Sries de Fourier Tout signal priodique T de

Séries de Fourier Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus et de cosinus. An=0 1(4/ ) 1+ 3 (4/3 ) 1+ 3+5 (4/5 ) Continu / Fondamental / harmoniques 1+ 3+ 5 + 7 (4/7 ) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 1

Quelques exemples de signaux périodiques Sinusoide Rectangle périodique Triangle périodique Dent de scie Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 2

Séries de Fourier complexe De {An, Bn} à Xn en utilisant la notation complexe A Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 3

Pour un cosinus ? Pour un sinus ? Le spectre du signal Pour ça ? T=5 t Regraduons l ’axe des n en fréquence. . . Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 4

Transformée de Fourier des signaux continus périodiques Signal périodique Spectre discret Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 5

Et la puissance d ’un signal périodique ? Identité de Parseval Densité Spectrale de Puissance Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 6

Du périodique au non-périodique Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 7

Transformée de Fourier des signaux continus Regraduons en f Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 8

Représentation de la TF Module / Argument |X(w)| Parties réelle & imaginaire Arg(X(w)) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 9

Quelques propriétés de Transformée de Fourier – Linéarité – X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] – x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire – x(t) réel pair X(f) réel pair – x(t) réel impair X(f) imaginaire impair – x(t)*y(t) X(f). Y(f) et x(t). y(t) X(f)*Y(f) ! – x(t)*d(t-t 0)= x(t-t 0) X(f) exp(-2 jp f t 0) – x(t) exp(2 j p t f 0) X(f-f 0) – x*(t) X*(-f) – x(at) |a|-1 X(f/a) – dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 10

Quelques signaux et leur Transformée de Fourier – d(t) 1 – 1(t) ½ d(f) + 1/(2 j p f ) – cos(2 pf 0 t) [d(f-f 0) +d(f+f 0)]/2 – sin(2 pf 0 t) [d(f-f 0) -d(f+f 0)]/2 j – Sd(t+n. T) Fe Sd(f+k. Fe) avec Fe=1/T – Rect(t) 2 a. Sinc(pfa) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 11

représentation des signaux en temps amplitude 1 0. 5 0 -0. 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 temps (sec) 7 8 9 10 représentation des signaux en fréquence amplitude 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 1 2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages 3 4 5 6 fréquence (Hz) Fourier 7 8 H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 12

représentation des signaux en temps amplitude 1 0. 5 0 -0. 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 temps (sec) 7 8 9 10 représentation des signaux en fréquence amplitude 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 1 2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages 3 4 5 6 fréquence (Hz) Fourier 7 8 9 10 H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 13

représentation des signaux en temps amplitude 1 0. 5 0 -0. 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 temps (sec) 7 8 9 10 représentation des signaux en fréquence amplitude 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 5 Dpt. Télécommunications, Services & Usages 10 15 20 fréquence (Hz) Fourier 25 30 H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 14

représentation des signaux en temps amplitude 1 0. 5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 temps (msec) 2 3 4 5 9 10 représentation des signaux en fréquence amplitude 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 1 2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages 3 4 5 6 fréquence (MHz) Fourier 7 8 H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 15

représentation des signaux en temps amplitude 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 temps (msec) 2 3 4 5 9 10 Énergie (d. B) représentation des signaux en fréquence 10 0 -10 -20 -30 0 1 2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages 3 4 5 6 fréquence (MHz) Fourier 7 8 H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 16

0. 4 [e] PSD [e] 50 40 (d. B) 0. 2 0 30 20 10 -0. 2 0 50 t (ms) 100 0 0 1 2 3 f (k. Hz) 4 5 DFT Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 17

Et l ’énergie d ’un signal ? Identité de Parseval Densité Spectrale d ’Energie Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 18

Transformée de Fourier & Systèmes Un SLTI va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) x(t) TF X(f) h(t) TF y(t)=x(t)*h(t) TF H(f) Y(f)=X(f). H(f) L ’inverse est aussi vrai Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 19

Bande passante et largeur de bande • Bande passante – Caractérise un système – Module de la rép. en fréquence – Définie à -3 d. B (1/ 2) (Pm/2) • Largeur de bande – Caractérise un signal – Densité Spectrale – Espace des fréquences utiles ! Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 20

Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique Le spectre est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1=Fe, (et n=t) Transformée de x e (t) 0 |X(f)| Fourier NTe Dpt. Télécommunications, Services & Usages t 0 Fourier 1 Te f H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 21

Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés périodiques Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te, Période du signal NTe, Fréquence du signal F=1/NTe La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique et discret Le spectre est constitué de N raies, il est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1, (et n=t) 0 X e (f) Transformée de Fourier xe (t) NTe Dpt. Télécommunications, Services & Usages 0 2 NTe Fourier 1 NTe 1 Te f H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 22

Du continu au discret, on échantillonne • Échantillonnage idéal. . . • . . . Transformée de Fourier. . . . périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> Périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> Périodisation temporelle Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 23

Tourne. . . 0 X(f) Transformée de Fourier (CCFT) x(t) T t f Périodisation Echantillonnage Transformée de Fourier (CDFT) x T (t) 0 T 2 T X e (f) 0 1 en fréquence 2 f T T Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 24

et retourne. . . 0 X(f) Transformée de Fourier (DCFT) x e (t) NT t 0 1 T Périodisation Echantillonnage Transformée de Fourier (DDFT) x Te (t) 0 f NT Dpt. Télécommunications, Services & Usages 2 NT X e (f) 0 Fourier en fréquence 1 1 NT T f H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 25

Et le numérique ? L ’avant ? L ’après ? Te ? Un signal numérique est fini (N points), pour faire sa TF, on le périodise implicitement On rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TF sur (N+Nz) points. Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 26

3 Les différentes TF Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 27

3 Propriétés Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 28

3 CCFT connues Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 29

3 CCFT généralisées connues Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 30

3 DCFT connues Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 31

3 CDFT connues Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 32

3 DDFT connues Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J. M. Gorce 33