Statika stavebnch konstrukc II 3 ronk bakalskho studia
Statika stavebních konstrukcí II. , 3. ročník bakalářského studia Téma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky • • • Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1
Statika a dynamika Ve statice se předpokládá, že zatížení konstrukce se s časem: • nemění • mění se velmi pomalu Rovnováha je zajištěna mezi vnitřními a vnějšími silami Při větší rychlosti změn zatížení v čase se musí počítat s pohybovou energií, která je při pomalém zatížení nepodstatná V rovnicích rovnováhy kromě vnějších a vnitřních sil vystupují ještě síly setrvačné a tlumící a sestavují se rovnice pohybové (dynamické rovnováhy) 2
Dynamická zatížení Za dynamické zatížení považujeme ta, u kterých se mění dostatečně rychle alespoň jedna z následujících charakteristik: n velikost n směr působení n smysl působení n poloha působiště 3
Dynamická zatížení, rozdělení n n n Účinky pohybujících se zatížení Účinky rotujících strojů a strojů generujících rázy Účinky větru Účinky zemětřesení (seizmicita) Nárazy pohybujících se těles Účinky výbuchu 4
Dynamika Je část mechaniky, která zkoumá a aplikuje zákony pro pohyb hmotných objektů v čase a v prostoru za účinku sil Newton formuloval tři základní principy: n Princip setrvačnosti n Princip síly n Princip akce a reakce 5
Dynamika D´Alambertův princip Setrvačná sílu Fin=ma je v každém okamžiku v rovnováze se silou zrychlující F. Platí: Platí i pro soustavu hmotných bodů. Setrvačné síly soustavy hmotných bodů vytvářejí s vnějšími silami rovnovážnou soustavu Vektorový součet všech vnějších sil působících na soustavu hmotných bodů a setrvačných sil je rovnováze. 6
Přímočaré kmitání vlastní Vychýlením hmotného bodu o hmotnosti m z rovnovážné polohy vznikne v péru síla Fp=ky=Cy, kde C je tuhost (pérová konstanta) Proti pohybu hmotného bodu působí setrvačná síla Fin=ma Z rovnováhy sil vyplývá: Fp+Fin=0, respektive Cy+ma=0 Protože 7
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Rovnici lze upravit na tvar: Jde o diferenciální rovnici 2 řádu, lineární a homogenní. Řešením je rovnice harmonického kmitání: 8
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Integrační konstanty C 1 a C 2 se v rovnici určí z počátečních podmínek: Rovnici lze také vyjádřit ve tvaru A je amplituda (maximální výchylka) a j 0 fázový posun pro t=0 9
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pro dráhu kmitavého pohybu je Pro rychlost kmitání pak platí: Pro zrychlení je 10
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Ve vzorcích pro výpočet výchylky (posunutí), rychlosti a zrychlení kmitání je: w 0 kruhová frekvence, úhel v radiánech za jednotku času f vlastní frekvence, počet kmitů za 1 sec [Hz] T doba periody (perioda), doba jednoho kmitu Tzv. kruhová frekvence je v daném Platí: případě funkcí pérové konstanty C a hmotnosti m. Není funkcí amplitudy. 11
Přímočaré kmitání vlastní, pokračování Pokud hmota na pružině bude uvedena do pohybu, bude kmitat. Nebude-li docházet ke ztrátám energie, pak tento pohyb se bude opakovat v pravidelných intervalech – periodách T – hovoříme o periodickém pohybu. Tento pohyb je vyjádřitelný goniometrickou funkcí a nazýváme jej jednoduchý harmonický pohyb nebo prostě harmonický. Hmota m na pružině s pérovou konstantou C bude mít vlastní frekvenci a vlastní tvar kmitání. Vlastní frekvence a vlastní tvar kmitání jsou charakteristické pro každou soustavu. 12
Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou Na hmotný bod na pružině bude působit harmonicky proměnná síla P: Pohybová rovnice je diferenciální rovnicí 2. řádu, nehomogenní: 13
Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou 14
Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou 15
Vynucené kmitání způsobené náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou f=n=3 n 0=3 s-1 f 0=n 0=1 s-1 Výsledné kmitání je dáno součtem ada) a adb). Vlastní část kmitání vlivem útlumu s časem zaniká, po delším působení vynucené síly zůstává jen ustálené vynucené kmitání. 16
Vynucené kmitání, resonance Pro f=fo, respektive w=w 0 je frekvence síly v resonanci s vlastní frekvencí soustavy. Pro vynucené kmitání je amplituda 17
Vynucené kmitání netlumené, resonance V rovnici 18
Útlum n n n U netlumeného kmitání rozkmitaná soustava kmitá se stejnou amplitudou neomezeně dlouho Pohybu však vždy brání menší nebo větší brzdící síla způsobující útlum Příčiny útlumu jsou uvnitř i vně konstrukce a jsou různé (tření, odpor prostředí, deformace, porušení atd. ) Matematické vyjádření útlumu je obtížné a v jednotlivých případech zcela odlišné Předpoklady se zjednodušují, často se volí smykové tření látek tuhých a viskosita (tření kapalné), i když nemusí přesně odpovídat realitě 19
Útlum při vlastním kmitání Při viskosním tření je útlum úměrný rychlosti kmitání. Rovnice rovnováhy je: 20
Útlum při vlastním kmitání, pokračování Diferenciální lineární rovnici 2. řádu, homogenní 21
Vlastní kmitání, kritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání a útlumu shodná: 22
Vlastní kmitání, kritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při kritickém útlumu jako funkce nbt je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický. 23
Vlastní kmitání, nadkritický útlum V daném případě je kruhová frekvence vlastního kmitání menší než kruhová frekvence útlumu: 24
Vlastní kmitání, nadkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při nadkritickém útlumu jako funkce n 0 t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nenastane periodický pohyb. Útlum aperiodický 25
Vlastní kmitání, podkritický útlum Průběh výchylky vlastního kmitání při podkritickém útlumu jako funkce n 0 t je zřejmý z obr. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou. 26
Průběh výchylky vlastního kmitání při útlumu způsobeném smykovým třením Průběh výchylky vlastního kmitání. Při tomto útlumu nastane periodický pohyb s proměnnou amplitudou. Vlivem tření se nedostane hmotný bod do své výchozí polohy v bodě s´, ale do polohy s. 27
Útlum při vynuceném kmitání Působí-li na hmotný bod m zavěšeny na nehmotné pružině proměnná harmonická síla, má pohybová rovnice tvar: Jde o nelineární diferenciální rovnici 2. řádu. V této rovnici představuje 1. člen sílu danou hmotností a zrychlením hmotného bodu, 2. člen sílu při viskosním tření, 3. člen pružnou sílu vyvolanou výchylkou v pružině 4. člen (pravá strana) harmonicky proměnnou sílu 28
Útlum při vynuceném kmitání, příklad tlumeného kmitání vyvolaného náhlým zatížením harmonicky proměnnou silou 29
Útlum při vynuceném kmitání, rozkmitání s útlumem při resonanci 30
Stupně volnosti Stupněm volnosti v dynamice rozumíme počet nezávislých veličin, který je nutný, aby byla určena okamžitá poloha a tvar uvažované soustavy. Hmotný bod zavěšený na nehmotné pružině má jeden stupeň volnosti. Hmotnosti m a tuhosti C (pérové konstantě) odpovídá jedna frekvence vlastního kmitání a tvar vlastního kmitání. 31
2. stupně volnosti Dvě hmoty na nehmotných perech mají dva stupně volnosti. U takové soustavy může nastat jednoduchý harmonický pohyb při dvou vlastních frekvencích. 32
2. stupně volnosti Soustava tvořící dvě hmoty na nehmotném nosníku má dva stupně volnosti. V určitém okamžiku je v bodě 1 výchylka v 1(t) a v bodě 2 výchylka v 2(t) 33
Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí V současné době se úlohy dynamiky stavebních konstrukcí řeší zpravidla při aplikaci MKP. Podmínka dynamické rovnováhy se v maticovém tvaru vyjadřuje následovně: 34
Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí Řešením rovnice pro dané počáteční podmínky je přemístění uzlů v závislosti na čase Dále se určí rychlosti a zrychlení uzlů, složky napětí v prvcích, vnitřní síly, reakce atd. K základním úlohám dynamiky patří: a) výpočet vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů konstrukce, řeší se z rovnice , b) odezva konstrukce na harmonické zatížení, c) odezva konstrukce na obecné časově proměnné zatížení. 35
Použitá a doporučená literatura [1] Koloušek V. , Dynamika stavebních konstrukcí, SNTL Praha 1954 [2] Teplý, B. , Šmiřák, S. , Pružnost a plasticita II, Nakladatelství VUT Brno 1993 [3] Kolář, V. , Němec, I. , Kanický V. , FEM – Principy a praxe metody konečných prvků Computer Press, 1997 [4] Pirner, M. , a kol. , Dynamika stavebních konstrukcí, Technický průvodce, SNTL Praha 1989 36
- Slides: 36