, trattati nelle passate lezioni, è quella delle medie di posizione. L’altra importante famiglia è quella delle medie di calcolo, definite anche medie ferme o analitiche

Generalità Il criterio adottato per esplicitare il concetto di «centralità» individua in maniera univoca una specifica formula di calcolo della media analitica. L’insieme delle medie così definite costituisce la famiglia delle medie di calcolo

Generalità Una prima intuizione sulle medie di calcolo Esempio 1. La catena di supermercati DELIGHT incarica una società di ricerche di mercato di intervistare un campione di 1000 clienti allo scopo di raccogliere informazioni sulla loro spesa media mensile per consumi. Il risultato dell’indagine è riassunto nel seguente prospetto di sintesi:

Generalità Una prima intuizione sulle medie di calcolo Con riferimento alla tabella precedente, potremmo essere interessati a calcolare una qualche misura sintetica che ci fornisca un’idea sull’ordine di grandezza del fenomeno analizzato (la spesa media mensile) Esaminando i risultati precedenti, è immediato affermare che la spesa media mensile per consumi rilevata dall’istituto di ricerche di mercato varia da 0 a 2500 euro, ma tale informazione è alquanto generica Sarebbe maggiormente utile, a ben riflettere, disporre di un qualche valore numerico puntuale, compreso tra 0 e 2500 euro, che consenta di fare affermazioni sul fenomeno indagato (la spesa media mensile familiare per consumi dei clienti della catena di supermercati) senza fornire una rappresentazione «alterata» della realtà

Generalità Una prima intuizione sulle medie di calcolo Ma cosa significa fornire una rappresentazione «alterata» della realtà? È opportuno chiarire tale affermazione: nel momento in cui facciamo affermazioni su un fenomeno avvalendoci di una qualche misura di sintesi, paghiamo un «costo» , rappresentato dalla perdita del patrimonio informativo che abbiamo costituito osservando il fenomeno su ciascuna unità statistica componente il collettivo Assodato che la sintesi è uno degli strumenti che ci consente di facilitare il processo di conoscenza della realtà, è quindi necessario individuare criteri che consentano di minimizzare i costi associati all’utilizzo di affermazioni di sintesi, costi che, come si è detto, sono costituiti da perdite informative

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Generalità Una prima intuizione sulle medie di calcolo Da un punto di vista logico, dunque, sotto quali condizioni posso avvalermi di una misura di sintesi per fare affermazioni su un fenomeno analizzato? Una risposta «sensata» potrebbe essere la seguente: sono logicamente legittimato a fare affermazioni su un fenomeno attraverso una misura di sintesi quando sommando le perdite informative (gli scarti positivi e negativi) queste si compensano e la perdita informativa risulta nel complesso pari a zero

Generalità Una prima intuizione sulle medie di calcolo Affinché la perdita informativa sia nel complesso nulla, devono essere soddisfatte alcune condizioni In primo luogo, è necessario che la misura di sintesi sia compresa tra il valore minimo e il valore massimo che il fenomeno indagato può assumere nel collettivo considerato. Infatti soltanto se è soddisfatta questa condizione di «internalità» gli scarti assumono segni sia positivi, sia negativi Ovviamente, la condizione di internalità è una condizione necessaria, ma non sufficiente. Infatti, non soltanto dovremo scegliere un valore di sintesi compreso tra il valore minimo e il valore massimo, ma tra gli infiniti valori compresi nell’intervallo dovremo scegliere quello che rende nulla la perdita informativa globale

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Generalità Potrei considerare altri tipi di funzione delle osservazioni − e a ben riflettere di tali funzioni ne esistono infinite. Fatto sta che la misura di sintesi �� deve essere scelta in modo tale che, considerata una qualsiasi funzione delle osservazioni, la sostituzione di �� alle �� osservazioni non deve alterare il valore della funzione considerata

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Generalità Media aritmetica semplice Commentiamo brevemente l’ultimo risultato. Abbiamo calcolato la media aritmetica di 5 misure di piovosità, ciascuna caratterizzata da frequenza assoluta unitaria (nel senso che a ciascun valore di piovosità corrisponde una sola osservazione) Se volessimo rappresentare i dati dell’esempio 2 in forma tabellare, ne risulterebbe il prospetto di destra, in cui per facilità di lettura le misure di piovosità sono riordinate in senso ascendente: la nozione di frequenza assoluta unitaria risulta immediatamente evidente

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Generalità Media aritmetica ponderata Organizziamo i calcoli nella seguente tabella: Sommando i prodotti dell’ultima colonna e dividendo per il numero di osservazioni otteniamo:

Generalità Media aritmetica ponderata In alternativa, possiamo fare riferimento alle frequenze relative: Il vantaggio di tale procedura è che la media può essere letta direttamente come totale dell’ultima colonna

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Generalità Media aritmetica ponderata Esempio 1. La catena di supermercati DELIGHT incarica una società di ricerche di mercato di intervistare un campione di 1000 clienti allo scopo di raccogliere informazioni sulla spesa media mensile per consumi del loro nucleo familiare. Il risultato dell’indagine è riassunto nel seguente prospetto di sintesi:

Generalità Media aritmetica ponderata Organizziamo i calcoli nella seguente tabella:

Generalità Media aritmetica ponderata In alternativa, possiamo applicare il metodo delle frequenze relative:

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Generalità Come calcolare un tasso medio di incremento percentuale con la media geometrica Esempio 5. Nella tabella seguente è riportata la tabella sulla popolazione media di Pescara, desumibile dai bilanci anagrafici, tra il 2002 e il 2009:

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Generalità Come calcolare un tasso medio di variazione percentuale con la media geometrica Allestiamo quindi la seguente tabella di calcolo:

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Generalità La media geometrica ponderata Nei due esempi precedenti, ciascun rendimento/tasso di crescita caratterizzava un’unica osservazione, quindi eravamo in presenza di una distribuzione di frequenze assolute unitarie Cosa cambia nella formulazione della media geometrica se alcune modalità (rendimenti, tassi di crescita, ecc. ) si ripetono in più osservazioni? Affrontiamo il problema con il semplice esempio seguente:

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Generalità La media geometrica ponderata Esempio 7. Nella seguente tabella è riportata la distribuzione dei rendimenti annuali garantiti ai sottoscrittori dell’hedge fund FLEXIA nel periodo compreso tra il 2000 e il 2014:

Generalità La media geometrica ponderata Per calcolare il rendimento medio, allestiamo il seguente prospetto di calcolo: Modalità^freq. rel.

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Generalità La media armonica ponderata Impostiamo la tabella di calcolo:

Generalità La media armonica ponderata Se invece scegliamo di adottare il metodo delle frequenze relative, la tabella sarà organizzata nel modo seguente:

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Generalità e quindi otteniamo la media armonica ponderata

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