STATIQUE DU SOLIDE Emmanuel GIRARD Avec la participation

STATIQUE DU SOLIDE Emmanuel GIRARD Avec la participation de Monsieur Stéphane RAVAUT Lycée Tucry de Villemandeur

STATIQUE DU SOLIDE I - Introduction Objet de la statique : La statique étudie les actions mécaniques exercées sur des corps indéformables et en équilibre.

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Définition des actions mécaniques : D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause physique susceptible : • de maintenir un corps au repos, • de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement, • de déformer un corps. Les actions mécaniques qui s’exercent sur les solides sont : Les FORCES ( pousser ou tirer selon un axe) Les MOMENTS ( tourner ou tordre autour d'un axe) F C

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Définition des actions mécaniques : Quelques exemples intuitifs : F 1°/ Les FORCES ( pousser / tirer selon un axe) Exemple : Poussez une voiture… F Que subit la voiture ? Que subissez-vous ? F

II – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques sont classées en deux familles: Les actions mécaniques à distance (sans contact) Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) Tout contact, provoque une action mécanique 3 2 FC 3 2 FA 1 2 FB 1 2 1

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques à distance (sans contact) • Action de la pesanteur (poids) - Cette action est toujours appliquée au centre de gravité - Sa direction est toujours verticale, son sens vers le bas. P = m. g (N) (kg) (9. 81 m. s-²)

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) • ACTION PONCTUELLE Exemple : contact ponctuel (sphère/plan) entre la tige de vérin (2) et le levier (1) de la bride hydraulique.

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) • ACTION répartie sur une ligne Exemple : contact linéique (plan/cylindre) entre la pièce (1) et le galet (2) du capteur pneumatique. F

II – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) • ACTION répartie sur une surface Exemple : Action d’un fluide sous pression l’action répartie est modélisée par une seule action située au centre de pression F = p. S (da. N) (bar) (cm²) (N) (Pascal) (m²) p F

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Classification des actions mécaniques : Les actions mécaniques de contact (dans les liaisons mécaniques) • ACTION répartie sur une surface Exemple 2 : Action des plaquettes de freins l’action répartie est modélisée par une seule action située au centre de pression

II – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE Définition des actions mécaniques : M Quelques exemples intuitifs : 2°/ Les MOMENTS ( tourner / tordre autour d'un axe) Exemple 1 : faire tourner une porte autour de son axe M( F ) vous appliquez une force décalée de l'axe (non dirigée vers l'axe)… …cela provoque un MOMENT de cette force autour de l’axe de la porte. d d F A A F F F M/A(F) = F x d N. m = N x m

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Définition des actions mécaniques : M Quelques exemples intuitifs : 2°/ Les MOMENTS ( tourner / tordre autour d'un axe) Exemple 2 : faire tourner une clé de roue • La somme de ces deux forces est nulle. • De plus, ces deux forces génèrent un moment L’action mécanique exercée par la clé sur la roue est appelée un Couple.

II – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE Définition des actions mécaniques : M Quelques exemples intuitifs : 2°/ Les MOMENTS ( tourner / tordre autour d'un axe) Exemple 3 : Le couple moteur L’action mécanique engendrée par l’axe d’un moteur ne produit aucune force mais uniquement de la torsion. . . C

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Définition des actions mécaniques : M Quelques exemples intuitifs : 3°/ La présence d’une FORCE et d’un MOMENT F Exemple 1 : Desserrer un écrou de roue Dans ce cas, à partir d’une FORCE appliquée sur la clé, vous provoquez un MOMENT d’une force par rapport à l'axe de rotation. Nous avons donc deux vecteurs pour représenter cette action mécanique

II – les actions mécaniques STATIQUE DU SOLIDE Définition des actions mécaniques : Quelques exemples intuitifs : M F 3°/ La présence d’une FORCE et d’un MOMENT Exemple 2 : Visser une vis Pour faire tourner la vis, il est nécessaire d’appliquer un couple sur celle-ci en appuyant dans l’axe du tournevis, pour éviter la détérioration de la fente de la vis. M F M

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Modélisation des actions mécaniques : Les actions mécaniques sont modélisées par des vecteurs car elles en possèdent toutes les propriétés : (point d’application, direction, sens, norme) Pour les FORCES ( représentées par une simple flèche) Elles s’expriment en NEWTON (N) Elles sont notées FA 1 2, ou bien A 1 2 , ce qui se lit : F « Force au point A exercée par le solide 1 sur le solide 2 » Néanmoins, il s’agit d’un vecteur libre (indépendant du point A Les MOMENTS ( représentés par une double flèche) Ils s’expriment en NEWTON mètre (N. m) Ils sont notés MB(A 1 2), ce qui se lit : « Moment par rapport au point B de l’effort exercé en A par le solide 1 sur le solide 2 » M

STATIQUE DU SOLIDE II – les actions mécaniques Modélisation des actions mécaniques : Les actions mécaniques sont modélisées par deux vecteurs dans un repère donné Pour la FORCE, la résultante Pour le MOMENT, Ces deux vecteurs se représentent par un Torseur d’action de contact qui est un couple de 2 vecteurs : une résultante invariable et un moment dépendant du point d’écriture

III –Notion de torseur d’Action de STATIQUE DU contact SOLIDE Statique analytique- Les torseurs La résolution par les torseurs est de loin la plus puissante, la plus rigoureuse, mais aussi la plus longue. Elle n’est à utiliser que lorsque les autres méthodes ne sont pas adaptées. Qu’est-ce qu’un torseur ? Un torseur est une description complète d’une action mécanique, exprimé par rapport à un point particulier (point choisi). On y trouve : - la valeur de l’effort exercé en B (aussi appelé « Résultante » ), - la valeur du moment de cet effort par rapport au point choisi. RB M/A(RB) z x B A RB M/A(RB) y A

STATIQUE DU III –Notion de torseur d’Action de SOLIDE Statique analytique- Les torseurs contact …Qu’est-ce qu’un torseur ? (suite) z RB M/A(RB) RB x B y A M/A(RB) A Ces deux termes sont des vecteurs. Ils possèdent donc tous deux des coordonnées dans le repère x, y, z : M/A(R ) (L, M, N) RB (X, Y, Z) B Le torseur de l’action mécanique RB, exprimé au point A s’écrit donc : T( RB ) = A X Y Z L M N A Coordonnées de la résultante Coordonnées du moment

STATIQUE DU SOLIDE IV – Equilibre d’un solide Équilibre d’un solide Pour qu’un solide soit en équilibre, il faut que la somme des forces extérieures ET la somme des moments extérieurs appliqués sur un solide soient nulles. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) : Fext = F 1 + F 2 +. . . + Fn = 0 M/A =M/A(F 1) + M/A(F 2) +. . . + M/A(Fn) = 0

STATIQUE DU V–Résolution des problèmes de SOLIDE Statique analytique- Les torseurs statique …Comment appliquer le PFS avec les torseurs ? Méthode des torseurs Simple! Le PFS nous invite à faire la somme des actions mécaniques. Or, il se trouve que chaque torseur représente une action mécanique… …il suffit donc d’effectuer la somme des torseurs et de déclarer cette somme égale à un torseur nul. ST X B LB X A LA S S X i Li Y M +. . . + Y M = Y M + = A A A Z A NA A B B Z B NB A i i Z i Ni A 0 0 0 A On additionne ensuite membre à membre pour obtenir un système de 6 équations : XA + XB +…+ Xi = 0 Y +…+ Y = 0 A B i Torseur de ZA + ZB +…+ Zi = 0 la liaison A la liaison B LA + LB +…+ Li = 0 exprimé au point A MA + MB +…+ Mpoint A i = 0 NA + NB +…+ Ni = 0 Torseur de la liaison ‘i’ exprimé au point A

V–Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDE Statique analytique- Les torseurs …Comment appliquer le PFS avec les torseurs ? Méthode des torseurs Simple! Le PFS nous invite à faire la somme des actions mécaniques. Or, il se trouve que chaque torseur représente une action mécanique… …il suffit donc d’effectuer la somme des torseurs et de déclarer cette somme égale à un torseur nul. ST X B LB X A LA S S X i Li Y M +. . . + Y M = Y M + = A A A Z A NA A B B Z B NB A i i Z i Ni A 0 0 0 A Cette somme de torseurs n’est possible que si TOUS les torseurs sont exprimés en un MEME POINT ! ATTENTION ! Le problème, c’est qu’au début, chaque action mécanique est exprimée en son point d’origine… Il faut donc trouver une méthode pour « transporter » les torseurs où bon nous semble

III –Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDE Statique analytique- Les torseurs …Comment « Transporter » les torseurs ? z R R M/B(R) B torseur de R X L/B exprimé au point B Y M/B Z N/B B x y Avec une brouette A !!! R M/A(R) M/B(R) B M/A(R) torseur de R X L/A exprimé au point A Y M/A ( Oups !!! ) Quand on transporte un torseur, la résultante ne varie pas, seul le moment varie M/B(R) = + BA M/A(R) L/A x. A-x. B L/B M/B = M/A + y. A-y. B z. A-z. B N/A N/B A Z N/A A R X Y Z = L/A + (y. A-y. B). Z – (z. A-z. B). Y M/A + (z. A-z. B). X – (x. A-x. B). Z N/A + (x. A-x. B ). Y – (y. A-y. B). X

IV –Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDEMéthodes de résolution L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre. Pour résoudre de tels problèmes, nous disposons de plusieurs méthodes de résolution, réparties en 2 « familles » Analytique (utilisée pour tout Graphique (Utilisée pour les problème et surtout ceux en 3 D) problèmes plans sans moments) Théorème des forces (cas de trois forces colinéaires) Théorème des moments (cas de trois forces parallèles) Méthode des torseurs Solide soumis à deux forces Solide soumis à trois forces

IV –Résolution des problèmes de STATIQUE DU statique SOLIDE Statique analytique. En résumé… • Choisir le solide à isoler • Etudier l’ensemble puis les systèmes soumis à 2 forces, puis ceux à 3 forces et ensuite les autres • Faire le bilan des actions (pour choisir la bonne méthode) • Etudier les systèmes plans par des méthodes graphiques ou analytiques • Sinon, exprimer tous les torseurs en leur point d’application • Transporter tous les torseurs en un même point • Appliquer le PFS : Écrire la somme des torseurs = 0 S TS S = 0 0 0 Additionner membre à membre • Application numérique Résoudre le système d’équations