Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB Srikandi Kumadji DOSEN

Srikandi Kumadji DOSEN FIA UB

LINEAR PROGRAMMING 1. 2. 3. 4. 5. TUJUAN LP PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAM LP ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP SEJARAH LP MODEL FORMULASI

MATERI YANG MENARIK 1. TUJUAN LP PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN DALAM LP ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP SEJARAH LP MODEL FORMULASI

TUJUAN LP Tujuan utama suatu usaha bisnis: 1. 2. Memaksimumkan laba atau Meminimumkan biaya.

Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendala sumberdaya Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam kondisi deterministik. Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tersebut. Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang

Sumberdaya meliputi: v mesin-mesin v tenaga kerja v uang v waktu v kapasitas gudang (ruangan) v material v dll

Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi: v barang: Ø sandang Ø pangan Ø papan Ø dll v jasa : Ø rencana pengiriman dan produksi Ø keputusan investasi Ø kebijakan advertensi Ø dll

PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P 1. Perusahaan mempunyai tujuan, yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya 2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan. 3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan. 4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP 1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepastian di mana nilai-nilai, jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis. 2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh :

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP 1 L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60 X jika X = 2, maka M jika X = 5, maka M < 120 < 300

Asumsi Yang Berlaku Dalam LP. . . lanjt 3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu : L = $3 X 1 + $5 X 2 Jika X 1 = 10 dan X 2 = 20, maka L = $3(10) + $5(20) = $ 130. 4. Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan) harus positif bukan negatif (non negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan)

Sejarah Linier Program 1. LP dikembangkan sebelum PD II oleh matematikawan Rusia, A. N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”. 2. Dalam aplikasi LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan). 3. Tahun (1947), George D. Dantzig mengembangkan Solusi LP Dengan Metode Simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dantzig matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara.

Sejarah Linier Program…. lanjt Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier. 4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. 5. Tahun 1984 N. Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Model Formulasi Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik tertentu. Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, yg didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer.

Model Formulasi Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan oleh perusahaan, misalnya : X 1 = jumlah Radio X 2 = jumlah Televisi X 3 = jumlah Kulkas yang akan diproduksi

Model Formulasi… lanjt Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yg menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat variabel keputusan.

Model Formulasi… lanjt Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel keputusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya. Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi radio sebesar 40 jam/hari selama periode produksi. Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga merupakan parameter.

METODE GRAFIK

PERSOALAN MAKSIMASI. CONTOH : PERUSAHAAN XYZ Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000, 00 per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin tersebut berbeda untuk setiap produk. Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada

METODE GRAFIK PERSOALAN MAKSIMASI. CONTOH : PERUSAHAAN XYZ . . lanjt Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin. Pertanyaan: 1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika) 2. Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga

Metode Grafik / Maksimasi Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut : Sd A B Kap. P 2 1 < 30 Q 2 3 < 60 R 4 3 < 72 Harga 3000 Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya : Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. 30 P : 2 A + B < Q : 2 A + 3 B < R : 4 A + 3 B 60 72 <

Metode Grafik / Maksimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA • P : 2 A + B < 30 Jika A = 0 , maka B = 30 Max. TR = 3000 A + 3000 B Stc. 2 A Jika B = 0 , maka A = 15 + B P : 2 A + Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < A, B 30 • R : : B 72 60 < < 3 B +3 + 2 A 4 A Q B < 30 < 72 > 0

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE B • TR = 3000 A + 3000 B B = A 0 = 3000(0) + 3000(0) 45000 = 3000(15) + 3000(0) 60000 = 3000(0) + 3000(20) 63000 = 3000(9) + 3000(12) 66000 = 3000(6) + 3000(16) > 66000 = IMPOSIBLE P TR /3000 - Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit Evaluasi Sumberdaya TR = $ : 66000 P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jam • • Q R • Metode Grafik / Maksimasi • A Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam persis R : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

KEPUTUSAN BERALTERNATIF Metode Grafik / Maksimasi 1) Antara titik A dan B 2) Antara titik B dan C 3) Antara titik C dan D A • B • C • D •

Variabel Slack Metode Grafik / Maksimasi Ø Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai persamaan daripada pertidaksamaan. Ø Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. -

Variabel Slack Metode Grafik / Maksimasi lanjt ØUntuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah : P : 2 A + B < 30 Q : 2 A + 3 B < 60 R : 4 A + 3 B < 72 Ø Penambahan sebuah variabel slack, S 1 pada kendala P, S 2 pada kendala Q dan S 3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. : P : 2 A + B + S 1 = 30 Q : 2 A + 3 B + S 2 = 60 R : 4 A + 3 B + S 3 = 72

Metode Grafik / Maksimasi …lanjt Ø Variabel slack S 1, S 2 dan S 3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan : P : 2(9) + 10 + S 1 = 30 S 1 = 2 Q : R : 2(9) + 3(10) + S 2 = 60 4(9) + 3(10) + S 3 = 72 S 2 = 12 S 3 = 6

Metode Grafik / Maksimasi… lanjt Ø Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. Jadi S 1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan. Ø Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan Metode Grafik / Maksimasi Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3000 dan 3000, masing merupakan kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S 1 dan S 2 ? . Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis : TR = 3000 A + 3000 B + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan Metode Grafik / Maksimasi Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumber-daya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0 Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb. : Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0 S 1 + 0 S 2 +0 S 3 Kendala : 2 A + B + S 1 < 30 2 A + 3 B + S 2 < 60 4 A + 3 B + S 3 < 72 A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0

Metode Grafik / Maksimasi A = 0 B = 20 TR = 60000 S 1 = 10 S 2 = 0 S 3 = 12 • w A = 6 B = 16 TR = 66000 S 1 = 2 A = 9 S 2 = 0 B = 12 S 3 = 0 TR = 63000 X S 1 = 0 S 2 = 6 S 3 = 0 • • Max. TR = 3000 A + 3000 B Kendala : 2 A + B + S 1 < 30 2 A + 3 B + S 2 < 60 4 A + 3 B + S 3 < 72 A, B , S 1, S 2 dan S 3 > 0 Y Z A = 15 B = 0 TR = 45000 S 1 = 0 S 2 = 30 S 3 = 12 •

KASUS MINIMASI Contoh : Perusahaan Radio Metode Grafik / Minimasi Perusahaan Radio memproduksi 2 macam bahan pelarut (A dan B). Untuk memproduksi kedua bahan tersebut memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan 8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6 liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.

Metode Grafik / Minimasi KASUS MINIMASI Contoh : Perusahaan Radio (lanjt) Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B masing sebesar Rp 80 dan Rp 100> Pertanyaan: Berapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar biaya produksi minimal? Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula penggunaan bahan bakunya.

Metode Grafik / Minimasi GAMBAR FUNGSI KENDALA B MT : 8 A + 6 B > 24 B > 4 – 4/ 3 A A B D : 10 A + 4 B > 20 B > 5 - 2, 5 A A B Min. TC = 80 A + 100 B Stc. MT : 8 A + 6 B > 24 D : 10 A + 4 B > 20 S : 6 A + 12 B > 24 A, B > 0 S : 6 A + 12 B > 24 B > 2 0, 5 A A

Metode Grafik / Minimasi FISIBLE AREA dan ISO COST Solusi Optimal : B. Pelarut A = 2, 4 unit B. Pelarut B = 0, 8 unit TC min = 80 (2, 4) + 100(0, 8) = Rp 272 Penggunaan Sumberdaya : MT = 8(2, 4) + 6(0, 8) = 24 Lt. persis D = 10(2, 4) + 4(0, 8) = 27, 2 Lt. > 20 S = 6(2, 4) + 12(0, 8) = 24 Lt. persis • (0, 82, )4 ;

Soal N 0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40. 000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50. 000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.

Soal N 0. 12 Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan 1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80. 000 dan Rp 50. 000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin. a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini. b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis

41