Stage TUBUAI DES PROBLMES POUR APPRENDRE DES PROBLMES

Stage TUBUAI DES PROBLÈMES POUR APPRENDRE, DES PROBLÈMES POUR CHER PARTIE DIDACTIQUE David Rolland, PEN Mathématiques

I. APPORTS THÉORIQUES : LES CONCEPTIONS DE L’APPRENTISSAGE/ENSEIGNEMENT - La conception transmissive (encore appelée conception de la tête vide) : L’enseignant présente clairement le savoir alors que l’élève est attentif, écoute et prend des notes. Les intérêts sont multiples : l’enseignant s’adresse à un grand nombre d ’élèves, gain de temps, les concepts sont structurés mais la communication est limitée. De plus, les élèves doivent être motivés et attentifs.

- La conception behavioriste Le but est de modifier le comportement d’un individu à la suite de stimuli et de réponses positives. L’enseignant définit avec précision le concept nouveau à acquérir, met en place des situations où l’apprenant découvre ce nouveau concept, propose des situations d’entraînement systématique. Il y a un fort guidage de l’enseignant. Le travail est centré sur l’apprenant, l’apprentissage est individuel. Il y a construction de séquences, des situations de réussites et des acquisitions d’automatismes. Les inconvénients sont qu’il est difficile de donner du sens aux nouvelles conceptions, de les transférer et d’intégrer les micros-objectifs.

- La conception socio-constructiviste Apprendre, c’est passer d’une conception ancienne à une conception nouvelle plus performante après une remise en cause de sa conception ancienne qui est à la fois point d’appui et obstacle à une nouvelle connaissance. La conception est fondée sur la situation-problème qui doit être résolue en passant par plusieurs phases : action, formulation, validation, institutionnalisation (processus de formalisation, de pérennisation et d'acceptation d'un système), entraînement et réinvestissement. Inconvénient : difficile à gérer en classe.

II/ COMMENT DEFINIR UN PROBLEME ? Formuler et résoudre des problèmes constituent l'activité essentielle de tout mathématicien, la science mathématique s'étant progressivement constituée et enrichie des problèmes que les mathématiciens se sont donnés et se donnent encore à résoudre. Comme l'indique Alain Bouvier, “ peut-on parler de problème lorsqu'il n'y a pas défi, défi par rapport à soi ou (et) défi par rapport à la connaissance ? ". Contrairement au problème scolaire, pour le mathématicien un problème est toujours une question qui n'a encore été résolue par personne et qu'il a choisi d'affronter.

� Ainsi Jean Dieudonné précise que "la raison principale qui pousse un mathématicien à faire de la recherche, c'est la curiosité intellectuelle, l'attrait des énigmes, le besoin de connaître la vérité". � Les problèmes que traite le mathématicien peuvent être très divers. Il peut s'agir de questions d'ordre très pratique (le calcul s'est par exemple largement développé pour répondre aux besoins du commerce) ou de questions scientifiques (notamment en physique, Galilée ne prétendait-il pas que "le grand livre de l'univers est écrit en langage mathématique") : les mathématiques interviennent alors pour modéliser la situation étudiée de manière à pouvoir la traiter en termes mathématiques. � Il peut aussi s'agir de questions posées à l'intérieur même des mathématiques (cf. la recherche permanente de nouveaux nombres premiers ou de nouvelles décimales pour le nombre Pi), soit pour établir une conjecture (c’est-à-dire formuler un théorème), soit pour en apporter la preuve au moyen d'une démonstration.

Certains des problèmes que traitent les mathématiciens ont des énoncés très complexes, compréhensibles par les seuls spécialistes du domaine traité. Mais d'autres problèmes (parfois très anciens), non encore résolus ou très récemment résolus, peuvent être formulés en des termes compréhensibles par des non-initiés. Le théorème de Fermat en est un exemple, le problème dit des quatre couleurs en est un autre : "Est-il possible de colorier n'importe quelle carte avec 4 couleurs seulement, de telle sorte que deux régions adjacentes ne soient jamais de la même couleur ? ".

1/ QU’ENTEND-ON PAR PROBLÈME SCOLAIRE ? « Un problème est une tâche à réaliser dans des conditions définies et pour laquelle on ne connaît pas de mode de réalisation dans ces conditions. On sait quel est le but à atteindre, on connaît le contexte dans lequel il doit être atteint, mais on ne connaît pas la procédure pour l’atteindre » Définition de J-F Richard, Les Activités mentales : comprendre, raisonner, trouver des solutions, Armand Colin, 1990

2. D’autres définitions Définition du problème scolaire par Jean Brun : (le problème scolaire s’établit ici dans un rapport sujet/situation) « Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre et en demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but»

Définition de l’équipe ERMEL : «Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à cher, que ce soit au niveau des domaines ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule » Définition de G. Vergnaud : «Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute structuration dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration d’hypothèses et de vérification pour produire une solution»

Définition du psychologue J. -M Hoc: «Un problème est la représentation qu’un système cognitif construit à partir d’une tâche, sans disposer immédiatement d’une procédure admissible pour atteindre un but»

3. Quelques différences entre les problèmes du mathématicien et ceux de l’élève D'une part, alors que le problème du mathématicien n'a encore été résolu par personne, celui de l'élève a déjà été résolu de nombreuses fois, et l'élève ne l'ignore pas ! Il faut donc le faire entrer dans un jeu où il accepte de cher un problème dont il sait que d'autres détiennent la solution. D'autre part, alors que le temps de recherche pour le mathématicien ne peut pas être déterminé à l'avance (trois siècles pour la démonstration du théorème de Fermat), il est forcément compté pour l'élève : il faudra donc peut-être apporter des solutions, même si chaque élève n'a pas trouvé. . . Retenons simplement pour l'instant que, dans cet esprit, il n'y a problème que s'il y a réellement quelque chose à cher. . . et que donc il y a des énoncés qui, à coup sûr, ne sont pas des problèmes.

� Retenons aussi qu'un énoncé peut être un problème pour certains élèves et ne plus l'être pour d'autres élèves. Ainsi, l'énoncé suivant emprunté à ERMEL (CE 1) : « Je veux partager 36 jetons en 3 paquets. Il doit y avoir autant de jetons dans chaque paquet. Combien y aura-t-il de jetons par paquet ? ". Au début du CE 1, il s'agit bien d'un problème, puisque les élèves ne disposent pas d'une procédure immédiatement mobilisable : ils doivent essayer, cher, imaginer une solution originale. Au CMI, face à cet énoncé, la plupart des élèves peuvent répondre directement grâce à leurs connaissances sur la multiplication ou sur la division : il n'y a alors plus problème au sens précédent. � Ajoutons que le choix des valeurs données à certaines variables (ici par exemple la taille des nombres) peut faire qu'un même énoncé soit ou non un problème. Dans le cas précédent, si 36 est remplacé par 6, il n'y a plus de problème pour la plupart des élèves de CE 1 !

2. Point de vue cognitif La résolution de problèmes n’est pas un processus linéaire, elle se situe parmi les activités intellectuelles plus complexes. Lorsque nous cherchons un problème, nous construisons progressivement une certaine représentation de ce problème. Notre processus de compréhension est lié à la construction d’une représentation.

Selon Jean Julo : « se représenter le problème, c’est non seulement se représenter un objet particulier mais aussi se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet » . La représentation du problème fait intervenir trois processus qui interagissent simultanément, à savoir : - Le processus d’interprétation et de sélection - Le processus de structuration - Le processus d’opérationnalisation.

3. Procédures de résolution d’un même problème arithmétique Face à un problème, un élève fait appel à une représentation mentale. On distingue trois niveaux de représentation, chacun étant associé à un type de procédures. Procédures de niveau 1 Elles visent à simuler les actions décrites dans l’énoncé. Ces procédures de niveau 1 sont celles que les débutants ou les plus jeunes enfants utilisent. Leur avantage est que l’enfant peut résoudre des problèmes sans référence aux connaissances formelles dont il ne dispose pas encore (sans aucune connaissance des opérations). Elles font appel à une représentation figurative de la solution : l’élève doit simuler le réel mentalement soit par un dessin, soit par une manipulation d’objets. L’élève utilise des techniques relevant du comptage. Il a une représentation dépendant du contexte et de la réalité. Ce niveau de représentation mentale est opératoire lorsque l’information numérique est prise en compte mais ne l’est plus lorsqu’on dépasse les petits nombres.

Procédures de niveau 2 Ce sont celles où les simulations subsistent en étant intériorisées progressivement, et où le recours au comptage devient de plus en plus présent : ces procédures de niveau 2 sont intermédiaires entre la simulation et l’emploi d’opérations arithmétiques. Elles font appel à une représentation mathématique de la situation qui a été enseignée à l’élève, dans laquelle ce dernier met en équation le problème pour pouvoir travailler uniquement au niveau des nombres. L’élève commence à mobiliser des techniques relevant du calcul.

Procédures de niveau 3 Ce sont celles où le problème est reconnu comme étant un problème qui relève de telle opération. Ces procédures de niveau 3 deviennent plus indépendantes des situations. L’élève est devenu expert, il reconnaît que tel problème relève de telle opération qui est pertinente et mobilise des techniques relevant du calcul. Cela requiert de sa part un long travail, qui commence dès le cycle 2, et ne s’acquiert que très progressivement. Comme l’illustre l’exemple ci-dessous, ces 3 procédures dépendent du niveau d’expertise des élèves. L’élève novice utilise les deux premières procédures; et l’élève expert, la dernière.

Exemple : 8 personnes viennent de monter dans un autocar. Il y a 45 personnes dans l’autocar. Combien y-avait-il de personnes juste avant ?

Procédure 1. L’élève novice ne reconnaît pas un problème relevant de la soustraction ou de l’addition. Il dessine 45 personnes, barre ou efface et compte les passagers restants. Il peut également, résoudre par manipulation d’objets ou décompter de 8 en partant de 45, en s’aidant éventuellement de ses doigts ou d’une bande graduée, c’est-à-dire qu’il fait redescendre mentalement un par un les passagers qui viennent de monter pour retrouver la situation initiale. Procédure 2. L’élève reconnaît un problème relevant de l’addition à trou, un problème de recherche de l’état initial et résout en quelque sorte l’équation : … + 8 = 45. Il fait des essais pour aboutir au résultat.

PROCÉDURE 3 L’élève expert reconnaît un problème relevant de la soustraction et le résout mentalement par écrit. En utilisant ces procédures, les élèves ont fait des mathématiques en ce sens qu’ils ont articulé leurs connaissances disponibles et les significations qu’ils leur donnent avec la représentation ou la reformulation qu’ils ont élaborée pour la situation proposée.

LE DÉNOMBREMENT OU LA SOUSTRACTION SONT DES OUTILS MATHÉMATIQUES. DANS CHACUNE DES TROIS PROCÉDURES, IL EXISTE UN TRAVAIL MATHÉMATIQUE. Dans les deux premières procédures, ce sont les simulations ou les relations présentes dans l’énoncé qui conduisent à la solution. Dans la procédure 2 notamment, le symbolisme arithmétique utilisé par les élèves est en accord avec ce qui lui a été enseigné pour traduire une situation. Ces deux procédures informelles sont qualifiées de solutions personnelles dans les programmes de l’école élémentaire (MEN, 2002). Le passage de la procédure 2 à la procédure 3 constitue une rupture, un saut d’apprentissage, et nécessite une expérience scolaire. Il s’agit de faire passer l’élève de l’état de novice à celui d’expert, pour qui le problème n’est plus un problème et qui sait que tel problème est un problème relevant de telle structure arithmétique.

DANS L’EXEMPLE PRÉCÉDENT, C’EST L’ÉQUIVALENCE DE LA RECHERCHE DU RÉSULTAT D’UN RETRAIT ET DE LA RECHERCHE D’UN AJOUT QUI FONDE L’EXISTENCE DE LA SOUSTRACTION EN TANT QU’OPÉRATION ARITHMÉTIQUE. Cette procédure est qualifiée de solution experte dans les programmes de l’école élémentaire (MEN, 2002).

REMARQUE : Il est important d’accepter que les élèves résolvent les problèmes à différents niveaux de procédures, l’accès au niveau 3 ne pouvant avoir lieu simultanément pour tous les élèves. En effet, des études ont montré que, lorsque l’on exige des élèves qu’ils résolvent un problème en choisissant la bonne opération arithmétique, la performance dans la résolution de ces problèmes diminuait. Certains élèves choisissent l’opération qui est étudiée en classe à ce moment-là; d’autres se réfèrent aux indices sémantiques, par exemple lorsqu’un mot de l’énoncé est inducteur d’une opération.

Il apparaît donc précoce, en cycle 2, de proposer des activités de catégorisation d’énoncés en demandant de quelle opération relève le problème. Pour éviter de tels dysfonctionnements, il est nécessaire de tenir compte du développement de chaque enfant. « Un même problème , suivant le moment où on le propose, suivant les connaissances des élèves à qui on le destine et suivant la gestion qui en est faîte, peut être résolu par élaborations de procédures personnelles ou, plus tard, par reconnaissance et utilisation d’une procédure experte appropriée. Ainsi, au tout début de cycle 2, un problème comme : « de cette enveloppe qui contient 7 images, on retire 3 images. Combien l’enveloppe contient-elle d’images ? » est un véritable problème de recherche pour beaucoup d’élèves, dans la mesure où ils ne disposent pas encore de la procédure experte (utilisation de la soustraction) pour le résoudre. Ils peuvent cependant répondre à la question en utilisant des procédures personnelles (schématisation de la situation et comptage par exemple). » (documents d’application Cycle 2 p. 13)

L’APPRENTISSAGE DE LA SOUSTRACTION, DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION DOIT COMMENCER TRÈS TÔT. C’EST EN PROPOSANT DE TELS PROBLÈMES AUX ÉLÈVES, CONSIDÉRÉS ALORS COMME NOVICES, QU’ILS POURRONT S’EN IMPRÉGNER, S’EN CONSTRUIRE UNE REPRÉSENTATION MENTALE, EN UTILISANT DES PROCÉDURES DE NIVEAUX 1 ET 2. Les enseignants doivent reconnaître que les processus de résolution de problème s’acquièrent avec le temps et que ceux-ci peuvent être améliorés. C’est en fréquentant les problèmes qu’on apprend à les résoudre. « Lorsqu’un enfant est confronté à un problème dit de multiplication, de soustraction ou de division avant d’avoir étudié cette opération, c’est bien l’apprentissage de l’opération arithmétique correspondante qui commence. Cet apprentissage s’inscrit ainsi sur une longue durée » (Rémi Brissiaud, op. cit. , CE 1, p. 13)

III. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES À PROPOSER AUX ÉLÈVES Il est possible de classer les problèmes : - à partir des formes d’énoncés : texte, tableau, texte+image, texte+ document…, problèmes purement mathématiques, problèmes inter-disciplinaires, problèmes de la vie courante - à partir des notions mathématiques - à partir des objectifs pédagogiques Nous nous intéresserons aux problèmes classés à partir d’objectifs pédagogiques.

Les problèmes de mathématiques présentés à l’école primaire se répartissent en fonction des objectifs pédagogiques qui ne sont d’ailleurs pas nécessairement exclusifs les uns des autres. On distingue : - les problèmes d’approches ou de découvertes - les situations-problèmes, destinés à engager les élèves dans la construction de nouvelles connaissances. - les problèmes de réinvestissement, destinés à permettre aux élèves l’utilisation des connaissances déjà étudiées. - les problèmes d’approfondissement, destinés à permettre aux élèves l’extension du champ d’utilisation d’une notion déjà étudiée. - les problèmes d’évaluation qui permettent de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées. - les problèmes ouverts, destinés à mettre l’élève en situation de recherche. - les problèmes complexes, dans lesquels les élèves doivent utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances.

Les documents d’application les classent autrement : � problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance ; � problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer ; � problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances; solution experte. � Problèmes centrés sur le développement des capacités à cher : en général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte. Dans ce dernier cas, on parlera de problèmes pour cher alors que les précédents sont des problèmes pour apprendre.

Si une telle catégorisation est sans doute utile à l’enseignant pour repérer des choix possibles et guider son action pédagogique, elle à cependant des limites qu’il convient de souligner. Tout d’abord, il n’est pas certain que tous les problèmes y trouvent place. Et, plus fondamentalement, un même énoncé peut, selon le moment où il est proposé, selon les connaissances initiales des élèves, relever de l’une ou l’autre des catégories.

EXEMPLE : «Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces de monnaies. Il n’y a que des pièces de 2 F et de 5 F. Avec ces 32 pièces, j’ai 97 F. Combien y-a-t-il de pièces de chaque sorte ? » Cet exemple peut être un problème ouvert au CM 2, celui d’une situation-problème en troisième pour l’enseignant qui veut l’utiliser pour amener les élèves à travailler sur les systèmes d’équations, ou encore un problème de réinvestissement pour les élèves de troisième ou de lycée qui ont déjà étudié ce thème.

A. LES PROBLÈMES D’APPROCHES OU DE DÉCOUVERTES. L’objectif pédagogique de l’enseignant est de choisir un problème qui engage les élèves à utiliser leurs connaissances actuelles pour commencer à en percevoir les limites. La résolution du problème révèle les représentations de l’élève compte tenu des connaissances qu’il permet d’approcher. C’est le cas, par exemple, de « Combien de boîtes de 6 œufs pourra-t-on remplir avec 204 œufs ? » (Ermel, Apprentissage numérique, CE 2, Hatier), qui est un problème de partage en CE 2, pour favoriser l’approche de la division.

Exemple 1 (CP) : « En lançant deux dés à jouer bien distincts, quelles sont toutes les façons d’obtenir 8 ? » Matériel : deux dés de couleurs différentes Exemple 2 (CE 1) : La directrice d’une école dit : « Aujourd’hui, tournoi de basket ! Faites des équipes de 5 ! » Il y a 35 garçons et 22 filles qui doivent participer à ce tournoi. Combien peut-on former d’équipes de garçons ? De filles ? Matériel : papier, ardoise

B. LES SITUATIONS-PROBLÈMES. L’objectif pédagogique de l’enseignant est de proposer un problème que les enfants ne peuvent résoudre aisément avec leurs connaissances actuelles. C’est la prise de conscience qu’il y a un problème nouveau à résoudre, qu’on est en présence d’une situation qui « fait problème » , qui va déclencher le besoin de nouvelles connaissances. Cette pédagogie permet aux élèves d’avoir de meilleurs résultats dans la mesure où elle donne du sens à leurs apprentissages, ce qui est un élément primordial pour l’apprenant. L’activité déployée pour venir à bout du problème est l’occasion de la construction de connaissances nouvelles. Les psychologues cognitifs ont souligné l’importance, pour l’apprenant, de construire lui-même ses connaissances.

B 1/ QU’EST-CE QU’UNE SITUATION-PROBLÈME ? L’expression « situation-problème » est apparue à la fin des années 70 et recouvrait aussi bien les problèmes permettant l’expression de nouvelles connaissances, que ceux permettant de réinvestir et d’approfondir les notions étudiées. En fait, on qualifiait de situation-problème, toute situation qui posait problème aux élèves, c’est-à-dire toute question ou ensemble de questions dont la réponse n’est pas évidente et nécessite la mise en œuvre de concepts mathématiques importants et incite l’élève à se dépasser pour réussir.

Caractéristiques d’une situation-problème : L’ élève doit pouvoir facilement s’engager dans la résolution du problème. Il peut envisager ce qu’est une réponse possible du problème. « Il ne faut pas que les élèves restent secs sinon ils n’investiront pas leurs connaissances, ils ne pourront donc pas percevoir qu’elles sont insuffisantes. » Les connaissances de l’élève doivent être insuffisantes ou peu économiques pour résoudre ce problème. « Sinon il n’y a pas d’acquisition nouvelle , il y a réinvestissement de connaissances anciennes » La situation- problème doit permettre à l’élève de décider si une solution trouvée est convenable ou non. La connaissance que l’on désire voir acquérir par l’élève doit être l’outil le plus adapté pour la résolution du problème au niveau de l’élève.

Deux types de situation-problème : Celles pour lesquelles l’acquisition de connaissances passe par la prise de conscience et le dépassement d’une procédure, qui, jusqu’à présent, s’était avérée correcte et performante, et qui devient insuffisante parce qu’elle est peu économique ou sources d’erreurs de calculs, sans pour autant être fausse. L’objectif sera alors de faire prendre conscience aux élèves de ce manque de fiabilité ou d’économie. L’enseignant leur apporte alors les connaissances nouvelles, plus économiques, plus fiables pour résoudre le problème. Exemple : invalider la procédure par addition réitérée au profit de la procédure multiplicative. Celles pour lesquelles l’acquisition de connaissances passe par la confrontation à un obstacle en vue de la remise en cause d’une conception erronée. Exemple : invalider l’idée de lien entre agrandissement et addition.

B 2/ Synthèse des objectifs d’une situation-problème ? Les situations problèmes ont pour objectif : . - d’amener chaque élève à prendre conscience d’un problème; - d’émettre des hypothèses; - de remettre en cause le savoir antérieur; - d’induire un comportement de recherche; - de construire de nouveaux savoirs qui doivent être des outils mieux adaptés pour résoudre le problème posé; - de donner du sens aux savoirs nouveaux.

B 3/ Poser la situation-problème ? Le problème intéressant n’est pas celui qui sort du manuel, avec une question à laquelle l’élève doit apporter la réponse type. Un problème intéressant (pédagogiquement) est plutôt celui qui éveille la curiosité de l’élève, c’est en quelque sorte l’énigme qui survient devant l’élève dans le contexte de son expérience vécue. Cette situation est en général construite et mise en place par l’enseignant, dans le cadre de ses objectifs, mais en respectant les principe suivants :

1. L’objectif principal de la formation se trouve dans l’obstacle à franchir et non dans la tâche à réaliser. Cependant, l’effort de l’élève est orienté par la tâche alors que l’enseignant est guidé par l’objectif. 2. La question (l’énigme) doit, si possible, émaner de l’élève (ou de la classe). L’élève ne s’investira que si son travail l’aide à répondre à sa propre question. 3. La situation doit être familière et la « réponse » ne doit pas être évidente, mais l ’élève doit « sentir » qu’il est capable de la découvrir. Le problème doit se situer à la limite supérieure de la zone proximale du développement de l’élève et sa résolution constitue un enjeu pour l’élève. L’apprentissage visé est non seulement la mobilisation d’un savoir acquis, mais aussi l’acquisition d’un savoir nouveau ou le développement d’un savoir-faire. La détermination de l’obstacle dépend de l’état cognitif des élèves et de la nature de la tâche à effectuer. Puisque dans la zone proximale de développement l’élève doit se débrouiller sans l’aide du maître. D’après le psychologue Léon VYGOTSKI, c’est la distance entre ce que l’enfant peut effectuer seul et ce qu’il peut faire avec l’aide d’un adulte, un espace sur lequel l’apprentissage doit s’effectuer.

La pédagogie des situations-problèmes évite « la pédagogie de la réponse » où les activités et la parole sont accaparées par l’enseignant ou par les élèves qui réussissent bien habituellement et celle « du problème » où par exemple, pour les nécessités d’une production réussie, on préfère les activités des élèves-experts à celles débutants. Une situation-problème est en définitive un système qui interagit sur le problème et la réponse pour que les apprentissages se fassent dans la résolution du problème. « cela impose que l’on s’assure à la fois, de l’existence d’un problème à résoudre et de l’impossibilité de résoudre le problème sans apprendre » (Ph. Meyrieu, Apprendre… oui mais comment ? , ESF, 1999.

B 4/ Le rôle de l’enseignant En pratiquant la pédagogie des situations-problèmes, le rôle de l’enseignant change car il est perçu par les élèves comme celui avec qui ils parlent de ce qu’ils connaissent, de ce qu’ils doivent savoir et de la façon d’y parvenir. L’enseignant guide les choix méthodologiques des élèves par questionnement : - « Que fais-tu pour comprendre cette consigne ? » - « Peux-tu la reformuler autrement, la revoir ou l’entendre mentalement ? » - « Peux-tu souligner les mots qui te semblent importants, faire un schéma ? » - « Que sais-tu déjà faire pour t’avancer dans la résolution du problème ? » L’enseignant développe une pratique réflexive sur sa façon d’enseigner, il se demande comment : - adapter davantage d’obstacle et différenciation; - améliorer les situations d’apprentissage pour qu’elles correspondent mieux aux objectifs, et pour les faire comprendre aux élèves; - faire intérioriser le besoin d’un point de méthodologie et d’activités de soutien …

B 5/ Synthèse des objectifs d’une situation-problème Amener l’élève à prendre conscience d’un problème Donner du sens aux savoirs nouveaux Emettre des hypothèses SITUATIONPROBLEME Construire de nouveaux savoirs Remettre en cause le savoir ultérieur Induire un comportement de recherche

B 6/ MISE EN PRATIQUE DANS LES CLASSES Le principe d’un séance d’apprentissage est toujours de faire agir les élèves de manière productive plutôt que réceptive. L’enseignant met en œuvre une gestion particulière qui intègre des concepts directement issus de la didactique des mathématiques. Pendant le travail autonome des élèves, l’enseignant retrouve du temps pour intervenir plus individuellement comme guide, animateur. L’activité de situation-problème se déroule en plusieurs phases :

PHASE 1 : DÉVOLUTION DU PROBLÈME Le problème est présenté par l’enseignant. Il annonce dès le départ le droit à l’erreur. La précision de la consigne donnée aux élèves revêt une importance essentielle : elle doit à la fois définir la tâche à réaliser er créer l’énigme qui initialisera le processus d’apprentissage. Phase 2 : action Les élèves prennent conscience de l’insuffisance de leurs connaissances. Ils mettent en place les procédures de résolution en utilisant leurs connaissances ancienne, le plus souvent en groupes. .

PHASE 3 : FORMULATION Les élèves explicitent par écrit et oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées. L’enseignant peut demander aux élèves de produire des éléments personnels comme des réponses, des suggestions, d’autres questions, de simples constats, un projet, etc. , avec l’obligation (quand c’est possible) de les écrire et de consigner par écrit le résultat de la recherche. On suppose que cette exigence pousse les élèves à affronter l’obstacle de la

PHASE 4 : VALIDATION Les différentes procédures sont exposées à la classe entière, par groupe. Les élèves doivent se convaincre les uns et les autres de la pertinence de leur solution. La confrontation des différentes procédures doit permettre de faire émerger la procédure attendue. L’enseignant demande à chaque élève ou groupe de présenter ses propositions et de les justifier. Il prend soin de ne pas donner des renseignements ni des réponses. Il apporte plutôt des éléments contradictoires, afin de provoquer un réexamen par l’élève ou le groupe. Certaines procédures menant à des impasses sont démontrées. Une stratégie de résolution adaptée à la situation s’amorce. On est toujours dans une phase d’émission d’hypothèses et non de structuration.

PHASE 5 : INSTITUTIONNALISATION L’enseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire, précise les conventions de langage. Il s’agit d’homogénéiser les connaissances de la classe et de préciser dans les savoirs construits ceux qui sont à retenir, et sous quelle forme. Les phases précédentes ont conduit chaque élève à réactiver son savoir, à faire apparaître ses représentations (conceptions) et à les confronter avec d’autres idées ou avec la réalité. C’est en quelque sorte la « déstabilisation » indispensable à toute formation. L’enseignant reprend les travaux privés afin de détecter les difficultés et les représentations erronées, restructure toutes les idées brassées pendant cette activité, construit une synthèse, apporte les éléments d’informations nécessaires, fait un point méthodologique. Il peut rappeler les difficultés rencontrées, les différentes façons d’aborder le problème, les stratégies mises en œuvre, montrer l’articulation existant entre la méthode et le résultat.

PHASE 6 : ENTRAÎNEMENT ET RÉINVESTISSEMENT Il s’agit d’aider les élèves à se familiariser avec les nouveaux acquis, de les faire fonctionner dans les différentes situations pour qu’ils explorent leur champ d’application. Les phases d’entraînement et de réinvestissement sont suivies d’une évaluation.

CONCLUSION : Enseigner à partir de situations-problèmes est un puissant levier d’évolution du système éducatif. En effet, les élèves acceptent davantage le point de vue de leurs pairs, comprennent mieux le rôle de l’enseignant. Celui-ci modifie ses démarches pour les rapprocher de l’état cognitif de ses élèves. Les élèves deviennent autonomes et sont amenés à échanger sur leurs idées, leurs connaissances, leurs stratégies; enseignant et élèves partagent le savoir. Cependant, il est important de rappeler qu’on ne peut pas introduire toutes les connaissances et les savoir-faire à l’aide de situations-problèmes, et que pour les élèves en difficulté la décontextualisation ne se fait pas toujours facilement.

B 7/ EXEMPLES DE SITUATIONS-PROBLÈMES - Introduire le tableau à double entrée (demander aux élèves de trouver la carte qui manque dans un jeu de 7 familles auquel on a enlevé une carte) - Introduire la nécessité de regroupement par 10 (invalider la procédure de comptage 1 à 1 et favoriser la procédure de regroupement par 10) - Introduire la notion d’addition (demander aux élèves de fabriquer 12 € avec des pièces de 1 €, de 2 € et de billets de 5 € alors qu’ils n’ont pas encore vu ce qu’est une addition) - Introduire les écritures additives et soustractives - Introduire la multiplication et la commutativité de la multiplication

- Situations en géométrie : - repérage dans l’espace ( découvrir la nécessité du plan en tant que vue de dessus à partir d’une maquette) - repérage dans un quadrillage (la chasse au trésor) - Symétrie (approcher de manière perceptive que la symétrie se définit par rapport à une droite et que, dans une configuration symétrique les figures qui sont de part et d’autre de l’axe de symétrie, ont la même forme et la même taille) - Figures planes (découvrir l’angle droit et utiliser un gabarit pour montrer l’existence des 4 angles droits dans le carré et le rectangle) - Solides (reproduction d’un solide, introduire le mot « face » et identifier le nombre de faces)

C. LES PROBLÈMES DE RÉINVESTISSEMENT. L’enseignant choisit un problème pour que les élèves utilisent des connaissances antérieurs; ce problème peut être un problème complexe puisque les élèves peuvent mettre en œuvre plusieurs catégories de savoirs et de savoir-faire. Sans réactivation, il n’y a pas de mémorisation possible, il y a connaissance mais non apprentissage.

EXEMPLE 1 (CP) : Voici des nombres : 26 62 76 37 J’ai choisi un nombre de cette liste. Trouvez-le en utilisant les 3 renseignements que je vous donne : - il est plus grand que 35 - le chiffre des dizaines n’est pas 7 - il est plus petit que 50 Matériel : ardoise et papier.

EXEMPLE 2 (CE 1) : Au zoo de Maubeuge, il y a 42 babouins, 14 perruches, 3 lionnes, 23 antilopes, 6 canards, 3 crocodiles. Combien d’animaux à plumes y a-t-il ? Combien d’animaux à poils y a-t-il ? Combien d’animaux y a-t-il ?

D. LES PROBLÈMES D’APPROFONDISSEMENT. Il semblerait que même si les élèves en difficulté parviennent à résoudre une situation-problème, à comprendre l’intérêt de cette nouvelle connaissance ainsi construite, et à acquérir certaines connaissances dans un certain contexte, ils éprouvent, toutefois, des difficultés au niveau du transfert. De même pour les élèves qui ne sont pas en difficultés, les problèmes d’approfondissement ont leur importance, une situation-problème proposée dans un contexte particulier ne leur suffisant pas à l’ancrage de nouvelles connaissances. C’est pourquoi l’enseignant propose un problème dans un autre contexte. C’est seulement lorsque l’élève sera capable de mobiliser les connaissances ainsi construites, à bon escient et de façon autonome, pour traiter de nouveaux problèmes, que celles-ci pourront être considérées comme réellement acquises.

E. LES PROBLÈMES D’ÉVALUATION. L’objectif est de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées

F. LES PROBLÈMES OUVERTS L’objectif pédagogique de ce type de problèmes est qu’il est destiné à mettre l’élève en situation de recherche et de développement des compétences d’ordre méthodologique. Il est conseillé à l’enseignant de proposer ce genre de problèmes avant même de traiter des situations-problèmes, cela permettra, aux élèves, de développer des attitudes de recherche dont ils pourront avoir besoin pour résoudre des situations-problèmes.

L’expression problème ouvert est très explicite : elle signifie qu’on propose aux élèves une véritable recherche, très partiellement guidée, ce qui nécessite souvent de formuler des hypothèses ou de mettre en œuvre des méthodes qui n’ont pas été indiquées. Ainsi, les élèves apprennent à lancer une recherche, pour développer leur autonomie et leur capacité à évaluer leurs résultats.

F 1. QU’EST-CE QU’UN PROBLÈME OUVERT ? L’équipe de l’IREM de Lyon propose la définition suivante : « Un problème ouvert est un problème qui possède les caractéristiques suivantes : - L’énoncé est court. - L‘énoncé n’induit ni la méthode ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que » ). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l’utilisation ou à l’application immédiate des derniers résultats présentés en cours. - Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement « possession » de la situation et s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contreexemples. »

F 2. LE PROBLÈME OUVERT, POURQUOI ? � Permet de mettre l’accent sur des objectifs spécifiques, d’ordre méthodologique : � � � � � Essayer. Organiser sa démarche. Mettre en oeuvre une solution originale et en évaluer l’efficacité. Formuler des hypothèses et les tester. Argumenter… Offre une occasion de prendre en compte et d’exploiter les différences entre élèves : les solutions peuvent être diverses et utiliser des connaissances et des stratégies variées. Permet confrontation et débat. Permet à l’enseignant de mieux faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problème : il s’agit de cher, de prendre des initiatives. La responsabilité de la solution appartient entièrement à l’élève.

F 3. LES OBJECTIFS VISÉS À TRAVERS UN TRAVAIL DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME OUVERT. Les objectifs visés peuvent être de différents ordres : � Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) : � � � � Des objectifs disciplinaires : � � � � Observer les différentes procédures des élèves, Recueillir des informations pour la mise en commun, Les encourager et les rendre curieux, Développer le travail en petits groupes, Favoriser la communication et les échanges entre les élèves, Mettre n place le contrat didactique. Faire des hypothèses, Imaginer des solutions, Prendre conscience qu’un problème peut avoir plusieurs solutions, Confronter des solutions, les valider, Argumenter, Utiliser des connaissances antérieures. Des objectifs méthodologiques : � � � Faire et gérer des essais, les traces écrites. Trier, organiser les informations, Organiser sa démarche, Prendre des initiatives, Oser se tromper.

F 4. COMMENT CHOISIR DES ÉNONCÉS DE PROBLÈMES OUVERTS ? L’enseignant choisit un énoncé inédit en fonction des connaissances des élèves et du moment où il le propose dans la scolarité. Les élèves ne disposent pas de procédure de résolution préalablement enseignée. En effet, un problème mettant en relation deux inconnues est un problème ouvert à l’école élémentaire et de réinvestissement pour un élève de seconde. La solution de ce problème ne doit pas

F 5. QUELLES CONSIGNES FORMULER AUX ÉLÈVES ? L’enseignant demande aux élèves de cher, en utilisant leurs connaissances et leur bon sens. F 6. Des critères pour valider la résolution. Pour valider cette activité, l’enseignant va s’intéresser à la validation des objectifs visés, par exemple : - L’élève a-t-il été acteur de sa recherche ? - A-t-il fait des essais ? - A-t-il utilisé les différentes procédures et connaissances nécessaires à la résolution ? - A-t-il dégagé une méthodologie ? - Cette activité a-t-elle permis aux élèves d’entrer dans un débat mathématique ? - A-t-elle permis aux élèves d’échanger ?

F 7. MISE EN OEUVRE D’UNE SÉANCE Au cours de la séance, l’enseignant ne doit donner aucun indice concernant les solutions, ce sont les élèves qui vont débattre, évaluer et valider leur solution. Phase 1 : temps de familiarisation C’est la phase de lancement de l’activité et d’appropriation du problème par les élèves. L’enseignant choisit soit d’énoncer le problème oralement soit de distribuer ou d’afficher l’énoncé, il peut présenter du matériel qui pourrait être utile à certains lèves. Il doit s’assurer que les élèves ont compris ce qu’’il leur demande.

PHASE 2 : RECHERCHE INDIVIDUELLE Elle est assez brève. L’enseignant n’intervient pas. Chaque élève cherche à répondre à la question. Phase 3 : recherche et échanges en petits groupes L’enseignant observe les attitudes élèves et repère les différentes stratégies. Chaque élève doit comprendre les solutions des autres membres du groupe. Les élèves cherchent à convaincre et discutent des solutions proposées. Les élèves réalisent ensuite des affiches, fruits de leurs débats où ils exposent les solutions retenues. Cette phase est particulièrement riche car elle permet aux élèves de prendre conscienceque le problème peut avoir plusieurs solutions et procédures de résolution, elle prépare la mise en commun.

PHASE 4 : MISE EN COMMUN Les élèves réunis en grand groupe font l’inventaire des réponses et des procédures utilisées. C’est un moment d’échanges et de débats. L’enseignant laisse les élèves prendre connaissance du contenu de chaque affiche et leur demande d’avoir un avis critique. Les solutions inexactes sont discutées et sont écartées par les élèves. L’enseignant a un rôle d’animateur, il ne doit pas à ce moment influencer les élèves, ni mettre en évidence la procédure la plus rapide, celle à laquelle il a pensé ou celle considérée par les élèves comme la plus efficace. Phase 5 : synthèse L’enseignant conclut sur les différentes procédures et fait un point de méthodologie. Il rappelle aux élèves que ce type de problème est très important car il leur permet d’apprendre à cher.

F 8. Quelques recommandations La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation. La recherche ne doit commencer que lorsque les termes et l’enjeu du problème sont appropriés par tous les élèves. Facile à dire, plus difficile à réaliser : il faut donner toutes les indications pour que le problème soit clairement défini et aucun indication qui puisse esquisser une procédure possible de résolution. Ajoutons que le problème n’est pas nécessairement présenté sous la forme d’un énoncé écrit : il peut être formulé oralement ou même illustré matériellement. Exemple 1 : au CP, un problème de partage peut être un problème ouvert. Supposons qu’il s’agisse de partager 18 objets en 3 personnes. Le problème peut être présenté de la façon suivante. Le maître dispose de 18 images qu’il montre aux élèves en début de séquence, puis range dans une boîte. Il remet à chaque enfant (ou à chaque groupe) 3 enveloppes et donne la consigne suivante : « Je dois envoyer ces 18 images à 3 enfants. Pour cela, je vous ai donné 3 enveloppes, une par enfant. Vous devez écrire sur l’enveloppe le nombre d’images que je devrais mettre dans l’enveloppe. Attention, les 3 enfants doivent recevoir le même nombre d’images. Vous avez une feuille blanche pour cher. On notera que, dans cette présentation, les élèves sont dispensés du contrôle de l’une des variables : le nombre de parts.

Il reste encore à faire comprendre aux élèves les autres contraintes du problème : - il faut répartir la totalité des images (ici 18) - chaque enfant doit en avoir le même nombre (partage équitable) Si les échanges avec les élèves n’y suffisent pas, on peut suggérer, dans une situation comparable (par exemple 6 images, 3 enveloppes) de présenter diverses solutions et de demander si elles respectent les contraintes, par exemple (3 images, 3 images), (6 images, 6 images), (2 images, 1 image, 3 images), Exemple 2 : « Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces de monnaie. Il n’y a que des pièces de 2 F et de 5 F. Avec ces 32 pièces, j’ai 97 F. Combien y-a-t-il de pièces de chaque sorte ? » (Rencontres Pédagogiques, n° 12, INRP) Ici un échange avec les élèves peut suffire à assurer la compréhension de la situation proposée. Le respect des contraintes n’est pas assuré pour autant, certaines contraintes sont souvent oubliées en cours de recherche. C’est le rôle de validation que de le mettre en évidence.

La phase de recherche doit appartenir aux élèves. Les interventions de l’enseignant doivent se limiter à des encouragements, des réponses à des questions portant strictement sur la compréhension de l’énoncé, mais en aucun cas, sur la validité d’une procédure, sur le fait que la voie choisie est bonne ou mauvaise, … Par contre, il est important, pour l’enseignant, d’observer le travail des groupes, en particulier pour recueillir les informations qui l’aideront à préparer la phase de mise en commun. Le plus souvent, la recherche sera faite en petits groupes. Mais il est utile que auparavant, chaque élève ait pu se faire sa

La mise en commun est avant tout une phase d’échanges et de débat autour des solutions proposées par les élèves. Le plus souvent, elle pourra se réaliser autour des affiches que les élèves auront réalisées à l’issue de leur recherche. Le rôle de l’enseignant est d’abord de permettre un véritable échange entre les élèves et non, entre les élèves et lui, avec l’idée permanente qu’il s’agit de confronter des solutions, de les discuter, de les défendre, de les valider… et non d’arriver à exhiber « la bonne solution » , celle à laquelle avait pensé l’enseignant

La même situation peut être proposée à nouveau aux élèves, après la phase de mise en commun, avec des nombres différents par exemple. Cela permet à certains élèves d’essayer une solution qu’ils n’ont pas élaborer euxmêmes, mais dont ils ont perçu l’intérêt au cours des échanges. Mais ce choix doit rester à leur initiative !

F 9. Représenter par un schéma un problème ouvert � � Inciter les élèves à schématiser est une partie essentielle de l’apprentissage de la résolution de problème. Quand un élève n’arrive pas à se représenter la situation adéquate, son activité tourne peu à peu vers une manipulation de symbole dépourvue de signification. La schématisation d’un énoncé peut aider à la mise en relation des données pertinentes et favoriser la représentation mathématique d’un problème. La mise en place précoce de telles activités permet d’apprendre aux enfants à représenter par un schéma la situation décrite dans l’énoncé et contribue ainsi à développer chez l’enfant l’aptitude à comprendre les relations qui se trouvent dans un énoncé mathématique : il s’en construit une représentation mentale et imagée. Symboliser une situation revient à anticiper la solution pratique et progresser vers l’abstraction, l’élève se donne les moyens de raisonner sur des symboles.

F 10. Exemple : le nombre de pattes (CP) � Phase 1 : individuelle � L’enseignant écrit un texte de problème (énoncé sans questions) au tableau et le lit : Enoncé : les enfants vont à la ferme. Il y a 6 poules, 3 vaches, 4 cochons, 2 canards, 1 coq.

� Elle le fait reformuler par les enfants, elle s’assure que tous les enfants ont compris le texte. Puis elle distribue une feuille de consigne : � « Tu vas faire un dessin qui raconte cette histoire. En regardant le dessin, je dois comprendre l’histoire. » � L’enseignant doit veiller à faire une présélection lors du travail.

� Phase 2 : collective � Discussion autour de quelques dessins affichés par l’enseignant. � L’enseignant demande : « les dessins correspondent-ils bien à ce que nous dit le texte ? » � Un débat s’instaure, une classification dessins s’ensuit. Trois types de dessins sont produits : �- ceux qui tiennent compte du texte sans considérer les valeurs numériques, � - ceux qui tiennent compte des données et qui ont rajouté des éléments extérieurs à l’énoncé � - ceux qui tiennent du texte uniquement et des

� � � Phase 3 : débat Débat collectif autour dessins qui permettent de répondre à la question : « Serais-tu capable de trouver le nombre de pattes de tous les animaux réunis ? » C’est un moment de langage, d’échange, de questions et d’argumentation. L’enseignant mène le débat, il désire que les enfants explicitent la manière d’utiliser les dessins. Il intervient pour préciser le sens de la démarche de certains élèves et pour faire des liens. Cette phase a pour objectif d’amener les enfants à constater que certains dessins ne sont pas utilisables pour résoudre le problème, notamment ceux qui rajoutent des informations ou qui en oublient (ils illustrent l’histoire sans tenir compte des nombres et des relations « 4 pattes pour un cochon ou une vache, 2 pattes pour une poule …)

� Phase 4: dessin support à la résolution � Résolution du problème à l’aide de dessins. � L’enseignant demande aux élèves de résoudre le problème en se servant d’un dessin de leur choix. � Les enfants travaillent individuellement ou par 2, puis une phase de mise en commun est instituée par l’enseignant de façon à ce que les élèves présentent leurs procédures. � Les solutions et schémas les moins efficaces au début sont discutés, puis les autres solutions plus efficaces. � L’enseignant propose de répéter l’expérience plus tard, mais avec des problèmes différents.

� Prolongements � Trois types de prolongements peuvent être proposés : � 1/ Dessiner et écrire pour résoudre un véritable problème, avec les phases d’appropriation de l’énoncé, de recherche individuelle ou par équipe de 2, de mise en commun et de méthodologiebilan (consolidation des acquis : faire prendre conscience aux élèves des caractéristiques d’une schématisation efficace par contre-exemples et exemples; noter la leçon dans le cahier. )

� 2/ Travailler sur un autre énoncé. � Exemple : � Si les enfants vont à la piscine : les 21 enfants de la classe vont à la piscine. Ils doivent tous avoir des palmes. Combien faut-il de palmes ? � L’enseignant fait un retour sur la séance précédente afin d’activer les connaissances antérieures. Les élèves sont en action. En équipe de 2, ils doivent trouver la solution au problème et une façon d’expliquer aux autres équipes la démarche qui leur a permis de trouver la solution. � L’objectif est de mettre en action les nouveaux acquis. � Tout en conservant les mêmes équipes de travail qu’à la dernière séance, l’enseignant présente à chacun des groupes le problème. � Les problèmes sont lus et la compréhension du vocabulaire est vérifiée. � L’enseignant met les élèves au défi de trouver la solution…

� 3/ Réfléchir aux schématisations de problèmes produites par des élèves fictifs. � Dans ces activités, les enfants sont confrontés aux erreurs les plus fréquentes pour un type de problème donné. � Les enfants apprennent beaucoup en utilisant un raisonnement par différence : « L’analyse de ces erreurs est souvent source de progrès » (Rémi Brissiaud, J’apprends les maths – CE 1 et le livre du maître p. 15)

F 10. quelques problèmes ouverts de cycle 2 - le nombre de doigts dans la classe - « quand utilise-t-on le moins d’eau : quand on prend un bain de 170 litres d’eau ou, quand on prend 5 douches de 30 litres » (J’apprends les maths, CE 1) - Avec des pièces de 1 F, 2 F et 5 F, trouvez plusieurs façons d’avoir 17 F. (Ermel, CP, 1991) - Je pense à 2 nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces 2 nombres ? Problèmes de partage : - une maîtresse d’une classe de CP a 24 élèves. Elle veut faire travailler ses élèves par groupes de 3. Combien peut-elle faire de groupes ? - André, Bruno et Claire ont ramassés des coquillages : André en a 25, Bruno en a 33 et Claire en a 20. Ils veulent en avoir autant chacun. Combien chacun en aura-t-il ? (Ermel, CP) - Aurélien, Bruno et Claude se partagent équitablement 19 bonbons. Que peut-on cher ? (Ermel, CE 1) - Je veux afficher des images dans la classe. Pour les petites images, j’ai besoin de 4 aimants; pour les grandes, j’en ai besoin de 6. je dispose de 36 aimants. Combien d’images puis-je afficher ? (J’apprends les maths, CE 1)

Problèmes multiplicatifs : - Rémi est malade. Le médecin lui a donné un médicament. Il doit prendre 2 comprimés par jour pendant 7 jours. Dans la boîte que la pharmacienne lui a donnée, il y a 15 comprimés. Aura-t-il assez de comprimés pour suivre son traitement? - Tous les jours de la semaine, Jean dépose 3 euros dans sa tirelire. Combien d’argent dépose-t-il par semaine dans sa tirelire? - Hervé a eu pour Noël un très beau livre. Pendant le mois de janvier, il lit 2 pages par jour. Combien de pages a-t-il lu à la fin du mois ? - Un clown a 3 chemises : une rouge, une bleue, une verte et 3 pantalons : un jaune, un violet, un marron. Recherche les différentes manières de l’habiller (problème de dénombrement)

Approche de simple proportionnalité : Un bouquet de fleur coûte 5 euros. Combien de bouquets puis-je acheter avec 30 euros? Sur la notion de moitié : Recette du quatre-quarts (pour 2 personnes) : - 1 verre de farine - 1 verre de beurre fondu - 1 verre de sucre en poudre - 1 œuf Laura veut inviter 5 personnes. Combien lui faudra t-il d’œufs, de verres de farine, de beurre fondu et de sucre?

F 11. quelques problèmes ouverts de cycle 3 - On dispose de pièces de 50 c, de 20 c et de 5 c. Peut-on constituer la somme de 5 F avec exactement 20 pièces ? (Aides pédagogiques pour le CM) Ce problème n’a pas de solution…A partir de ce constat, on peut relancer la recherche en se demandant quelles sont les sommes possibles et les sommes impossibles à réaliser, avec les mêmes conditions. - On a une ficelle de 26 cm de longueur. On veut construire avec cette ficelle, un rectangle dont l’aire soit la plus grande possible. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? (Des problèmes pour apprendre en CM 2 et sixième) - Un rectangle a un périmètre égal à 34 cm et une aire égale de 60 cm². Trouver sa longueur et sa largeur. - Combien existe-t-il de nombres de 3 chiffres tels que le produit des chiffres soit compris entre 500 et 520? - Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 7 ?

F 12. Conclusion Résoudre des problèmes de recherche dits « ouverts » permet aux élèves d’acquérir un comportement de recherche, de devenir autonomes, d’utiliser la pensée divergent comme démarche mentale … et répond aux attentes du programme de cycle 3 en particulier. Il est intéressant d’en proposer régulièrement tout au long de l’année. Les élèves acquièrent des compétences méthodologiques relatives à des savoir-faire qu’ils vont rencontrer dans toutes les disciplines et qui pourront être transférées.

G. exemples de jeux et de « problèmes pour cher » (pour développer chez les élèves le goût de la recherche et les capacités à cher) a) Activité « atteindre un nombre » On part de 5. On peut soit ajouter 9 soit enlever 6 et ceci autant de fois qu’on veut. - Essayer d’atteindre 17. Exemple de solution : 5 + 9 – 6 = 17 - Essayer d’atteindre 18. Le problème n’a pas de solution.

Complément : Recherche des nombres qu’on peut atteindre 32 +9 35 -6 14 +9 5 29 26 23 +9 +9 23 -6 11 8 -6 +9 2 -6 20 -6 +9 +9 -6 +9 17 -6 -6 +9 14 -6 +9 5 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc.

b) Jeu à deux « atteindre 15 » Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui n’ont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit qu’il obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, c’est match nul). 9 8 7 6 4 5 2 3 1 Joueur 2 Joueur 1 8 3 4 Le joueur 1 a gagné. 2 9

Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur n’obtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit qu’il peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. 1 2 4 3 Joueur 2 Joueur 1 8 3 1 7 6 5 6 2 4 Le joueur 1 a gagné. Remarques : -si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue. -si aucun joueur n’arrive à obtenir 15, il y a match nul. 7 8 9

Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à 10 15 = 1 + 5 + 9 15 = 2 + 4 + 9 15 = 3 + 4 + 8 15 = 1 + 6 + 8 15 = 2 + 5 + 8 15 = 3 + 5 + 7 15 = 4 + 5 + 6 15 = 2 + 6 + 7 - Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nombre 2 3 4 3 2 d'apparitions - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) Exemple : 2 9 4 7 5 3 6 1 8 Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15.

H. LES PROBLEMES COMPLEXES H 1. Mobiliser plusieurs catégories de connaissances Un problème complexe est un problème dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances. De ce fait, un problème complexe est un problème de réinvestissement. La résolution d’un tel problème exige de scinder le problème en sous-problèmes, de comparer plusieurs solutions et/ou hypothèses. L’énoncé peut comporter plusieurs informations placées dans différents endroits, ces informations peuvent être données dans le texte, dans un graphique, dans un schéma ou fournies oralement. La tâche d’appropriation du problème est donc complexe, puisque l’élève doit à la fois trouver l’interprétation adéquate, prendre en compte un nombre élevé d’informations, isoler les données utiles à la résolution du problème et mettre en évidence différentes étapes de la résolution, tout en mobilisant plusieurs connaissances.

H 2. Pourquoi un travail de résolution de problème complexe ? Résoudre un problème complexe permet de : - proposer à l’élève une véritable activité mathématique - faire prendre conscience aux élèves que ce sont eux les responsables de recherche, indépendamment de l’enseignant - faire abandonner aux élèves l’idée selon laquelle pour résoudre un problème, il faut appliquer directement les connaissances déjà étudiées; et donc prendre des initiatives.

H 3. Quels objectifs ? Les objectifs peuvent être de différents ordres : � Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) : � Développer un comportement de chercheur � Montrer qu’il est possible de concilier un enseignement collectif (échanges dans la classe) et une gestion plus individualisée d’une partie des apprentissages � Des objectifs disciplinaires : � Aborder une démarche scientifique : essais, conjectures, validation � Traduire des contraintes � Mettre en relation les données � Utiliser des connaissances antérieures � Justifier les résultats � Des objectifs méthodologiques : � Donner des méthodes de traitement de l’information � Savoir prendre des informations dans un texte, un graphique ou un schéma, trier, organiser les informations � Traiter les informations pour partager le problème en sousproblèmes � Gérer les traces écrites et les essais � Produire les résultats intermédiaires � Communiquer les résultats

H 4. Quelle consigne formuler? L’enseignant demandera aux élèves de rédiger sur leur feuille les différentes étapes de leur recherche, c’est-à-dire d’expliquer comment ils font pour résoudre un problème au fur et à mesure de leur recherche. Il précisera que ceux-ci doivent mettre en relation les données pour entrer dans la phase de résolution.

H 5. Comment valider la résolution d’un problème complexe? - L’élève s’est-il interrogé sur l’énoncé ? - A-t-il reformulé le problème en le décomposant en sous-problèmes ? - A-t-il produit des résultats intermédiaires ? - A-t-il su traiter les diverses informations ? - A-t-il su traduire les contraintes, mettre en relation les données ? - L’élève a-t-il fait des essais, tâtonné ? - A-t-il utilisé les différentes connaissances nécessaires à la résolution ? - A-t-il fait preuve de cohérence dans le raisonnement et l’enchaînement des actions ? - L’élève a-t-il développé son esprit critique, fait des vérifications qui l’ont incité à prendre conscience d’éventuelles erreurs?

H 6. Quelle mise en pratique dans la classe? Séance 1 : Lors de cette première séance, les élèves travaillent seuls. Phase de dévolution : lancement de l’activité L’enseignant présente l’activité et donne les consignes à suivre aux élèves. Il distribue l’énoncé du problème ou l’affiche au tableau. Il le fait reformuler par les élèves. Les élèves commencent par s’approprier le problème : ils le lisent de façon silencieuse, le reformulent individuellement. L’enseignant peut alors proposer de retourner l’énoncé et de le raconter. Ensuite, ils peuvent vérifier leurs dires en regardant à nouveau l’énoncé.

Phase d’action : recherche individuelle Les élèves prennent des informations dans les différents supports de l’énoncé, repèrent, traduisent les contraintes et mettent en relation les données. Ils sont amenés à partager le problème en sous-problèmes et font appel à leurs connaissances. Phase de formulation Les élèves explicitent par écrit, par dessin, par manipulation de matériel ou oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées, c’est-à-dire comment ils font pour résoudre le problème, au fur et à mesure de leur recherche. .

Phase de validation : mise en commun C’est la mise en commun durant laquelle les différentes procédures sont exposées, par groupe, à la classe entière. L’objectif de l’enseignant est de faire l’inventaire des différentes stratégies des élèves et des méthodes qu’ils ont utilisées pour prendre en compte les informations, les contraintes, pour partager le problème en sous-problèmes. Phase d’institutionnalisation L’enseignant cherche à dégager des invariants d’ordre méthodologique de façon à ce que les enfants puissent les réinvestir lors d’activités ultérieures.

Séance 2 : Il s’agit d’une séance de résolution de problèmes complexes devant laquelle les élèves travaillent en groupe. L’enseignant demande à chaque groupe de produire une affiche et de nommer un rapporteur. Les phases sont identiques à celles de la séance 1; la phase d’action se scinde en deux : une phase de recherche individuelle suivie d’une phase de recherche en groupe. C‘est le rapporteur qui expose la procédure choisie par son groupe à l’ensemble de la classe Remarque : Les élèves comprennent qu’un problème n’est pas une application directe du cours : ils doivent acquérir des compétences mathématiques de chercheur et adopter une méthodologie qu’ils développent, chemin faisant, en se l’appropriant.

H 7. Exemples. Exemple 1 : CE 1 6 œufs d’oie coûtent 12 euros. 12 œufs de poule coûtent 6 euros. Cédric veut acheter 12 œufs d’oie et 6 œufs de poule. Combien va-t-il payer ?

Exemple 2 : CE 1 Le phare du Soleil levant mesure 70 mètres de hauteur. Il possède 420 marches. Il est ouvert de 9 h à 17 h du 1 er mars au 30 septembre. 1. Alex et Leïla ont déjà monté la moitié des marches. Combien de marches ont-ils monté ? 2. Moustik est fatigué. Il n’a monté que 100 marches. Combien de marches doit-il encore monter pour arriver en haut du phare ? 3. Il existe des phares beaucoup plus haut que celui-ci. Le phare d’Antifer mesure 128 mètres de haut. De combien de mètres dépasse-t-il le phare du Soleil levant ?

Exemple 3 : CE 1 Dans le panier d’Alex, il y a 60 fruits. Il y a des pommes et des poires. Le nombre de poires est le double de celui du nombre des pommes. Combien y a-t-il de pommes ? Combien y a-t-il de poires?

Exemple 4 : CM 1 3 chameliers conduisent chacun 3 chameaux. Sur chaque chameau, il y a 3 paniers. Dans chaque panier, il y a 3 chattes. Chacune de ces chattes est accompagnée de 3 châtons. Cela fait beaucoup de pattes. Combien en comptes-tu dans cette caravane ? Trouve une solution.

Exemple 5 : CE 1 Le marathon de New-York est retransmis à la télévision. Une journaliste sportif commente : « Hercules est en tête : il ne lui reste plus que 20 km à parcourir. Marcus est deuxième : il a déjà parcouru 27 km. Sam est troisième : sur les 50 km de course, il n’en a parcouru que la moitié. » Es-tu d’accord avec le classement du commentateur ? Justifie ta réponse.

« DES PROBLÈMES POUR APPRENDRE, DES PROBLÈMES POUR CHER » FIN David Rolland, professeur de mathématiques à l’Ecole Normale Mixte de Polynésie Française