Stabilit per E D O I STABILIT LINEARIZZATA

Stabilità per E. D. O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA 19 -Maggio-2006 Marina Mancini

Sistema autonomo Consideriamo un sistema di equazioni ed incognite: . . funzioni continue di variabili reali è definita e continua in 2

Sistema autonomo(2) (1) Se partiamo dalla condizione iniziale: esiste un’ unica soluzione. di (1) che verifica Definizione: Un punto dove tutte le funzioni sono uguali a zero è detto punto fisso del sistema autonomo (1). 3

Sistema autonomo lineare Un sistema autonomo come (1) è lineare se e solo se tutte le funzioni sono funzioni lineari omogenee di , e: , . . Il sistema (2) ha come soluzione i=1…n (2) . 4

Norma di una matrice Sia , allora E soddisfa le seguenti proprietà 1. , 2. 3. . : , , e vettore. Inoltre vale: Se sono autovalori di t. c. 5

Stabilità alla Lyapunov delle soluzioni DEFINIZIONE: Sia soluzione di (1) che soddisfa: (a) è definita per , e (b) appartiene all’insieme allora è detta stabile se: t. c. ogni soluzione , e (c) (d) Fissato soddisfa (a) e (b) con t. c. implica 6

Stabilità asintotica delle soluzioni DEFINIZIONE: La soluzione stabile e di (1) è asintoticamente stabile se è t. c. implica Una soluzione che non è stabile è detta instabile. 7

Riduzione alle soluzioni nulle Consideriamo il sistema autonomo non lineare: (3) e sia la soluzione di (3) all’istante t, a partire dalla condizione iniziale. Un punto è un punto fisso per (3), , se: In generale sappiamo che i punti fissi di (3) sono tutte le soluzioni reali di: pertanto 8

Riduzione alle soluzioni nulle(2) Sia punto fisso di (3). Si consideri come nuova variabile: Il sistema dinamico ha punto fisso nell’origine poiché: CONCLUSIONE: Non è insomma restrittivo limitare l’analisi al caso di un sistema autonomo con punto fisso nell’origine. 9

Approssimazione lineare Il processo di linearizzazione ci consente di determinare l’equivalente lineare di un sistema non lineare nell’intorno di un punto fisso. Consideriamo il sistema non lineare: con punto fisso . Il punto fisso può essere preso come punto iniziale per un’espansione in serie della funzione. Arrestando tale espansione al primo ordine si ottiene: 10

Approssimazione lineare(2) Dove: è l’incremento rispetto al punto fisso indica tutti i termini di ordine superiore al primo è nullo per definizione di punto fisso. è un termine lineare descrivibile, quindi, in modo matriciale: Il comportamento del sistema non lineare, in un intorno del punto fisso, può quindi essere descritto, in modo approssimato, dal sistema lineare: 11

Lemma di Gronwall Se e sono funzioni scalari non negative continue per è una costante non negativa e allora 12

Lemma di Gronwall(2) Dimostrazione Se allora la disuguaglianza data implica che: Integrando ambo i membri da a si ha: 13

Lemma di Gronwall(3) Ciò implica che Se il risultato vale e implica che è identicamente nulla e la disuguaglianza è banalmente soddisfatta. 14

Un risultato per i sistemi non lineari Consideriamo il sistema non lineare nella forma: (4) termine lineare Con i. ii. termini di ordine superiore al I soddisfa: e è continua per cioè e con La condizione i. assicura la locale esistenza delle soluzioni, ii. implica quindi è soluzione di (4). 15

Teorema (Stabilità Linearizzata) Se è una matrice costante stabile e con polinomio caratteristico soddisfa le condizioni i. e ii. , allora la soluzione del sistema è asintoticamente stabile. 16

Dimostrazione Riscriviamo la definizione di stabilità per sia (a) (b) allora (c) : soluzione di (1) che soddisfa: è definita per , e appartiene all’insieme è detta stabile se: con (d) Fissato t. c. ogni soluzione , e soddisfa (a) e (b) t. c. implica 17

Dimostrazione(2) Innanzitutto dimostriamo che la soluzione è definita per quando è vicino a zero. Se è la matrice fondamentale del sistema t. c. , allora per ipotesi esistono due costanti positive e t. c. per. Poiché è una matrice costante, la soluzione deve soddisfare la relazione che implica La prima relazione, e quindi la seconda, è certamente valida per in ogni intervallo per cui se prendiamo 18

Dimostrazione(3) Dalla condizione ii. segue che implica. Se prendiamo t. c. per Ma t. c. allora, per la continuità di per. Pertanto , esiste . Per il Lemma di Gronwall si ha: e sono arbitrari, quindi scegliamo e t. c. per. t. c. implica 19

Dimostrazione(4) Poiché soluzione è definita per , possiamo prolungare la , che esiste localmente in ogni punto , intervallo dopo intervallo, preservando la condizione. Pertanto, ogni soluzione con , è definita per e soddisfa. Ma può essere piccolo a nostra scelta, ciò implica che è stabile, e implica che è asintoticamente stabile. CONCLUSIONE: La stabilità asintotica delle traiettorie dei sistemi lineari è preservata. 20

Osservazione Osserviamo che questo risultato vale anche nel caso dei sistemi non autonomi non lineari che assumono la seguente forma: soddisfa: i. ii. è continua per , e uniformemente rispetto a . 21

Esempio Consideriamo il sistema: Dove ad-bc≠ 0, sono continue e con Per il teorema precedente si ha: 22

Esempio(2) v Se le radici del polinomio caratteristico di hanno parte reale negativa, allora (0, 0) è un punto fisso asintoticamente stabile del sistema non lineare. 23